山东省德州市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

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山东省德州市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·德州期中）已知非空集合，，，若，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
2．（2022高三上·德州期中）已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022高三上·德州期中）已知，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2022高三上·德州期中）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2022高三上·德州期中）设为所在平面内一点，，则（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022高三上·德州期中）某函数在上的部分图象如图，则函数解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2022高三上·德州期中）已知某品牌手机电池充满时的电量为4000（单位：毫安时），且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式：电量呈线性衰减，每小时耗电400（单位：毫安时）；模式：电量呈指数衰减，即从当前时刻算起，小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启模式，并在小时后，切换为模式，若使且在待机10小时后有超过的电量，则的可能取值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·德州期中）已知定义在上的函数，若的图像与轴有4个不同的交点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·德州期中）若，则下列不等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2022高三上·德州期中）已知函数同时满足下列三个条件：
①该函数的最大值为；
②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为；
③该函数图象关于对称.
那么下列说法正确的是（　　）
A．的值可唯一确定
B．函数是奇函数
C．当时，函数取得最小值
D．函数在区间上单调递增
11．（2022高三上·德州期中）已知，则（　　）
A．的定义域是
B．函数在上为减函数
C．若直线和的图象有交点，则
D．
12．（2022高三上·德州期中）将个数排成行列的数阵，如图所示：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中0）.已知，记这个数的和为，下面叙述正确的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2022高三上·德州期中）曲线在处的切线方程为　 　.
14．（2022高三上·德州期中）已知命题.若为假命题，则的取值范围为　 　.
15．（2022高三上·德州期中）在中，为边上任意一点，为的中点，且满足，则的最小值为　 　.
16．（2022高三上·德州期中）定义为与距离最近的整数（当为两相邻整数算术平均值时，取较大整数），令函数，如：.则　 　；　 　.
四、解答题
17．（2022高三上·德州期中）设两个向量满足，.
（1）若，求的夹角；
（2）若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
18．（2022高三上·德州期中）在①，②③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
在中，角所对的边分别为，且____.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
19．（2022高三上·德州期中）函数是定义在上的偶函数，且对任意实数，都有成立.已知当时，.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）若函数的最大值为1，当时，求不等式的解集.
20．（2022高三上·德州期中）第二届中国（宁夏）国际葡萄酒文化旅游博览会于2022年9月6—12日在银川市成功举办，某酒庄带来了葡萄酒新品参展，与采购商洽谈，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本40万元，每生产一箱需另投入100元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒万箱且全部售完，每万箱的销售收入为万元，
（1）写出年利润（万元）关于年产是（万箱）的函数解析式（利润销售收入成本）；
（2）年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润．
21．（2022高三上·德州期中）已知数列的前项和为，且满足，数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：.
22．（2022高三上·德州期中）已知函数.
（1）求在的最小值；
（2）若方程有两个不同的解，且成等差数列，试探究值的符号.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】空集的定义、性质及运算；交集及其运算
【解析】【解答】因为，得或，又因为，集合不是空集，则，解得.
故答案为：D
【分析】化简集合A，结合，可得集合不是空集，即，求解可得 实数的取值范围 .
2．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】根据幂函数的特性知，函数在上单调递增
所以时， ，又函数在R上单调递增，时，
即“”是“”的充分条件；
时，根据指数函数的单调性可得，此时有
所以“”也是“”的必要条件，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据幂函数、指数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义，可得答案.
3．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】即变形得：.
故答案为：C
【分析】 由题意利用两角和的正弦公式，计算求得 的值.
4．【答案】B
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】因为，
所以，
又因为，所以，
故答案为：B.
【分析】根据斐波那契数列的性质进行求解，可得答案.
5．【答案】A
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】解：由题知，
，
即
.
故答案为：A
【分析】根据向量加法的性质可得结合 可得答案.
6．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由图形可得：当时恒成立，先减后增，.
