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辽宁省县级重点高中联合体2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·辽宁期中）已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．15
2．（2022高三上·辽宁期中）若，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022高三上·辽宁期中）已知命题p：已知，则，，则：（ ）
A．已知，则，
B．已知，则，
C．已知，则，
D．已知，则，
4．（2022高三上·辽宁期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高三上·辽宁期中）鲸是水栖哺乳动物，用肺呼吸，一般分为两类：须鲸类，无齿，有鲸须；齿鲸类，有齿，无鲸须，最少的仅具1枚独齿．已知甲是一头鲸，则“甲的牙齿的枚数不大于1”是“甲为须鲸”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022高三上·辽宁期中）钝角的内角的对边分别是，已知，且，则的周长为（ ）
A．9 B． C．6 D．或9
7．（2022高三上·辽宁期中）若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．（2022高三上·辽宁期中）《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中的一个寓言故事，通过讲述一只乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理.如图所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，已知该锥形瓶上面的部分是圆柱体，下面的部分是圆台，瓶口的直径为3cm，瓶底的直径为9cm，瓶口距瓶颈，瓶颈到水位线的距离和水位线到瓶底的距离均为.现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移，当水位线离瓶口不大于时，乌鸦就能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（石子体积均视为一致）（ ）
A．2颗 B．3颗 C．4颗 D．5颗
二、多选题
9．（2022高三上·辽宁期中）正方体的棱长为2，则（ ）
A．异面直线和所成的角为
B．异面直线和所成的角为
C．点到平面的距离为
D．点到平面的距离为
10．（2022高三上·辽宁期中）函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022高三上·辽宁期中）已知，则（ ）
A．曲线在x＝e处的切线平行于x轴
B．的单调递减区间为
C．的极小值为e
D．方程没有实数解
12．（2022高三上·辽宁期中）已知函数的定义域为，，且，当时，，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．当A，B是锐角的内角时，
D．当，且，时，
三、填空题
13．（2022高三上·辽宁期中）若，则 ．
14．（2022高三上·辽宁期中）设等差数列的前n项和为，若，则 ．
15．（2022高三上·辽宁期中）若过轴上一点所作的曲线C：的切线有且只有一条，则的一个可能值为 ，此时的切线方程为 ．
四、解答题
16．（2022高三上·辽宁期中）已知函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）已知，求的取值范围．
17．（2022高三上·辽宁期中）函数的部分图象如图所示，将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数的图象．
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域．
18．（2022高三上·辽宁期中）设等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）记，若，求m．
19．（2022高三上·辽宁期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，PA＝PD，，，AD＝CD＝2，AB＝3，E是棱AD的中点．
（1）证明：平面PCE；
（2）若，求平面PCE与平面PAB所成角的余弦值．
20．（2022高三上·辽宁期中）人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空100m的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍，此时位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥肠辘辘的猎豹，猎豹正目不转睛地盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上．
（1）求此时猎豹与羚羊之间的距离．
（2）若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以28m/s的速度出击，与此同时机警的羚羊以20m/s的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑600m，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？若有可能，求猎豹狩猎成功的最短时间；若不能，请说明原因．
21．（2022高三上·辽宁期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当a＝1时，若函数有两个零点，求实数t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】子集与真子集；并集及其运算
【解析】【解答】因为，所以其子集个数有个．
故答案为：B
【分析】 由并集的定义求A∪B并确定其元素的个数，从而确定子集的个数.
2．【答案】D
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，所以，故z在复平面内对应的点为，该点位于第四象限．
故答案为：D.
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简z，再根据复数的几何意义可得答案.
3．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，有大前提的命题，其否定中大前提不变，
又因为命题p：已知，则，，
所以：已知，则，，
故答案为：C.
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得答案.
4．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，，，所以．
故答案为：D
【分析】 由指数函数的单调性以及对数的性质，分别判断出与0和1的大小关系，即可得答案.
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；进行简单的合情推理
【解析】【解答】“甲的牙齿的枚数不大于1”，即甲无齿或有1枚独齿，故甲可为须鲸类或齿鲸类，充分性不成立；
“甲为须鲸”，即甲无齿，故甲的牙齿的枚数不大于1，必要性成立；
所以“甲的牙齿的枚数不大于1”是“甲为须鲸”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】根据充分条件，必要条件的定义及题设描述，判断条件间的关系，可得答案.
