函数的定义域、解析式、值域专题
第一部分 函数的定义域
一、函数定义域的含义
函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合。
二、求定义域的步骤：
(1)写出使函数式有意义的不等式(组)；
(2)解不等式(组)；
(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)
三、常见函数定义域的类型
1、分式型，要满足；
2、偶次根式型，要满足；
3、零指数幂型，要满足；
4、整式型，定义域为；
5、由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
四、定义域的求法
题型1：求具体函数的定义域
例1 求下列函数的定义域，结果用区间表示：
(1)y＝＋； (2)y＝ ；
(3)y＝＋； (4)y＝.
跟踪练习
1、(2022·宿州月考)函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，1] B．
C．(－∞，2] D．∪
2、函数y＝＋的值域为( )
A．[1，] B．[1，2]
C． D．[，2]
3、函数f(x)＝的定义域是( )
A．[－1,1) B．[－1,1)∪(1，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(1，＋∞)
4、已知函数y＝，则其定义域为( )
A．(－∞，1] B．(－∞，2]
C.∪ D.∪
5、函数f(x)＝(x－2)0＋ 的定义域是( )
A． B．
C．R D．∪(2，＋∞)
6、已知等腰三角形ABC的周长为10，且底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为( )
A．R B．{x|x>0}
C．{x|07、函数y＝ 的定义域是________．
8、已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的定义域是________．
9、求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝＋.
题型2：求抽象函数的定义域
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
例2（1）已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，求函数f(2x＋1)的定义域；
（2）已知函数f(2x＋1)的定义域为(－1,0)，求函数f(x)的定义域；
（3）已知函数f(2x－1)定义域改为[0,1]，求y＝f(2x＋1)的定义域。
跟踪练习
1、(2022·重庆市高三摸底)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，则函数F(x)＝f(x＋2)＋的定义域为( )
A.(－2，3] B．[－2，3]
C.(0，3] D．(0，3)
2、已知函数y＝f(x＋1)的定义域是{x|－2≤x≤3}，则y＝f(x)的定义域是 ( )
A． {x|0≤x≤1} B． {x|－1≤x≤4}
C． {x|－5≤x≤5} D． {x|－3≤x≤7}
3、已知函数f(x)的定义域为[－2,1]，函数g(x)＝，则g(x)的定义域为( )
A． B．(－1，＋∞)
C．∪(0,2) D．
4、若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
5、已知函数f(x)的定义域为(0，1)，则g(x)＝f(x＋c)＋f(x－c)在0A．(－c，1＋c) B．(1－c，c) C．(1＋c，－c) D．(c，1－c)
6、已知函数f(x)的定义域为{x|－17、已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为________．
8、已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为____.
9、若函数y＝f(x)的定义域是[－2,2]，则函数y＝f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为________．
10、(1)已知函数f(x)的定义域是[－1,4]，求函数f(2x＋1)的定义域．
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f(x)的定义域．
题型3：已知函数的定义域，求参数的取值范围
例3若函数f(x)＝的定义域为一切实数，求实数m的取值范围。
解：由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则解得0综上可得，0≤m≤4.
跟踪练习
1、(2022·蚌埠一中高一期中)已知y＝的定义域是R，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．∪
2、若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
3、已知函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围为____.
4、若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
第二部分函数的解析式
二、函数解析式的求解方法
1、换元法
例1已知函数f(x)满足f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)．
2、待定系数法
例2已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)．
3、配方法
例3已知函数，求函数的解析式
4、方程组法
例4已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x－1，求f(x)．
跟踪练习
1、(2022·安徽合肥模拟)若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
2、设为一次函数，且．若，则的解析式为（ ）
A．或 B．
C． D．
3、设函数，则的表达式为（ ）
A． B． C． D．
4、已知，则有（ ）
A． B．
C． D．
5、若，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6、已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
7、若函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
8、若，则_____．
9、已知函数，那么f(x)的表达式是___________
10、已知二次函数f（x）的图象经过点（-3，2），顶点是（-2，3），则函数f（x）的解析式为_________.
11、已知，则______．
12、已知，则的解集为______.
13、已知函数满足，则___________.
14、设是一次函数，且，求的解析式.