对A：当时，则，故，A不符合题意；
对B：，
∵，则，
当时，则，则，当时，则，则，
∴在上单调递减，在上单调递增，则，
又∵，则，B符合题意；
对C：当时，则，故，C不符合题意；
对D：，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由图形可得：当时恒成立，先减后增，通过符号判断A、C；求导，利用导数判断单调性和最值，并代入x=π检验可判断B；代入x=π检验即可判断D.
7．【答案】C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由题意：模式A在待机t小时后电池内电量为：；设当前电量为Q，模式B在待机t小时后电池内电量为：；则该电子产品处于满电量待机状态时开启模式，并在小时后，切换为模式，其在待机10小时后的电量为：，由，即，令，则，由图可分析，
当时，，即，因为
故答案为：C.
【分析】 由题意可列出方程，画出一次函数和指数函数的图象，数形结合即可分析出x的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】因为的图像与轴有4个不同的交点，所以与有4个不同的交点，作出二者图像如下图：
易知直线恒过定点，斜率为a，
当直线与相切时是一种临界状态，设此时切点的坐标为，则，解得，所以切线为，此时有三个交点；
当直线过点时，，此时有四个交点；
综上所述：，
故答案为：A.
【分析】由的图像与轴有4个不同的交点，得与有4个不同的交点，画出图象，求出与恰有两个交点的临界直线的斜率，即可求出实数的取值范围.
9．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】，；
对于A，，
，，，则，A不符合题意；
对于B，，，，B符合题意；
对于C，，，，（当且仅当时取等号），
又，等号不成立，即，C符合题意；
对于D，，，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】 根据已知不等式可得b10．【答案】A,C
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】由题可知：，，即
∴
又∵该函数图象关于对称
∴，即
又∵
∴当时，
∴
A选项：此时的值可唯一确定，A符合题意；
B选项：
当时，
∴此时函数不是奇函数，B不符合题意；
C选项：，
此时函数取得最小值，C符合题意；
D选项：已知，
∴
∴在函数在区间上单调递减，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】 根据题意结合 ①②③三个条件可求出的解析式，利用正弦函数的性质逐项进行判断可得答案.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的定义域及其求法；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：关于A：，
，
解得，A符合题意；
关于B：
，
，
，
，，
在单调递增，
，
在上单调递减，B符合题意；
关于C：
，，
，
在单调递增，
，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
，
所以画草图如下：
由图可知，若直线和的图象有交点，
则，C不符合题意；
关于D：
时，单调递增，
，
即，
成立，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】求出的定义域可判断A；求导判断出函数的单调性，可判断B；结合函数的单调性可得直线和的图象有交点，求出m的范围，可判断C；，可判断D.
12．【答案】A,C,D
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【解答】对于A，由题意，，，
由，则，整理可得，
由，解得，A符合题意；
对于B，，，B不符合题意；
对于C，，，C符合题意；
对于D，，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式可求出m的值，再结合已知条件写出 的通项公式，最后利用分组求和法计算S，即可得答案.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题知，
，，
，
在处的切线方程为，
即.
故答案为：
【分析】 求出导函数，求解切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程.
14．【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】为假命题
为真命题，故，
令，则，
令解得，令解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】先写出命题p的否命题，根据p为假命题即可得出为真命题，再分参求最值即可求出 的取值范围 .
15．【答案】
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】由为边上任意一点，则，
，
可得，则，即，由，可得，则，
故，
当时，取得最小值为.
故答案为：.
【分析】 利用三点共线的向量表示得到，再利用基本不等式求解出 的最小值 .
16．【答案】4；
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】当时，，则，；
当时，，则，；
当时，，则，；
当时，，则，；
当时，，此时，包含，，，，共个整数，
所以将分组为，，，，，第组有个数，且每一组中所有数之和为，
则，
当时，则，即在第45组中，且位于第45组中个数的位置上，
则.
故答案为：①4；②.
【分析】分别求出当时，时，，时，时的值，将分组为，，，，，第组有个数，且每一组中所有数之和为，即可求出答案.