6．【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：因为，
所以，根据正弦定理边化角得，
因为，
所以，即
所以，当为钝角时，，即，解得，，周长为；
当为钝角时，，即，解得，，此时与为钝角时矛盾，故不成立；
综上，的周长为9.
故答案为：A
【分析】由题意可得，，再分为钝角和为钝角两种情况讨论求解，可得 的周长 .
7．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为x＋2y＋xy＝7，
所以，
所以．
因为，则
所以，
当且仅当，即x＝1，y＝2时，等号成立，
所以x＋y的最小值为3．
故答案为：D
【分析】由x＋2y＋xy＝7得，，再利用基本不等式可求出x＋y的最小值．
8．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】根据题意，作图如下：
如图所示，因为，，，所以.
因为原水位线的直径，投入石子后，水位线的直径，
则由圆台公式可得：；
因为需要填充的石子的体积是由圆台加圆柱体得到，
即
则需要石子的个数为，所以至少共需要3颗石子.
故答案为：B.
【分析】 先求出每个石子的体积，再求出需要填充的体积，两者作商即可得答案.
9．【答案】B,C
【知识点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，连接，，，，则，所以异面直线和所成的角为，因为，所以为等边三角形，即，A不符合题意，B符合题意；因为，所以，，所以，
，所以，所以点到平面的距离为，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据棱柱的结构特征，逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】由题意知，则，当时，，，，
当时，，，，
所以的大致图象不可能为C，
而当为其他值时，A，B，D均有可能出现，
不妨设，定义域为，此时A选项符合要求；
当时，定义域为，且，
故函数为奇函数，所以B选项符合要求，
当时，定义域为，且，
故函数为偶函数，所以D选项符合要求.
故答案为：ABD
【分析】根据函数解析式结合函数的性质，逐项进行判断，可得答案.
11．【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为（x＞0且），得，
所以，，
所以曲线在x＝e处的切线平行于x轴，A符合题意；
令，得x＞e，令，得0＜x＜1或1＜x＜e，
所以在上单调递增，在和上单调递减，
所以的极小值为，B不符合题意，C符合题意；
因为当0＜x＜1时，的图象与直线y＝－1有一个交点，
所以方程有一个实数解，D不符合题意．
故答案为：AC
【分析】 先对函数求导，结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程，判断A；结合导数与单调性及极值关系可判断B、C；结合函数性质即可判断D.
12．【答案】A,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断
【解析】【解答】令x＝y＝0，得，A符合题意．
令x＝0，则，所以为奇函数，B不符合题意．
任取，且，则．
因为，
所以，所以．
因为，，所以，，
即在上单调递增．
因为A，B是锐角的内角，所以，所以，
所以．
因为，，所以，C不符合题意．
因为，且，所以．
令y＝－x，则，
令，则，所以．
因为，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，D符合题意．
故答案为：AD
【分析】利用赋值法可判断A、B、D；利用正、余弦函数的单调性可判断C.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；诱导公式
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
故答案为：.
【分析】利用诱导公式化简求出，再利用两角和的正切公式可求出答案.
14．【答案】5
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
解得．
故答案为：5
【分析】由已知结合等差数列的性质及通项公式，可求出答案.
15．【答案】-3或1；或
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】（注意：只需从这两组答案中选择一组作答即可）
设切点，因为，所以切线方程为．
因为切线l经过点P，所以，
则关于的方程只有一个实数解．
即只有一个实数解，由，解得或．
当时，，此时切线方程为；
当时，，此时切线方程为．
【分析】 先另外设切点，并利用导数求出切线方程，再将 代入，所得的方程(关于切点横坐标)只有一组解，利用判别式列出x0的方程，求解出 的值；再选择一个切点横坐标求出对应的切线方程.
