一元二次不等式专题
知识点一 一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数 零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0).
(2)计算相应的 .
(3)当 时,求出相应的一元二次方程的根.
(4)利用二次函数的图象与x轴的 确定一元二次不等式的解集.
不含参数的不等式
例1解不等式3x2-2x-2>0
跟踪练习
解下列不等式
(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2; (3)4x2+4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0. (5) x2-2x+3>0; (6)-x2-3x+4>0;(7)4x2-20x<-25;(8)(x-3)(x-7)<0; (9)-3x2+5x-4<0;
(10)x(1-x)≥x(2x-3)+1. (11)9x2+6x+1≤0, (12)-x2-3x+4>0;
(13) x2+2x-15>0;(14)x2-3x+5>0; (15)4(2x2-2x+1)>x(4-x).
含参数的不等式
例2 解下列关于x的不等式:
(1)ax2-(a+1)x+1<0(a<0);
(2)x2-2ax+2≤0(a∈R);
跟踪练习
解下列不等式
(1)ax2-(a+1)x+1<0(a>0) (2)12x2-ax>a2(a∈R) (3)x2-(a+1)x+a<0
(4)x2-2ax+2≤0(a∈R) (5)ax2-2≥2x-ax(a<0) (6)ax2-(a+1)x+1<0
(7)ax2+(a-1)x-1>0. (8)x2-ax-2a2<0 (9)12x2-ax>a2(a∈R)
(10)x2-ax-2a2<0.
知识点二 三个二次之间的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有 实根x1,x2(x1
ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x∈R且_x≠x1__} __
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|_x1例3(1)已知不等式ax2-bx-1>0的解集是,求不等式x2-bx-a≥0的解集.
解: (1)∵不等式ax2-bx-1>0的解集是
,
∴ax2-bx-1=0的解是x1=-和x2=-,且a<0,
∴解得
则不等式x2-bx-a≥0即为x2-5x+6≥0,解得x≤2或x≥3.
跟踪练习
1.一元二次方程ax2+bx+c=0的根为2,-1,则当a<0时,不等式ax2+bx+c≥0的解集( )
A.{x|x<-1或x>2} B.{x|x≤-1或x≥2}
C.{x|-12.若不等式ax2+5x-2>0的解集是,则a的值为( )
A.- B.2 C.-2 D.
3.方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是( )
A.0≤m<1 B.0C.04.不等式ax2+5x+c>0的解集为,则a,c的值分别为( )
A.a=6,c=1 B.a=-6,c=-1
C.a=1,c=1 D.a=-1,c=-6
5.在R上定义运算 :a b=ab+2a+b,则满足x (x-2)<0的实数x的取值范围为( )
A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2)
6.关于x的不等式(ax-b)(x+3)<0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞),则关于x的不等式ax+b>0的解集为 ( )
A.(-∞,-1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
7.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x对任意实数x均成立,则实数m的取值范围是( )
A.m<-2或m≥2 B.-2C.-28.在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含1个整数,则a的取值范围是( )
A.(-3,5) B.(-2,4) C.[-1,3] D.[-2,4]
9.若不等式x2+mx+>0的解集为R,则实数m的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(-∞,0)∪(2,+∞) D.(0,2)
10.若不等式ax2+bx+2<0的解集为{x|x<-或x>},则=( )
A. B. C.- D.-
11.已知关于x的不等式ax2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<2},则关于x的不等式bx2-5x+a>0的解集为( )
A. B.
C.{x|-3<x<2} D.{x|x<-3或x>2}
12.满足关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0的解集为,则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是( )
A.(-2,1) B.(-3,-6) C.(2,4) D.
13.已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则实数a的取值范围是
( )
A.-2≤a< B.-2≤a≤ C.-2≤a<1 D.-2≤a≤1
14.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是( )
A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-nC.{x|x<-m或x>n} D.{x|-m15.若关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a+b=__ ______.
16.若关于x的不等式>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a=____ ____.
17.不等式(m+1)x2-(1-m)x+m≤0对任意实数x都成立,求实数m的取值范围__ __
18.若不等式x2+mx+1>0的解集为R,则m的取值范围是____ ______
19.已知x=1在不等式k2x2-6kx+8≥0的解集内,则k的取值范围是__ ______.
20.若-1<a<0,则关于x的不等式(a-x)>0的解集是________
21.已知定义在R上的运算“ ”: x y=x(1-y),关于x的不等式(x-a) (x+a)>0.