17．【答案】（1）解：由 ，得 ，
又 ， 所以，
所以，
又因为 ，
所以的夹角为 ；
（2）解：由已知得，
则，
因为向量与的夹角为钝角， 所以， 解得，
设，
则， 无解， 故两个向量的夹角不可能为 ，
所以向量与的夹角为钝角时， 的取值范围为.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】 (1)由题意建立关于θ的方程，解方程可得 的夹角；
(2)夹角为钝角即 且向量 与 不反向，结合向量的数量积运算可得实数的取值范围.
18．【答案】（1）解：选择条件①，由 及正弦定理，可得 ，即 ，
由余弦定理， 得 ，
因为 ， 所以 .
选择条件②，由 及正弦定理， 可得 ，
即 ，即 .
在 中， ，所以 ， 即 ，
因为 ， 所以 ， 所以 ，因为 ， 所以 .
若选条件③， ， 则 ，
由 ， 有 ，由，所以 ，
因为 ， 所以 ，所以 .
（2）解：由正弦定理得 ，所以 ，
因为 ， 所以 ， 所以 ，
若 ， 由余弦定理得 ， 即 ，
所以 ，因为 ， 所以 ，
所以 的面积为 .
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)若选①，利用余弦定理求出cosC，结合C的范围即可求解C的值；若选②，由正弦定理化简，再由两角和的正弦公式，即可求得求出cosC，结合C的范围即可求解C的值；若选③，由正弦定理和二倍角的正弦公式化简可得 ，结合C的范围即可求解出C的值；
(2)利用余弦定理和正弦定理得到a， b的方程组，求出ab= 4，再由三角形面积公式求解出 的面积.
19．【答案】（1）解：由，可得图象关于对称.
因为，所以，，又，
故所求的表达式为，.
（2）解：因为是上的偶函数，所以，即函数是以2为周期的函数.
因为，由函数的最大值为1，知，即 .
若，则，所以，
当时，是上的偶函数，可得，
所以此时满足不等式的解集为 .
因为是以2为周期的周期函数，
当时，的解集为 ，
当时，的解集为.
综上所述，的解集为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质；函数的周期性
【解析】【分析】（1） 由，可得图象关于对称 ，由 ，得可得当时，函数的表达式；
（2）函数是以2为周期的函数，，由函数的最大值为1 求出a的值，分 ， 两种情况解不等式，可求出不等式的解集.
20．【答案】（1）解：当时，，
当时，，
故；
（2）解：当时，，
对称轴为，开口向下，故，
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，
因为 ，
所以当时，利润最大，最大值为万元，
故年产量为万箱时，该公司利润最大，最大利润为万元.
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
【解析】【分析】 (1)结合利润=收入-成本，分 ， 两种情况讨论，即可求解出利润（万元）关于年产是（万箱）的函数解析式 ；
(2)根据已知条件，结合二次函数的性质和基本不等式的公式，即可求解出最大利润．
21．【答案】（1）解：由 得 ，
作差得 ， 即 ，
即 ， 即 ，
所以数列 是以 为首项， 3 为公比的等比数列， ， 所以 .
数列 满足 ， (1)
当 时， ；
当 时， ，(2)
由(1) -(2)可得 ，
当 时，也符合上式， 故数列 的通项公式为 .
（2）证明：
则
故 成立.
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；
（2） ，利用裂项求和法可证得 .
22．【答案】（1）解：.
当 时， 在 单调递减， ；
当 时， 在 单週递减， ；
当 时， 时， 时， ， 所以 在 单週递减， 在 单调递增，
综上，当 时， ；当 时， .
（2）解：值的符号为正，理由如下：
由 (1) 知， 当 时， 单调递减， 不符合题意.
当 时， 在 单调递减， 在 单调递增.
不妨设 ，由方程 有两个不同的解 ，
则 ， 整理得
.
令 ， 则 ，令 ，
在 单调递增， .故 得证
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】 (1)求函数f (x)的导函数，分类讨论a的取值范围，可得 在的最小值；
(2) 由方程 有两个不同的解 ， 求出导函数，利用换元法以及函数的单调性判断出 值的符号.
