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山东省聊城市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·聊城期中）设集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022高三上·聊城期中）已知复数z满足，则（ ）．
A． B． C． D．8
3．（2022高三上·聊城期中）下列结论正确的是（ ）．
A．若命题，，则，．
B．若，则“”是“”的必要不充分条件．
C．点在的终边上，则的一个充要条件是．
D．，．
4．（2022高三上·聊城期中）已知函数，若函数在R上有两个零点，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022高三上·聊城期中）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022高三上·聊城期中）如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
7．（2022高三上·聊城期中）若函数使得数列，为递增数列，则称函数为“数列保增函数”．已知函数为“数列保增函数”，则a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
8．（2022高三上·聊城期中）已知，，，下列说法正确的是（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·聊城期中）已知平面向量，，，则（ ）．
A．若，则
B．若，则
C．若与的夹角为锐角，则
D．的最小值为4
10．（2022高三上·聊城期中）下列结论正确的是（ ）．
A．若，且，则
B．若，，，则的最小值为4
C．函数的最小值为4
D．已知各项均为正数的数列满足，，则取最小值时，
11．（2022高三上·聊城期中）已知函数的部分图像如图所示，将该函数图象向右平移个单位后，再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列选项中正确的有（ ）．
A．
B．
C．是曲线的对称轴
D．直线是曲线的一条切线
12．（2022高三上·聊城期中）在平面四边形ABCD中， 的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设的前n项和为，则（ ）
A．为等比数列 B．为等差数列
C．为递增数列 D．
三、填空题
13．（2022高三上·聊城期中）已知，若，，则= ．
14．（2022高三上·聊城期中）在四边形ABCD中，，且，，则的值为 ．
15．（2022高三上·聊城期中）设为数列的前n项和，且，，，则 ．
16．（2022高三上·聊城期中）已知函数在上单调递减，则a的取值范围为 ．
四、解答题
17．（2022高三上·聊城期中）已知函数．
（1）当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围；
（2）是否存在这样的实数a，使得函数在区间上为增函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
18．（2022高三上·聊城期中）已知正项数列满足且．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项的和．
19．（2022高三上·聊城期中）已知函数为奇函数，且，其中，．函数．
（1）求a，的值；
（2）求函数的单调递减区间．
20．（2022高三上·聊城期中）已知中，A、B、C所对边分别为a、b、c，且，．
（1）若，求的面积；
（2）若，求的周长．
21．（2022高三上·聊城期中）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，当时，对任意，存在，使，求实数m的取值范围．
22．（2022高三上·聊城期中）已知函数，，其中．
（1）若在上有两个不同零点，求a的取值范围．
（2）若在上单调递减，求a的取值范围．
（3）证明：，．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由题意得，，
故，所以，
故答案为：B.
【分析】 根据题意，求出集合A、B，进而由补集定义求出CRA，进而计算其交集即可得答案.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为，所以，
故，
故答案为：A.
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解，可得答案.
3．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】A选项，命题，，则，，A选项错误.
B选项，；，
不能推出；不能推出，
所以“”是“”的非充分非必要条件，B选项错误.
C选项，设，
所以，但此时为负数，所以C选项错误.
D选项，当时，，所以D选项正确.
故答案为：D
【分析】利用全称命题与特称命题的否定关系即可判断A；分别解出不等式的解集，然后根据充分、必要条件的定义即可判断B；举出特例即可判断选项C， D.
4．【答案】D
【知识点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为函数，
当时，令可得，解得，所以在上有一个零点，又函数在R上有两个零点，所以当时，方程有一个根，所以方程在上有一个根，即函数与函数的图象在时有且只有一个交点，作函数的图象如下：
观察图象可得，所以，所以m的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】 当x<0时，f(x)=2x+1有一个零点，只需当x≥0时，有一个根，利用“分离参数法”结合函数图象求解出 m的取值范围 .
5．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】
故选：A
【分析】 由已知利用两角差的余弦公式，两角和的正弦公式化简已知等式可得的值，进而利用诱导公式即可求解出答案.
6．【答案】C
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【解答】因为，
，
，
……，
，
以上个式子累加可得：，
所以，故选项A错误；
由递推关系可知：，所以B错误；
由，可得，C正确；
因为，
所以，
D错误；
故答案为：C.
【分析】根据a1，a2，a3的值可得，由递推公式即可判断B；利用累加法可得an，再计算前4项的和即可判断A；由an即可判断C；利用裂项相消求和法可判断D.
7．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意，对，，
即，
即，对恒成立，
由于在上单调递增，故，
故.
即.