(1)当a=2时,不等式的解集为________________;
(2)若任意x∈[0,1],不等式恒成立,则实数a的取值范围是________
22.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是_______
23.若不等式x2≥m+4x在[0,1]上恒成立,则实数m的取值范围是________
24.已知a∈[-1,1]时不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为____________
25.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B.
(1)求A∩B;
(2)若不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,求不等式ax2+x+b<0的解集.
26.若不等式ax2+5x-2>0的解集是.
(1)求实数a的值;
(2)求不等式ax2-5x+a2-1>0的解集.
27.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为,求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集.
28.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|α0的解集.
29.已知一元二次函数y=ax2+(b-8)x-a-ab,且y>0的解集为{x|-3<x<2}.
(1)求一元二次函数的解析式;
(2)当关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为R时,求c的取值范围.
30.已知函数y=x2-2ax+a+2,a∈R.
(1)若方程y=0有两个小于2的不等实根,求实数a的取值范围;
(2)若不等式y≥-1-ax对任意的x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
31.对于不等式(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2,试求对区间[0,2]上的任意x都成立的实数t的取值范围.
32.若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}.
(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;
(2)b为何值时,ax2+bx+3>0的解集为R
三、分式不等式的解法
分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0)
解下列不等式
(1).<0; (2)≤1. (3)≥0;
(4)<3. (5)x+>2 (6)>0.
(7)≤3 (8)<2 (9)<0
(9)>2 (11)≤0 (12)+2≥0
四、高次不等式的解法
解一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)常用数轴穿根法(又称穿针引线法).
其一般步骤是:
(1)将不等式化为一端为0,另一端为一次因式或二次不可约因式的积的形式,并使每个因式最高次项的系数为正;
(2)求根,标根:求出各因式的根,并在数轴上从小到大依次标出;
(3)画曲线:从数轴的最右端上方起,自右至左依次经过各个点(根)画曲线(注意:遇奇次重根一次穿过数轴,遇偶次重根穿而不过.若有三重以上根,可先等价转化,如x3>0 x>0,x4>0 x2>0等);
(4)写解集:记数轴上方为正,下方为负,根据不等号的方向,写出不等式的解集.
解下列不等式
(1) ≥0 (2)(x+2)(x2-x-12)>0
(2) (x2+2x-3)(x-1)(-8x+24)≤0 (4)
(5) (6)
(7) (8)
(9) (10)>0一元二次不等式专题(解析版)
知识点一 一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数_大于__零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0).
(2)计算相应的_判别式__.
(3)当_Δ≥0__时,求出相应的一元二次方程的根.
(4)利用二次函数的图象与x轴的_交点__确定一元二次不等式的解集.
不含参数的不等式
例1解不等式3x2-2x-2>0
解:令3x2-2x-2=0,得x1=,x2=,
∴3x2-2x-2>0的解集为
∪.
跟踪练习
解下列不等式
(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2; (3)4x2+4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0. (5) x2-2x+3>0; (6)-x2-3x+4>0;(7)4x2-20x<-25;(8)(x-3)(x-7)<0; (9)-3x2+5x-4<0;
(10)x(1-x)≥x(2x-3)+1. (11)9x2+6x+1≤0, (12)-x2-3x+4>0;
x2+2x-15>0;(14)x2-3x+5>0; (15)4(2x2-2x+1)>x(4-x).
答案:(1). (2). (3). (4)
(5)R, (6){x|-4(12){x|-43};(14)R, (15).
含参数的不等式
例2 解下列关于x的不等式:
(1)ax2-(a+1)x+1<0(a<0);
(2)x2-2ax+2≤0(a∈R);
解:(1)若a<0,则原不等式等价于(x-1)>0,解得x<或x>1.解集为∪(1,+∞).
(2)对于方程x2-2ax+2=0,因为Δ=4a2-8,所以当Δ<0,即-<a<时,x2-2ax+2=0无实根.又二次函数y=x2-2ax+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为 ;
当Δ=0,即a=±时,x2-2ax+2=0有两个相等的实根,
当a=时,原不等式的解集为{x|x=},
当a=-时,原不等式的解集为{x|x=-};
当Δ>0,即a>或a<-时,x2-2ax+2=0有两个不相等的实根,分别为x1=a-,x2=a+,且x1<x2,所以原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}.
综上,当a>或a<-时,解集为{x|a-≤x≤a+};当a=时,解集为{x|x=};当a=-时,解集为{x|x=-};当-<a<时,解集为 .
跟踪练习
解下列不等式
(1)ax2-(a+1)x+1<0(a>0) (2)12x2-ax>a2(a∈R) (3)x2-(a+1)x+a<0
(4)x2-2ax+2≤0(a∈R) (5)ax2-2≥2x-ax(a<0) (6)ax2-(a+1)x+1<0
(7)ax2+(a-1)x-1>0. (8)x2-ax-2a2<0 (9)12x2-ax>a2(a∈R)
(10)x2-ax-2a2<0.