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山东省德州市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·德州期中）已知非空集合，，，若，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空集的定义、性质及运算；交集及其运算
【解析】【解答】因为，得或，又因为，集合不是空集，则，解得.
故答案为：D
【分析】化简集合A，结合，可得集合不是空集，即，求解可得 实数的取值范围 .
2．（2022高三上·德州期中）已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】根据幂函数的特性知，函数在上单调递增
所以时， ，又函数在R上单调递增，时，
即“”是“”的充分条件；
时，根据指数函数的单调性可得，此时有
所以“”也是“”的必要条件，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据幂函数、指数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义，可得答案.
3．（2022高三上·德州期中）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】即变形得：.
故答案为：C
【分析】 由题意利用两角和的正弦公式，计算求得 的值.
4．（2022高三上·德州期中）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】因为，
所以，
又因为，所以，
故答案为：B.
【分析】根据斐波那契数列的性质进行求解，可得答案.
5．（2022高三上·德州期中）设为所在平面内一点，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】解：由题知，
，
即
.
故答案为：A
【分析】根据向量加法的性质可得结合 可得答案.
6．（2022高三上·德州期中）某函数在上的部分图象如图，则函数解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由图形可得：当时恒成立，先减后增，.
对A：当时，则，故，A不符合题意；
对B：，
∵，则，
当时，则，则，当时，则，则，
∴在上单调递减，在上单调递增，则，
又∵，则，B符合题意；
对C：当时，则，故，C不符合题意；
对D：，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由图形可得：当时恒成立，先减后增，通过符号判断A、C；求导，利用导数判断单调性和最值，并代入x=π检验可判断B；代入x=π检验即可判断D.
7．（2022高三上·德州期中）已知某品牌手机电池充满时的电量为4000（单位：毫安时），且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式：电量呈线性衰减，每小时耗电400（单位：毫安时）；模式：电量呈指数衰减，即从当前时刻算起，小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启模式，并在小时后，切换为模式，若使且在待机10小时后有超过的电量，则的可能取值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由题意：模式A在待机t小时后电池内电量为：；设当前电量为Q，模式B在待机t小时后电池内电量为：；则该电子产品处于满电量待机状态时开启模式，并在小时后，切换为模式，其在待机10小时后的电量为：，由，即，令，则，由图可分析，
当时，，即，因为
故答案为：C.
【分析】 由题意可列出方程，画出一次函数和指数函数的图象，数形结合即可分析出x的取值范围.
8．（2022高三上·德州期中）已知定义在上的函数，若的图像与轴有4个不同的交点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】因为的图像与轴有4个不同的交点，所以与有4个不同的交点，作出二者图像如下图：
易知直线恒过定点，斜率为a，
当直线与相切时是一种临界状态，设此时切点的坐标为，则，解得，所以切线为，此时有三个交点；
当直线过点时，，此时有四个交点；
综上所述：，
故答案为：A.
【分析】由的图像与轴有4个不同的交点，得与有4个不同的交点，画出图象，求出与恰有两个交点的临界直线的斜率，即可求出实数的取值范围.
二、多选题
9．（2022高三上·德州期中）若，则下列不等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】，；
对于A，，
，，，则，A不符合题意；
对于B，，，，B符合题意；
对于C，，，，（当且仅当时取等号），
又，等号不成立，即，C符合题意；
对于D，，，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】 根据已知不等式可得b10．（2022高三上·德州期中）已知函数同时满足下列三个条件：
①该函数的最大值为；
②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为；
③该函数图象关于对称.