故答案为：B
【分析】由题意得，对恒成立，再根据指数函数的单调性可求出a的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设，则在上恒成立，
所以在单调递增，
所以，
所以在单调递增，
所以，即，
所以，
又在单调递增，
所以，即，
所以；
设，则在上恒成立，
所以在单调递减，
所以，
所以在单调递减，
所以，即，
所以，即
所以；
综上所述：，
故答案为：C
【分析】设，求导可得在单调性，再结合指数函数的单调性可得，设，求导可得在单调性，可推出，进而得答案.
9．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意平面向量，，，
若，则 ，A正确；
若，则，B正确；
若与的夹角为锐角，则 ，即 ，
但时，与同向，满足，但夹角为 ，不是锐角，故C错误；
，
当时，取得最小值，故的最小值为4，D正确，
故答案为：ABD.
【分析】由向量共线的坐标运算列式求解m值判断A；由向量垂直的坐标运算列式求解n值判断B；由数量积大于0且两向量不共线求得n的范围判断C；求出向量模的最小值判断D.
10．【答案】A,B
【知识点】对数的运算性质；基本不等式
【解析】【解答】对于A，若，且，因为 ，
即，A正确；
对于B， 若，，，则，
则，即，故，
当且仅当是取得等号，故的最小值为4，B正确；
对于C，当时，，令 ，
则函数，单调递减，故，
即函数的最小值为2，C错误；
对于D， 各项均为正数的数列满足，，
则
，
满足上式，所以，
所以，当时，，当时，，
由于，故D错误，
故答案为：AB.
【分析】由已知结合基本不等式检验选项A、B；结合对勾函数单调性检验选项C；利用迭代法先求出an，然后利用对勾函数单调性检验选项D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由图象知 ， 解得 ，
将代入中得，则 ，
因为 ，A正确；
由于将函数图象向右平移个单位后，得函数的图象，
再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，故，B错误；
将代入中，，是曲线的对称轴，C正确；
，令 ，即，
可得时满足，此时，
则在点处的切线方程为 ，D正确，
故答案为：ACD.
【分析】根据函数图象可确定A，的值，利用特殊点代入函数解析式确定φ，即可得到函数的解析式，判断A；根据三角函数图象的平移变换可得到g(x)表达式，判断B；将代入验证，可判断C；利用导数的几何意义求得曲线的切线方程，可判断D.
12．【答案】B,D
【知识点】数列与向量的综合；向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】如图，连交于，
则，即，
所以，所以，
所以，
设，
因为，
所以，
，所以，
所以，即，
又，所以，
所以是首项为2，公差为-2的等差数列，
所以，所以，
因为不是常数，所以不为等比数列，故A不正确；
因为，
所以为等差数列，故B正确；
因为，
所以为递减数列，故C不正确；
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故答案为：BD
【分析】连接AC交BD于E，根据面积关系推出AE=2EC，根据平面向量推出，结合，根据等比数列的定义可判断A；根据等差数列的定义可判断B；根据数列的单调性可判断C；利用错位相减法求出Sn，可判断D.
13．【答案】
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】因为，所以，又，
，整理得
解得或（舍去）
因此，因为，所以，
，
【分析】利用换底公式结合对数的运算性质进行计算，可得答案.
14．【答案】5
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，
所以，
因为，，所以，
故答案为：
【分析】由得四边形ABCD是平行四边形，再利用向量数量积进行计算，可得答案.
15．【答案】
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】因为，①
则当时，，②
①－②得，所以，(），
则数列从第二项起，是公比2的等比数列，
又，
(），
当时，，不符合，
故，
故答案为：．
【分析】利用递推公式可求得数列从第二项起，是公比2的等比数列，进而求出 .
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为函数，故函数，
由题意可知在上恒成立，（不恒等于0），
当时，，不符合题意；
当时， ，则在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
当时，递增，当时，递减，
故，故 ，
当时，仅在时取等号，符合题意；
当时， ，则在上恒成立，
即在上恒成立，
由上述分析可知无最小值，且当时，，
比如取时，，即此时在上不恒成立，
综合上述可得a的取值范围为，
故答案为：.
【分析】由题意可得在上恒成立，然后研究f' (x)的最小值，再通过分离参数a，构造新函数并研究其最值，求解出 a的取值范围 .
17．【答案】（1）解：因为且，设，
则为减函数，时，的最小值为，
当时，恒有意义，即时，恒成立．
所以．所以．
又且，所以．
（2）解：，因为，所以函数为减函数．
因为在区间上为增函数，所以为减函数，
所以．
当时，最大值为，
所以，即．
故，使得函数在区间上为增函数，并且最大值为1．
【知识点】函数恒成立问题；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1) 设，由题意可知，只需 即可，从而求出a的取值范围；
(2)由复合函数的单调性可知 ，再结合f(2)=1求出a的值，检验即可.