15、已知，求的解析式
第三部分函数的值域
一、求函数值域的一般方法
（1）直接法（观察法）
例1求函数y＝的值域
（2）分离常数法
例2求函数y＝的值域
（3）换元法
例3求函数y＝x＋4的值域
（4）配方法
例4求函数y＝x2－4x，x∈[1,4]的值域
（5）不等式法
例5求函数y＝的值域
（6）数形结合法
例6求函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域
跟踪练习
1、若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
2、在下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
3、下列三个函数：①y＝3－x；②y＝③y＝x2＋2x－10其中定义域与值域相同的函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4、f(x)＝x2＋x＋1在[－1,1]上的值域为( )
A．[1,3] B． C. D．
5、函数y＝1＋x－的值域为( )
A. B．
C. D．
6、已知函数的值域是[1,4]，则其定义域不可能是( )
A．[1,2] B．
C．[－2，－1] D．[－2，－1]∪{1}
7、下列函数中，值域为[0,1]的是( )
A．y＝x2 B．y＝x+1
C．y＝ D．y＝
8、已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,2]
C．[－1,2] D．[2,5]
9、函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.当x∈(－2.5,3]时，f(x)的值域是__________
10、求下列函数的值域(并将结果用区间表示)．
(1)y＝x2＋2(－2≤x≤1)；
(2)y＝2－；
(3)y＝2x＋4；
(4)y＝(111、求函数y＝的值域
12、求函数y＝(x>1)的值域
13、记函数f(x)＝＋的定义域为集合M，函数g(x)＝x2－2x＋3值域为集合N，求：
(1)M，N.
(2)M∩N，M∪N.
14、已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝x2－2x＋a，x∈[0,4]的值域为集合B，若A∪B＝R，求实数a的取值范围．第一部分函数的定义域（解析版）
一、函数定义域的含义
函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合。
二、求定义域的步骤：
(1)写出使函数式有意义的不等式(组)；
(2)解不等式(组)；
(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)
三、常见函数定义域的类型
1、分式型，要满足；
2、偶次根式型，要满足；
3、零指数幂型，要满足；
4、整式型，定义域为；
5、由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
四、定义域的求法
题型1：求具体函数的定义域
例1 求下列函数的定义域，结果用区间表示：
(1)y＝＋； (2)y＝ ；
(3)y＝＋； (4)y＝.
解：(1)要使函数有意义，
则有
故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，必须满足解得
故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)．
(3)由已知得
解得x≤1且x≠－5.
所求定义域为{x|x≤1且x≠－5}．
(4)由已知得解得x≤1且x≠0.
所求定义域为{x|x≤1且x≠0}．
跟踪练习
1、(2022·宿州月考)函数y＝的定义域为( D )
A．(－∞，1] B．
C．(－∞，2] D．∪
2、函数y＝＋的值域为( D )
A．[1，] B．[1，2]
C． D．[，2]
3、函数f(x)＝的定义域是( B )
A．[－1,1) B．[－1,1)∪(1，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(1，＋∞)
4、已知函数y＝，则其定义域为( D )
A．(－∞，1] B．(－∞，2]
C.∪ D.∪
5、函数f(x)＝(x－2)0＋ 的定义域是( D )
A． B．
C．R D．∪(2，＋∞)
6、已知等腰三角形ABC的周长为10，且底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为( D )
A．R B．{x|x>0}
C．{x|07、函数y＝ 的定义域是____[－1，7]____．
8、已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的定义域是[－3,0]∪[1,3]
9、求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝＋.
解(1)使式子有意义的实数x的集合是{x|x≠2}，所以函数的定义域为{x|x≠2}；
(2)使式子有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，所以函数的定义域为{x|x≥－3}；
(3)使式子有意义的实数x的集合是{x|x≤1)，使式子有意义的实数x的集合是{x|x≠－5}，所以函数f(x)＝＋的定义域是{x|x≤1且x≠－5}题型2：求抽象函数的定义域
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
例2（1）已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，求函数f(2x＋1)的定义域；
已知函数f(2x＋1)的定义域为(－1,0)，求函数f(x)的定义域；
已知函数f(2x－1)定义域改为[0,1]，求y＝f(2x＋1)的定义域。
解：（1）由函数f(x)的定义域为(－1,0)，则使函数f(2x＋1)有意义，需满足－1<2x＋1<0，解得－1 （2）f(2x＋1)的定义域为(－1,0)，即－1∴－1<2x＋1<1，∴f(x)的定义域为(－1,1)．
（3）∵y＝f(2x－1)定义域为[0,1]．
∴－1≤2x－1≤1，要使y＝f(2x＋1)有意义应满足－1≤2x＋1≤1，解得－1≤x≤0，
因此y＝f(2x＋1)定义域为[－1,0]．
跟踪练习
1、(2022·重庆市高三摸底)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，则函数F(x)＝f(x＋2)＋的定义域为( A )
A.(－2，3] B．[－2，3]
C.(0，3] D．(0，3)
2、已知函数y＝f(x＋1)的定义域是{x|－2≤x≤3}，则y＝f(x)的定义域是 ( B )
A． {x|0≤x≤1} B． {x|－1≤x≤4}
C． {x|－5≤x≤5} D． {x|－3≤x≤7}
3、已知函数f(x)的定义域为[－2,1]，函数g(x)＝，则g(x)的定义域为( A )
A． B．(－1，＋∞)
C．∪(0,2) D．
4、若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是( B )
A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
5、已知函数f(x)的定义域为(0，1)，则g(x)＝f(x＋c)＋f(x－c)在0A．(－c，1＋c) B．(1－c，c) C．(1＋c，－c) D．(c，1－c)
6、已知函数f(x)的定义域为{x|－17、已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为_____(0，2)___．
8、已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为__[－1,2]__.