那么下列说法正确的是（　　）
A．的值可唯一确定
B．函数是奇函数
C．当时，函数取得最小值
D．函数在区间上单调递增
【答案】A,C
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】由题可知：，，即
∴
又∵该函数图象关于对称
∴，即
又∵
∴当时，
∴
A选项：此时的值可唯一确定，A符合题意；
B选项：
当时，
∴此时函数不是奇函数，B不符合题意；
C选项：，
此时函数取得最小值，C符合题意；
D选项：已知，
∴
∴在函数在区间上单调递减，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】 根据题意结合 ①②③三个条件可求出的解析式，利用正弦函数的性质逐项进行判断可得答案.
11．（2022高三上·德州期中）已知，则（　　）
A．的定义域是
B．函数在上为减函数
C．若直线和的图象有交点，则
D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数的定义域及其求法；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：关于A：，
，
解得，A符合题意；
关于B：
，
，
，
，，
在单调递增，
，
在上单调递减，B符合题意；
关于C：
，，
，
在单调递增，
，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
，
所以画草图如下：
由图可知，若直线和的图象有交点，
则，C不符合题意；
关于D：
时，单调递增，
，
即，
成立，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】求出的定义域可判断A；求导判断出函数的单调性，可判断B；结合函数的单调性可得直线和的图象有交点，求出m的范围，可判断C；，可判断D.
12．（2022高三上·德州期中）将个数排成行列的数阵，如图所示：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中0）.已知，记这个数的和为，下面叙述正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【解答】对于A，由题意，，，
由，则，整理可得，
由，解得，A符合题意；
对于B，，，B不符合题意；
对于C，，，C符合题意；
对于D，，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式可求出m的值，再结合已知条件写出 的通项公式，最后利用分组求和法计算S，即可得答案.
三、填空题
13．（2022高三上·德州期中）曲线在处的切线方程为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题知，
，，
，
在处的切线方程为，
即.
故答案为：
【分析】 求出导函数，求解切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程.
14．（2022高三上·德州期中）已知命题.若为假命题，则的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】为假命题
为真命题，故，
令，则，
令解得，令解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】先写出命题p的否命题，根据p为假命题即可得出为真命题，再分参求最值即可求出 的取值范围 .
15．（2022高三上·德州期中）在中，为边上任意一点，为的中点，且满足，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】由为边上任意一点，则，
，
可得，则，即，由，可得，则，
故，
当时，取得最小值为.
故答案为：.
【分析】 利用三点共线的向量表示得到，再利用基本不等式求解出 的最小值 .
16．（2022高三上·德州期中）定义为与距离最近的整数（当为两相邻整数算术平均值时，取较大整数），令函数，如：.则　 　；　 　.
【答案】4；
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】当时，，则，；
当时，，则，；
当时，，则，；
当时，，则，；
当时，，此时，包含，，，，共个整数，
所以将分组为，，，，，第组有个数，且每一组中所有数之和为，
则，
当时，则，即在第45组中，且位于第45组中个数的位置上，
则.
故答案为：①4；②.
【分析】分别求出当时，时，，时，时的值，将分组为，，，，，第组有个数，且每一组中所有数之和为，即可求出答案.
四、解答题
17．（2022高三上·德州期中）设两个向量满足，.
（1）若，求的夹角；
（2）若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由 ，得 ，
又 ， 所以，
所以，
又因为 ，
所以的夹角为 ；
（2）解：由已知得，
则，
因为向量与的夹角为钝角， 所以， 解得，
设，
则， 无解， 故两个向量的夹角不可能为 ，
所以向量与的夹角为钝角时， 的取值范围为.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】 (1)由题意建立关于θ的方程，解方程可得 的夹角；
(2)夹角为钝角即 且向量 与 不反向，结合向量的数量积运算可得实数的取值范围.
18．（2022高三上·德州期中）在①，②③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
在中，角所对的边分别为，且____.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）解：选择条件①，由 及正弦定理，可得 ，即 ，
由余弦定理， 得 ，
因为 ， 所以 .
选择条件②，由 及正弦定理， 可得 ，
即 ，即 .
在 中， ，所以 ， 即 ，
因为 ， 所以 ， 所以 ，因为 ， 所以 .
若选条件③， ， 则 ，
由 ， 有 ，由，所以 ，
因为 ， 所以 ，所以 .