答案:(1)当0当a=1时,不等式的解集为 ;
当a>1时,不等式的解集为
(2)当a>0时,不等式的解集为∪;
当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);
当a<0时,不等式的解集为∪
(3)当a>1时,不等式的解集为{x|1<x<a},
当a<1时,不等式的解集为{x|a<x<1},
当a=1时,不等式的解集为
(4)当-<a<时,原不等式的解集为 ;
当a=时,原不等式的解集为{x|x=};
当a=-时,原不等式的解集为{x|x=-};
当a>或a<-时,原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}.
(5)当-2<a<0时,原不等式的解集为;
当a=-2时,原不等式的解集为{x|x=-1};
当a<-2时,原不等式的解集为.
(6)当a<0时,不等式的解集为;
当a=0时,不等式的解集为{x|x>1};
当0当a=1时,不等式的解集为 ;
当a>1时,不等式的解集为.
(7)当a>0时,不等式的解集为{x|x<-1或x>};
当-1当a=-1时,不等式的解集为 ;
当a<-1时,不等式的解集为.
(8)当a>0时,{x|-a当a<0时,{x|2a当a=0时, .
当a>0时,不等式的解集为{x或x>};当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R,且x≠0};当a<0时,不等式的解集为.
(10)①若a>0,则-a②若a<0,则2a③若a=0,则原不等式即为x2<0,此时解集为 .
知识点二 三个二次之间的关系
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有_两相异__实根x1,x2 (x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|_x>x2或xax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|_x1例3(1)已知不等式ax2-bx-1>0的解集是,求不等式x2-bx-a≥0的解集.
解: (1)∵不等式ax2-bx-1>0的解集是
,
∴ax2-bx-1=0的解是x1=-和x2=-,且a<0,
∴解得
则不等式x2-bx-a≥0即为x2-5x+6≥0,解得x≤2或x≥3.
跟踪练习
1.一元二次方程ax2+bx+c=0的根为2,-1,则当a<0时,不等式ax2+bx+c≥0的解集( D )
A.{x|x<-1或x>2} B.{x|x≤-1或x≥2}
C.{x|-12.若不等式ax2+5x-2>0的解集是,则a的值为( C )
A.- B.2
C.-2 D.
3.方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是 ( C )
A.0≤m<1 B.0C.04.不等式ax2+5x+c>0的解集为,则a,c的值分别为( B )
A.a=6,c=1B.a=-6,c=-1
C.a=1,c=1D.a=-1,c=-6
5.在R上定义运算 :a b=ab+2a+b,则满足x (x-2)<0的实数x的取值范围为( B )
A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2)
6.关于x的不等式(ax-b)(x+3)<0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞),则关于x的不等式ax+b>0的解集为 ( A )
A.(-∞,-1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
7.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x对任意实数x均成立,则实数m的取值范围是( C )
A.m<-2或m≥2 B.-2C.-28.在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含1个整数,则a的取值范围是( C )
A.(-3,5) B.(-2,4) C.[-1,3] D.[-2,4]
9.若不等式x2+mx+>0的解集为R,则实数m的取值范围是( D )
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(-∞,0)∪(2,+∞) D.(0,2)
10.若不等式ax2+bx+2<0的解集为{x|x<-或x>},则=( A )
A. B. C.- D.-
11.已知关于x的不等式ax2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<2},则关于x的不等式bx2-5x+a>0的解集为( A )
A. B.
C.{x|-3<x<2} D.{x|x<-3或x>2}
12.满足关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0的解集为,则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是( D )
A.(-2,1) B.(-3,-6) C.(2,4) D.
13.已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则实数a的取值范围是
( A )
A.-2≤a< B.-2≤a≤ C.-2≤a<1 D.-2≤a≤1
14.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是( B )
A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-nC.{x|x<-m或x>n} D.{x|-m15.若关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a+b=__-14______.
16.若关于x的不等式>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a=____4____.
17.不等式(m+1)x2-(1-m)x+m≤0对任意实数x都成立,求实数m的取值范围__m≤-1-__
18.若不等式x2+mx+1>0的解集为R,则m的取值范围是____-219.已知x=1在不等式k2x2-6kx+8≥0的解集内,则k的取值范围是__{k|k≥4或k≤2}______.
20.若-1<a<0,则关于x的不等式(a-x)>0的解集是________
若不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为___-1≤a≤4_____.