16．【答案】（1）解：函数的定义域为，又因为是奇函数，
则，解得；
经检验，故成立；
（2）解：因为
对任意，有
所以在上单调递增
又，所以
解得
【知识点】函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】 (1)由已知结合奇函数的定义代入即可求解 的值；
(2)由已知结合函数的单调性即可求解出 的取值范围．
17．【答案】（1）解：由图象可知，，则，所以．
将点代入函数解析式可得，
知，，得，所以．
将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，
再向上平移1个单位长度后，得到的图象，
所以．
（2）解：因为，所以 ，令，则．
因为，所以，所以．
【知识点】正弦函数的定义域和值域；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】 (1)由最值可求A，结合周期可求，进而可求出函数解析式f (x)，然后结合函数图象的平移可求出 的解析式；
(2)结合正弦函数的性质即可求解出 在上的值域．
18．【答案】（1）解：设的公比为q，
则，
解得
所以的通项公式为．
（2）解：因为，
所以，，．
由，
整理得，
解得m＝4或（舍去），
故m＝4．
【知识点】等比数列的通项公式；数列递推式
【解析】【分析】 (1) 设的公比为q， 由题意得 ， 求出a1，q，即可求出 的通项公式；
(2)由(1)得 ，，，由题意可得关于m的方程 ， 求解即可求出m的值.
19．【答案】（1）证明：在棱AB上取点F，使得AF＝2BF＝2，连接CF，BE．
因为，，AD＝CD＝2，
所以四边形AFCD是正方形，
因为E是棱AD的中点，所以，
所以，，
从而，故．
因为PA＝PD，且E是棱AD的中点，
所以．
因为平面平面ABCD，且平面平面ABCD＝AD，
所以平面ABCD．
因为平面ABCD，所以．
因为平面PCE，平面PCE，且，
所以平面PCE．
（2）解：以E为原点，分别以，的方向为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意可知，，，，
则，．
设平面PAB的法向量为，
则，令x＝2，得．
由（1）可知平面PCE，则平面PCE的一个法向量为．
设平面PCE与平面PAB所成角为，由图可知为锐角，
所以，
所以平面PCE与平面PAB所成角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1) 在棱AB上取点F，使得AF＝2BF＝2，连接CF，BE， 由题意可得四边形AFCD是正方形，BC⊥CE，又PE⊥AD，根据面面垂直的性质可得PE⊥平面ABCD，结合线面垂直的判定定理，即可证得 平面PCE；
(2) 以E为原点，分别以，的方向为x，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，分别求出平面PAB的一个法向量和平面PCE的一个法向量，利用向量法即可求出平面PCE与平面PAB所成角的余弦值．
20．【答案】（1）解：如图，
，
，
由正弦定理，可得，
因此或，
当时，，猎豹与羚羊之间的距离为；
当时，，猎豹与羚羊之间的距离为.
（2）解：由(1)可知，若猎豹到点C处比到点B处羚羊的距离更近，则
.
设猎豹在最短时间内捕猎成功的地点为点，，
则，
所以，
整理得，解得（负根舍去），
因为，所以猎豹这次捕猎有成功的可能，且狩猎成功的最短时间为.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)先由题意作出图形，先结合三角函数的定义求出AC， BC的长度，再在△ABC中利用正弦定理求出∠ABC，然后再求出∠ACB，即可求出猎豹与羚羊之间的距离；
(2)只需它们同时启动时，猎豹能够比羚羊到提前到达捕猎地点，即可能捕猎成功.
21．【答案】（1）解：因为，
所以．
当时，恒成立，
所以在上单调递增；
当时，令，得，
由解得，由解得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，恒成立，
所以在上单调递减．
综上可知：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
（2）解：当时，，则，
所以关于x的方程有两个不同的实根，
即关于x的方程有两个不同的实根．
因为x＞0，
所以．
令，则，
所以在上单调递增．
要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根．
令，则．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以．当t＜1时，，没有零点；
当t＝1时，，当且仅当x＝1时，等号成立，只有一个零点；
当t＞1时，，，．
令，则，即在上单调递增，
所以，即．
所以在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件．
综上，实数t的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；分析法和综合法
【解析】【分析】 (1)求导，根据导数正负，判断函数单调性即可得 的单调性；
(2) 当时，，所以关于x的方程 有两个不同的实根，即关于x的方程 有两个不同的实根，再根据函数零点个数分情况进行求解，即可得实数t的取值范围 .