9、若函数y＝f(x)的定义域是[－2,2]，则函数y＝f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[－1,1]．
10、(1)已知函数f(x)的定义域是[－1,4]，求函数f(2x＋1)的定义域．
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f(x)的定义域．
解：(1)由已知f(x)的定义域是[－1,4]，
即－1≤x≤4.
故对于f(2x＋1)应有－1≤2x＋1≤4.
∴－2≤2x≤3，∴－1≤x≤.
∴f(2x＋1)的定义域是.
(2)由已知f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，
即f(2x＋1)中，应有－1≤x≤4，∴－1≤2x＋1≤9.
∴f(x)的定义域是[－1,9]．
题型3：已知函数的定义域，求参数的取值范围
例3若函数f(x)＝的定义域为一切实数，求实数m的取值范围。
解：由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则解得0综上可得，0≤m≤4.
跟踪练习
1、(2022·蚌埠一中高一期中)已知y＝的定义域是R，则实数a的取值范围是( C )
A． B．
C． D．∪
2、若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是( D )
A． B． C． D．
3、已知函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围为__[0,1]__.
4、若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为_____-___．
第二部分函数的解析式
二、函数解析式的求解方法
1、换元法
例1已知函数f(x)满足f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)．
解：令2x＋1＝t(t∈R)，
则x＝，
所以f(t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R).
待定系数法
例2已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
所以即
所以f(x)＝x2－x＋2.
配方法
例3已知函数，求函数的解析式
解：因为，
所以，
因为，所以，
方程组法
例4已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x－1，求f(x)．
解：已知2f(x)＋f＝3x－1，①
以代替①中的x(x≠0)，得
2f＋f(x)＝－1，②
①×2－②，得3f(x)＝6x－－1，
故f(x)＝2x－－(x≠0).
跟踪练习
1、(2022·安徽合肥模拟)若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5且图象过原点，则g(x)的解析式为( B )
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
2、设为一次函数，且．若，则的解析式为（ B ）
A．或 B．
C． D．
3、设函数，则的表达式为（ B ）
A． B． C． D．
4、已知，则有（ B ）
A． B．
C． D．
5、若，则的解析式为（ C ）
A． B．
C． D．
6、已知函数，则（ B ）
A． B．
C． D．
7、若函数满足，则（ A ）
A． B． C． D．
8、若，则_____．
9、已知函数，那么f(x)的表达式是___________
10、已知二次函数f（x）的图象经过点（-3，2），顶点是（-2，3），则函数f（x）的解析式为____.
11、已知，则___6___．
12、已知，则的解集为______.
13、已知函数满足，则___________.
14、设是一次函数，且，求的解析式.
解：设，则
,
所以，解得或，
所以函数的解析式为或
15、已知，求的解析式
解：，得
，解得
第三部分函数的值域
一、求函数值域的一般方法
（1）直接法（观察法）
例1求函数y＝的值域
解：∵1＋x2≥1，∴0<≤1.
∴函数f(x)的值域是{y|0（2）分离常数法
例2求函数y＝的值域
解：y＝＝－1＋，
因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<≤2.
所以－1<－1＋≤1.
即函数的值域为(－1,1]．
（3）换元法
例3求函数y＝x＋4的值域
解：设t＝，t≥0，则x＝1－t2，
所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，
所以y≤5，
所以原函数的值域为(－∞，5]．
（4）配方法
例4求函数y＝x2－4x，x∈[1,4]的值域
解：配方，得y＝(x－2)2－4.