（2）解：由正弦定理得 ，所以 ，
因为 ， 所以 ， 所以 ，
若 ， 由余弦定理得 ， 即 ，
所以 ，因为 ， 所以 ，
所以 的面积为 .
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)若选①，利用余弦定理求出cosC，结合C的范围即可求解C的值；若选②，由正弦定理化简，再由两角和的正弦公式，即可求得求出cosC，结合C的范围即可求解C的值；若选③，由正弦定理和二倍角的正弦公式化简可得 ，结合C的范围即可求解出C的值；
(2)利用余弦定理和正弦定理得到a， b的方程组，求出ab= 4，再由三角形面积公式求解出 的面积.
19．（2022高三上·德州期中）函数是定义在上的偶函数，且对任意实数，都有成立.已知当时，.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）若函数的最大值为1，当时，求不等式的解集.
【答案】（1）解：由，可得图象关于对称.
因为，所以，，又，
故所求的表达式为，.
（2）解：因为是上的偶函数，所以，即函数是以2为周期的函数.
因为，由函数的最大值为1，知，即 .
若，则，所以，
当时，是上的偶函数，可得，
所以此时满足不等式的解集为 .
因为是以2为周期的周期函数，
当时，的解集为 ，
当时，的解集为.
综上所述，的解集为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质；函数的周期性
【解析】【分析】（1） 由，可得图象关于对称 ，由 ，得可得当时，函数的表达式；
（2）函数是以2为周期的函数，，由函数的最大值为1 求出a的值，分 ， 两种情况解不等式，可求出不等式的解集.
20．（2022高三上·德州期中）第二届中国（宁夏）国际葡萄酒文化旅游博览会于2022年9月6—12日在银川市成功举办，某酒庄带来了葡萄酒新品参展，与采购商洽谈，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本40万元，每生产一箱需另投入100元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒万箱且全部售完，每万箱的销售收入为万元，
（1）写出年利润（万元）关于年产是（万箱）的函数解析式（利润销售收入成本）；
（2）年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）解：当时，，
当时，，
故；
（2）解：当时，，
对称轴为，开口向下，故，
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，
因为 ，
所以当时，利润最大，最大值为万元，
故年产量为万箱时，该公司利润最大，最大利润为万元.
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
【解析】【分析】 (1)结合利润=收入-成本，分 ， 两种情况讨论，即可求解出利润（万元）关于年产是（万箱）的函数解析式 ；
(2)根据已知条件，结合二次函数的性质和基本不等式的公式，即可求解出最大利润．
21．（2022高三上·德州期中）已知数列的前项和为，且满足，数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）解：由 得 ，
作差得 ， 即 ，
即 ， 即 ，
所以数列 是以 为首项， 3 为公比的等比数列， ， 所以 .
数列 满足 ， (1)
当 时， ；
当 时， ，(2)
由(1) -(2)可得 ，
当 时，也符合上式， 故数列 的通项公式为 .
（2）证明：
则
故 成立.
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；
（2） ，利用裂项求和法可证得 .
22．（2022高三上·德州期中）已知函数.
（1）求在的最小值；
（2）若方程有两个不同的解，且成等差数列，试探究值的符号.
【答案】（1）解：.
当 时， 在 单调递减， ；
当 时， 在 单週递减， ；
当 时， 时， 时， ， 所以 在 单週递减， 在 单调递增，
综上，当 时， ；当 时， .
（2）解：值的符号为正，理由如下：
由 (1) 知， 当 时， 单调递减， 不符合题意.
当 时， 在 单调递减， 在 单调递增.
不妨设 ，由方程 有两个不同的解 ，
则 ， 整理得
.
令 ， 则 ，令 ，
在 单调递增， .故 得证
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】 (1)求函数f (x)的导函数，分类讨论a的取值范围，可得 在的最小值；
(2) 由方程 有两个不同的解 ， 求出导函数，利用换元法以及函数的单调性判断出 值的符号.
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