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辽宁省县级重点高中联合体2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·辽宁期中）已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．15
【答案】B
【知识点】子集与真子集；并集及其运算
【解析】【解答】因为，所以其子集个数有个．
故答案为：B
【分析】 由并集的定义求A∪B并确定其元素的个数，从而确定子集的个数.
2．（2022高三上·辽宁期中）若，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，所以，故z在复平面内对应的点为，该点位于第四象限．
故答案为：D.
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简z，再根据复数的几何意义可得答案.
3．（2022高三上·辽宁期中）已知命题p：已知，则，，则：（ ）
A．已知，则，
B．已知，则，
C．已知，则，
D．已知，则，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，有大前提的命题，其否定中大前提不变，
又因为命题p：已知，则，，
所以：已知，则，，
故答案为：C.
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得答案.
4．（2022高三上·辽宁期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，，，所以．
故答案为：D
【分析】 由指数函数的单调性以及对数的性质，分别判断出与0和1的大小关系，即可得答案.
5．（2022高三上·辽宁期中）鲸是水栖哺乳动物，用肺呼吸，一般分为两类：须鲸类，无齿，有鲸须；齿鲸类，有齿，无鲸须，最少的仅具1枚独齿．已知甲是一头鲸，则“甲的牙齿的枚数不大于1”是“甲为须鲸”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；进行简单的合情推理
【解析】【解答】“甲的牙齿的枚数不大于1”，即甲无齿或有1枚独齿，故甲可为须鲸类或齿鲸类，充分性不成立；
“甲为须鲸”，即甲无齿，故甲的牙齿的枚数不大于1，必要性成立；
所以“甲的牙齿的枚数不大于1”是“甲为须鲸”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】根据充分条件，必要条件的定义及题设描述，判断条件间的关系，可得答案.
6．（2022高三上·辽宁期中）钝角的内角的对边分别是，已知，且，则的周长为（ ）
A．9 B． C．6 D．或9
【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：因为，
所以，根据正弦定理边化角得，
因为，
所以，即
所以，当为钝角时，，即，解得，，周长为；
当为钝角时，，即，解得，，此时与为钝角时矛盾，故不成立；
综上，的周长为9.
故答案为：A
【分析】由题意可得，，再分为钝角和为钝角两种情况讨论求解，可得 的周长 .
7．（2022高三上·辽宁期中）若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为x＋2y＋xy＝7，
所以，
所以．
因为，则
所以，
当且仅当，即x＝1，y＝2时，等号成立，
所以x＋y的最小值为3．
故答案为：D
【分析】由x＋2y＋xy＝7得，，再利用基本不等式可求出x＋y的最小值．
8．（2022高三上·辽宁期中）《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中的一个寓言故事，通过讲述一只乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理.如图所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，已知该锥形瓶上面的部分是圆柱体，下面的部分是圆台，瓶口的直径为3cm，瓶底的直径为9cm，瓶口距瓶颈，瓶颈到水位线的距离和水位线到瓶底的距离均为.现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移，当水位线离瓶口不大于时，乌鸦就能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（石子体积均视为一致）（ ）
A．2颗 B．3颗 C．4颗 D．5颗
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】根据题意，作图如下：
如图所示，因为，，，所以.
因为原水位线的直径，投入石子后，水位线的直径，
则由圆台公式可得：；
因为需要填充的石子的体积是由圆台加圆柱体得到，
即
则需要石子的个数为，所以至少共需要3颗石子.
故答案为：B.
【分析】 先求出每个石子的体积，再求出需要填充的体积，两者作商即可得答案.
二、多选题
9．（2022高三上·辽宁期中）正方体的棱长为2，则（ ）
A．异面直线和所成的角为
B．异面直线和所成的角为
C．点到平面的距离为
D．点到平面的距离为
【答案】B,C
【知识点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，连接，，，，则，所以异面直线和所成的角为，因为，所以为等边三角形，即，A不符合题意，B符合题意；因为，所以，，所以，
，所以，所以点到平面的距离为，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据棱柱的结构特征，逐项进行判断，可得答案.