18．【答案】（1）解：由题意得：，
∵，∴，即为常数，
∴数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴．
（2）解：由（1）得，
∴
.
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】(1)将题干中的递推公式 ，转化可得 ，即可得 数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出可得数列 的通项公式，采用分组求和的方法，结合等差数列和等比数列的前n项和公式即可计算出前项的和．
19．【答案】（1）解：法一：因为是奇函数，
而为偶函数，所以为奇函数，
又，得．
所以，
由，得，即．
法二：由题意可得，
因为，所以，可解得，，
此时为奇函数，
符合题意，所以，．
（2）解：
，
令，则的单调递减区间为，，
由解得，，
所以的单调递减区间为，．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性
【解析】【分析】(1)由题意可得 ， 结合θ∈(0， π)，可解得a， θ的值；
(2)利用三角函数恒等变换的应用可出求函数解析式 ， 进而利用正弦函数的单调性即可求解出函数的单调递减区间．
20．【答案】（1）解：因为，，，
∴，解得，
∴．
（2）解：因为，由正弦定理可得，
代入，解得，，
因为，所以A为锐角，
∴，
当B为锐角时，，
∴，
因为，
∴，，
∴，
当B为钝角时，，
∴，
因为，
∴，，
∴．
综上：的周长为或．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)由余弦定理与三角形面积公式求解即可得 的面积；
(2)由正弦定理把边化角，结合已知条件求得 ，， 再讨论角B，结合三角恒等变换与正弦定理即可求解出 的周长．
21．【答案】（1）解：定义域为，
，
令，得或．
当即时：
，，函数在上单调递减；
，，函数在单调递增；
当，即时：
，，函数在单调递增；
，，函数在上单调递减；
，，函数在上单调递增；
当即时：，，函数在单调递增；
当即时：
，，函数在单调递增；
，，函数在上单调递减；
，，函数在上单调递增；
综上：当时，单调递减区间有，单调递增区间有；
当时，单调递减区间有，单调递增区间有，；
当时，单调递增区间有，无单调递减区间；
当时，单调递减区间有，单调递增区间有，．
（2）解：当时，
由（1）得函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增，
从而函数在区间上的最小值为．
即存在，使，
即存在，使得，
即，令，，则，
由，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以，所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)求出定义域，然后求出原函数的导数及其零点，通过讨论a的范围，确定导数在每个区间上的符号，从而确定函数的单调性；
(2)问题即转化为g(x2)min≤f(x1)max，然后结合这两个函数的单调性、极值情况研究它们对应的最值即可得实数m的取值范围．
22．【答案】（1）解：，，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以时，取最小值．
因为在有两个不同的零点，所以，所以．
下面验证：当时，在有两个不同的零点.
当时，，，
令，则，
当时，，单调递减，
则，
所以，又，，
时，单调递减，时，单调递增，
所以在，上各有一个零点，即在有两个不同的零点.
综上，.
（2）解：在区间上单调递减，
即在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，
当时，，，
所以，即在上单调递增，
所以当时，，所以．
（3）证明：由（2）知时，，所以，即，．
令得，
所以，
即，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；反证法与放缩法
【解析】【分析】(1)求出函数h (x)的导数，求出导数的零点，极值点，研究极值的符号和区间(0， +∞)上函数值的符号情况求解出 a的取值范围；
(2)问题转化为F' (x)≤0在(0， 1)上恒成立，研究该函数的导数的最大值即可求出 a的取值范围；
(3)利用 ，进行放缩，从而将所证不等式简化，问题即可得证.
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山东省聊城市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·聊城期中）设集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由题意得，，
故，所以，
故答案为：B.
【分析】 根据题意，求出集合A、B，进而由补集定义求出CRA，进而计算其交集即可得答案.
2．（2022高三上·聊城期中）已知复数z满足，则（ ）．
A． B． C． D．8
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为，所以，
故，
故答案为：A.
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解，可得答案.
3．（2022高三上·聊城期中）下列结论正确的是（ ）．
A．若命题，，则，．
B．若，则“”是“”的必要不充分条件．
C．点在的终边上，则的一个充要条件是．
D．，．
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】A选项，命题，，则，，A选项错误.
B选项，；，
不能推出；不能推出，
所以“”是“”的非充分非必要条件，B选项错误.
C选项，设，
所以，但此时为负数，所以C选项错误.
D选项，当时，，所以D选项正确.