∵x∈[1,4]，
∴函数的值域为[－4,0].
（5）不等式法
例5求函数y＝的值域
解：y＝＝
＝x＋＝x－＋＋，
因为x>，所以x－>0，
所以x－＋≥2＝，
当且仅当x－＝，即x＝时取等号．
所以y≥＋，即原函数的值域为.
（6）数形结合法
例6求函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域
解：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.
∵x∈[1,5)，∴其图象如图所示，
当x＝2时，y＝2；当x＝5时，y＝11.
∴所求函数的值域为[2,11)．
跟踪练习
1、若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( B )
2、在下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( B )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
3、下列三个函数：①y＝3－x；②y＝③y＝x2＋2x－10其中定义域与值域相同的函数的个数为( C )
A．0 B．1 C．2 D．3
4、f(x)＝x2＋x＋1在[－1,1]上的值域为( C )
A．[1,3] B． C. D．
5、函数y＝1＋x－的值域为( B )
A. B．
C. D．
6、已知函数y＝x2的值域是[1,4]，则其定义域不可能是( B )
A．[1,2] B．
C．[－2，－1] D．[－2，－1]∪{1}
7、下列函数中，值域为[0,1]的是( D )
A．y＝x2 B．y＝x+1
C．y＝ D．y＝
8、已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m的取值范围是( C )
A．(－∞，－1) B．(－1,2]
C．[－1,2] D．[2,5]
9、函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.当x∈(－2.5,3]时，f(x)的值域是{－3，－2，－1,0,1,2,3}．
10、求下列函数的值域(并将结果用区间表示)．
(1)y＝x2＋2(－2≤x≤1)；
(2)y＝2－；
(3)y＝2x＋4；
(4)y＝(1解：(1)∵－2≤x≤1，∴0≤x2≤4.
∴2≤x2＋2≤6，∴函数的值域为[2,6]．
(2)∵4x－x2≥0，∴0≤x≤4，
∵0≤4x－x2＝－(x－2)2＋4≤4.
∴0≤≤2.
∴－2≤－≤0，∴0≤y≤2.
∴函数的值域为[0,2]．
(3)令t＝，则x＝1－t2(t≥0)．
y＝2x＋4＝2－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋4.
∵t≥0，∴当t＝1时，ymax＝4.
∴y≤4，∴函数的值域为(－∞，4]．
(4)y＝＝＝－，
∵1∴<<.
∴－<－<－.
∴<－<.
∴函数的值域为.
11、求函数y＝的值域
解：y＝＝
＝＝－.
∵≠0，∴y≠，
∴函数y＝的值域为{y∈R|y≠}．
12、求函数y＝(x>1)的值域
令x－1＝t>0，∴x＝t＋1.
∴y＝＝＝t＋＋4≥2＋4，当且仅当“t＝”时等号成立．
即t＝时，取最小值2＋4.
∴函数y＝(x>1)的值域为[2＋4，＋∞)．
13、记函数f(x)＝＋的定义域为集合M，函数g(x)＝x2－2x＋3值域为集合N，求：
(1)M，N.
(2)M∩N，M∪N.
解：(1)因为函数f(x)＝＋的定义域为集合M，则有
故1≤x≤3，集合M＝[1,3]，
因为函数g(x)＝x2－2x＋3值域为集合N，
则g(x)＝x2－2x＋3≥2，集合N＝[2，＋∞)，
所以M＝[1,3]，N＝[2，＋∞)．
(2)M∩N＝[1,3]∩[2，＋∞)＝[2,3]，
M∪N＝[1,3]∪[2，＋∞)＝[1，＋∞)．
14、已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝x2－2x＋a，x∈[0,4]的值域为集合B，若A∪B＝R，求实数a的取值范围．
解：由题意：函数f(x)＝的定义域需满足：x2－16≥0，解得x≤－4或x≥4，
所以集合A＝{x|x≤－4或x≥4}，
函数g(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，
因为x∈[0,4]，
当x＝1时，函数g(x)取得最小值为a－1；
当x＝4时，函数g(x)取得最大值为a＋8；
所以函数g(x)的值域为[a－1，a＋8]，
所以集合B＝[a－1，a＋8]，
因为A∪B＝R，如图所示．
所以需满足：解得－4≤a≤－3，
故得实数a的取值范围为[－4，－3]．