21.已知定义在R上的运算“ ”: x y=x(1-y),关于x的不等式(x-a) (x+a)>0.
(1)当a=2时,不等式的解集为_______{x|-1(2)若任意x∈[0,1],不等式恒成立,则实数a的取值范围是__a<0或a>1______
22.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是____(-2,2]____
23.若不等式x2≥m+4x在[0,1]上恒成立,则实数m的取值范围是__m≤-3
______
24.已知a∈[-1,1]时不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为______
x<1或x>3______
25.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B.
(1)求A∩B;
(2)若不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,求不等式ax2+x+b<0的解集.
解: (1)由x2-2x-3<0,得-1∴A=(-1,3).
由x2+x-6<0,得-3∴B=(-3,2),
∴A∩B=(-1,2).
(2)由题意,得,
解得.
∴-x2+x-2<0,∴x2-x+2>0,
∴不等式x2-x+2>0的解集为R.
26.若不等式ax2+5x-2>0的解集是.
(1)求实数a的值;
(2)求不等式ax2-5x+a2-1>0的解集.
解:(1)由题意知a<0,且方程ax2+5x-2=0的两个实数根为和2,代入方程解得a=-2.
(2)由(1)知不等式ax2-5x+a2-1>0,
即为-2x2-5x+3>0,即2x2+5x-3<0,解得-30的解集为.
27.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为,求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集.
解:由题意知所以
代入不等式cx2-bx+a>0中得ax2+ax+a>0(a<0).
即x2+x+1<0,化简得x2+5x+6<0,
所以所求不等式的解集为{x|-328.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|α0的解集.
解 ∵α、β为方程ax2+bx+c=0的两根,
∴α+β=-,αβ=.∵a<0,
∴cx2+bx+a>0同解变形为
x2+x+1<0.
由根与系数的关系将α、β代入,
得αβx2-(α+β)x+1<0.
即αβ<0,
由0<α<β,可知>.
所以不等式cx2+bx+a>0的解集为
.
29.已知一元二次函数y=ax2+(b-8)x-a-ab,且y>0的解集为{x|-3<x<2}.
(1)求一元二次函数的解析式;
(2)当关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为R时,求c的取值范围.
解:(1)因为y>0的解集为{x|-3<x<2},
所以-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根,
所以解得
所以y=-3x2-3x+18.
(2)因为a=-3<0,所以一元二次函数y=-3x2+5x+c的图象开口向下,要使-3x2+5x+c≤0的解集为R,只需Δ≤0,即25+12c≤0,所以c≤-.
所以当c≤-时,-3x2+5x+c≤0的解集为R.
30.已知函数y=x2-2ax+a+2,a∈R.
(1)若方程y=0有两个小于2的不等实根,求实数a的取值范围;
(2)若不等式y≥-1-ax对任意的x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)因为方程y=0,即x2-2ax+a+2=0有两个小于2的不等实根,
所以即
所以a<-1,
故实数a的取值范围为(-∞,-1).
(2)由y≥-1-ax可得x2-2ax+a+2≥-1-ax,
所以x2-ax+a+3≥0对任意x∈R恒成立,
所以Δ=a2-4(a+3)≤0,
即a2-4a-12≤0,解得-2≤a≤6.
故实数a的取值范围为[-2,6].
31.对于不等式(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2,试求对区间[0,2]上的任意x都成立的实数t的取值范围.
解:设y=x2-3x+2,x∈[0,2].
∵y=2-,x∈[0,2].
∴当x=时,ymin=-;
当x=0时,ymax=2.
∴不等式(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2对一切x∈[0,2]恒成立等价于:
,
即.
化简得,
解得-1≤t≤1-.
32.若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}.
(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;
(2)b为何值时,ax2+bx+3>0的解集为R
解:(1)由题意知1-a<0,且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根,
∴
解得a=3.
∴不等式2x2+(2-a)x-a>0,
即为2x2-x-3>0
解得x<-1或x>.
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2+bx+3>0,即为3x2+bx+3>0,
若此不等式解集为R,
则Δ=b2-4×3×3<0,∴-6<b<6.
三、解分式不等式
答案:(1){x|-23} (4){x|-1(5)(-1,0)∪(1,+∞)(6)(-∞,-3)∪(2,+∞)(7)
(8){x|x≠-2} (9),(10){x|1四、高次不等式的解法
答案:(1){x|x<或≤x≤或x>2}
(2){x|-34}
(3){x|x≤-3或x=1或x≥3}
(4){x|}
(5){x|}
(6){x|-1(7)
(8){x|}
(9){x|}
(10)