10．（2022高三上·辽宁期中）函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】由题意知，则，当时，，，，
当时，，，，
所以的大致图象不可能为C，
而当为其他值时，A，B，D均有可能出现，
不妨设，定义域为，此时A选项符合要求；
当时，定义域为，且，
故函数为奇函数，所以B选项符合要求，
当时，定义域为，且，
故函数为偶函数，所以D选项符合要求.
故答案为：ABD
【分析】根据函数解析式结合函数的性质，逐项进行判断，可得答案.
11．（2022高三上·辽宁期中）已知，则（ ）
A．曲线在x＝e处的切线平行于x轴
B．的单调递减区间为
C．的极小值为e
D．方程没有实数解
【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为（x＞0且），得，
所以，，
所以曲线在x＝e处的切线平行于x轴，A符合题意；
令，得x＞e，令，得0＜x＜1或1＜x＜e，
所以在上单调递增，在和上单调递减，
所以的极小值为，B不符合题意，C符合题意；
因为当0＜x＜1时，的图象与直线y＝－1有一个交点，
所以方程有一个实数解，D不符合题意．
故答案为：AC
【分析】 先对函数求导，结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程，判断A；结合导数与单调性及极值关系可判断B、C；结合函数性质即可判断D.
12．（2022高三上·辽宁期中）已知函数的定义域为，，且，当时，，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．当A，B是锐角的内角时，
D．当，且，时，
【答案】A,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断
【解析】【解答】令x＝y＝0，得，A符合题意．
令x＝0，则，所以为奇函数，B不符合题意．
任取，且，则．
因为，
所以，所以．
因为，，所以，，
即在上单调递增．
因为A，B是锐角的内角，所以，所以，
所以．
因为，，所以，C不符合题意．
因为，且，所以．
令y＝－x，则，
令，则，所以．
因为，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，D符合题意．
故答案为：AD
【分析】利用赋值法可判断A、B、D；利用正、余弦函数的单调性可判断C.
三、填空题
13．（2022高三上·辽宁期中）若，则 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；诱导公式
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
故答案为：.
【分析】利用诱导公式化简求出，再利用两角和的正切公式可求出答案.
14．（2022高三上·辽宁期中）设等差数列的前n项和为，若，则 ．
【答案】5
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
解得．
故答案为：5
【分析】由已知结合等差数列的性质及通项公式，可求出答案.
15．（2022高三上·辽宁期中）若过轴上一点所作的曲线C：的切线有且只有一条，则的一个可能值为 ，此时的切线方程为 ．
【答案】-3或1；或
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】（注意：只需从这两组答案中选择一组作答即可）
设切点，因为，所以切线方程为．
因为切线l经过点P，所以，
则关于的方程只有一个实数解．
即只有一个实数解，由，解得或．
当时，，此时切线方程为；
当时，，此时切线方程为．
【分析】 先另外设切点，并利用导数求出切线方程，再将 代入，所得的方程(关于切点横坐标)只有一组解，利用判别式列出x0的方程，求解出 的值；再选择一个切点横坐标求出对应的切线方程.
四、解答题
16．（2022高三上·辽宁期中）已知函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）已知，求的取值范围．
【答案】（1）解：函数的定义域为，又因为是奇函数，
则，解得；
经检验，故成立；
（2）解：因为
对任意，有
所以在上单调递增
又，所以
解得
【知识点】函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】 (1)由已知结合奇函数的定义代入即可求解 的值；
(2)由已知结合函数的单调性即可求解出 的取值范围．
17．（2022高三上·辽宁期中）函数的部分图象如图所示，将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数的图象．
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域．
【答案】（1）解：由图象可知，，则，所以．
将点代入函数解析式可得，
知，，得，所以．
将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，
再向上平移1个单位长度后，得到的图象，
所以．
（2）解：因为，所以 ，令，则．
因为，所以，所以．
【知识点】正弦函数的定义域和值域；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】 (1)由最值可求A，结合周期可求，进而可求出函数解析式f (x)，然后结合函数图象的平移可求出 的解析式；
(2)结合正弦函数的性质即可求解出 在上的值域．
18．（2022高三上·辽宁期中）设等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）记，若，求m．
【答案】（1）解：设的公比为q，
则，
解得
所以的通项公式为．
（2）解：因为，
所以，，．
由，
整理得，
解得m＝4或（舍去），
故m＝4．
【知识点】等比数列的通项公式；数列递推式
【解析】【分析】 (1) 设的公比为q， 由题意得 ， 求出a1，q，即可求出 的通项公式；
(2)由(1)得 ，，，由题意可得关于m的方程 ， 求解即可求出m的值.
19．（2022高三上·辽宁期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，PA＝PD，，，AD＝CD＝2，AB＝3，E是棱AD的中点．
（1）证明：平面PCE；
（2）若，求平面PCE与平面PAB所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：在棱AB上取点F，使得AF＝2BF＝2，连接CF，BE．
因为，，AD＝CD＝2，
所以四边形AFCD是正方形，
因为E是棱AD的中点，所以，
所以，，
从而，故．
因为PA＝PD，且E是棱AD的中点，
所以．
因为平面平面ABCD，且平面平面ABCD＝AD，
所以平面ABCD．
因为平面ABCD，所以．
因为平面PCE，平面PCE，且，
所以平面PCE．
（2）解：以E为原点，分别以，的方向为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意可知，，，，
则，．
设平面PAB的法向量为，
则，令x＝2，得．
由（1）可知平面PCE，则平面PCE的一个法向量为．
设平面PCE与平面PAB所成角为，由图可知为锐角，
所以，
所以平面PCE与平面PAB所成角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1) 在棱AB上取点F，使得AF＝2BF＝2，连接CF，BE， 由题意可得四边形AFCD是正方形，BC⊥CE，又PE⊥AD，根据面面垂直的性质可得PE⊥平面ABCD，结合线面垂直的判定定理，即可证得 平面PCE；
(2) 以E为原点，分别以，的方向为x，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，分别求出平面PAB的一个法向量和平面PCE的一个法向量，利用向量法即可求出平面PCE与平面PAB所成角的余弦值．
20．（2022高三上·辽宁期中）人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空100m的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍，此时位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥肠辘辘的猎豹，猎豹正目不转睛地盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上．
（1）求此时猎豹与羚羊之间的距离．
（2）若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以28m/s的速度出击，与此同时机警的羚羊以20m/s的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑600m，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？若有可能，求猎豹狩猎成功的最短时间；若不能，请说明原因．
【答案】（1）解：如图，
，
，
由正弦定理，可得，
因此或，
当时，，猎豹与羚羊之间的距离为；
当时，，猎豹与羚羊之间的距离为.
（2）解：由(1)可知，若猎豹到点C处比到点B处羚羊的距离更近，则
.
设猎豹在最短时间内捕猎成功的地点为点，，
则，
所以，
整理得，解得（负根舍去），
因为，所以猎豹这次捕猎有成功的可能，且狩猎成功的最短时间为.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)先由题意作出图形，先结合三角函数的定义求出AC， BC的长度，再在△ABC中利用正弦定理求出∠ABC，然后再求出∠ACB，即可求出猎豹与羚羊之间的距离；
(2)只需它们同时启动时，猎豹能够比羚羊到提前到达捕猎地点，即可能捕猎成功.
21．（2022高三上·辽宁期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当a＝1时，若函数有两个零点，求实数t的取值范围．
【答案】（1）解：因为，
所以．
当时，恒成立，
所以在上单调递增；
当时，令，得，
由解得，由解得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，恒成立，
所以在上单调递减．
综上可知：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
（2）解：当时，，则，
所以关于x的方程有两个不同的实根，
即关于x的方程有两个不同的实根．
因为x＞0，
所以．
令，则，
所以在上单调递增．
要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根．
令，则．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以．当t＜1时，，没有零点；
当t＝1时，，当且仅当x＝1时，等号成立，只有一个零点；
当t＞1时，，，．
令，则，即在上单调递增，
所以，即．
所以在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件．
综上，实数t的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；分析法和综合法
【解析】【分析】 (1)求导，根据导数正负，判断函数单调性即可得 的单调性；
(2) 当时，，所以关于x的方程 有两个不同的实根，即关于x的方程 有两个不同的实根，再根据函数零点个数分情况进行求解，即可得实数t的取值范围 .
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