故答案为：D
【分析】利用全称命题与特称命题的否定关系即可判断A；分别解出不等式的解集，然后根据充分、必要条件的定义即可判断B；举出特例即可判断选项C， D.
4．（2022高三上·聊城期中）已知函数，若函数在R上有两个零点，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为函数，
当时，令可得，解得，所以在上有一个零点，又函数在R上有两个零点，所以当时，方程有一个根，所以方程在上有一个根，即函数与函数的图象在时有且只有一个交点，作函数的图象如下：
观察图象可得，所以，所以m的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】 当x<0时，f(x)=2x+1有一个零点，只需当x≥0时，有一个根，利用“分离参数法”结合函数图象求解出 m的取值范围 .
5．（2022高三上·聊城期中）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】
故选：A
【分析】 由已知利用两角差的余弦公式，两角和的正弦公式化简已知等式可得的值，进而利用诱导公式即可求解出答案.
6．（2022高三上·聊城期中）如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【解答】因为，
，
，
……，
，
以上个式子累加可得：，
所以，故选项A错误；
由递推关系可知：，所以B错误；
由，可得，C正确；
因为，
所以，
D错误；
故答案为：C.
【分析】根据a1，a2，a3的值可得，由递推公式即可判断B；利用累加法可得an，再计算前4项的和即可判断A；由an即可判断C；利用裂项相消求和法可判断D.
7．（2022高三上·聊城期中）若函数使得数列，为递增数列，则称函数为“数列保增函数”．已知函数为“数列保增函数”，则a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意，对，，
即，
即，对恒成立，
由于在上单调递增，故，
故.
即.
故答案为：B
【分析】由题意得，对恒成立，再根据指数函数的单调性可求出a的取值范围.
8．（2022高三上·聊城期中）已知，，，下列说法正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设，则在上恒成立，
所以在单调递增，
所以，
所以在单调递增，
所以，即，
所以，
又在单调递增，
所以，即，
所以；
设，则在上恒成立，
所以在单调递减，
所以，
所以在单调递减，
所以，即，
所以，即
所以；
综上所述：，
故答案为：C
【分析】设，求导可得在单调性，再结合指数函数的单调性可得，设，求导可得在单调性，可推出，进而得答案.
二、多选题
9．（2022高三上·聊城期中）已知平面向量，，，则（ ）．
A．若，则
B．若，则
C．若与的夹角为锐角，则
D．的最小值为4
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意平面向量，，，
若，则 ，A正确；
若，则，B正确；
若与的夹角为锐角，则 ，即 ，
但时，与同向，满足，但夹角为 ，不是锐角，故C错误；
，
当时，取得最小值，故的最小值为4，D正确，
故答案为：ABD.
【分析】由向量共线的坐标运算列式求解m值判断A；由向量垂直的坐标运算列式求解n值判断B；由数量积大于0且两向量不共线求得n的范围判断C；求出向量模的最小值判断D.
10．（2022高三上·聊城期中）下列结论正确的是（ ）．
A．若，且，则
B．若，，，则的最小值为4
C．函数的最小值为4
D．已知各项均为正数的数列满足，，则取最小值时，
【答案】A,B
【知识点】对数的运算性质；基本不等式
【解析】【解答】对于A，若，且，因为 ，
即，A正确；
对于B， 若，，，则，
则，即，故，
当且仅当是取得等号，故的最小值为4，B正确；
对于C，当时，，令 ，
则函数，单调递减，故，
即函数的最小值为2，C错误；
对于D， 各项均为正数的数列满足，，
则
，
满足上式，所以，
所以，当时，，当时，，
由于，故D错误，
故答案为：AB.
【分析】由已知结合基本不等式检验选项A、B；结合对勾函数单调性检验选项C；利用迭代法先求出an，然后利用对勾函数单调性检验选项D.
11．（2022高三上·聊城期中）已知函数的部分图像如图所示，将该函数图象向右平移个单位后，再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列选项中正确的有（ ）．
A．
B．
C．是曲线的对称轴
D．直线是曲线的一条切线
【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由图象知 ， 解得 ，
将代入中得，则 ，
因为 ，A正确；
由于将函数图象向右平移个单位后，得函数的图象，
再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，故，B错误；
将代入中，，是曲线的对称轴，C正确；
，令 ，即，
可得时满足，此时，
则在点处的切线方程为 ，D正确，
故答案为：ACD.
【分析】根据函数图象可确定A，的值，利用特殊点代入函数解析式确定φ，即可得到函数的解析式，判断A；根据三角函数图象的平移变换可得到g(x)表达式，判断B；将代入验证，可判断C；利用导数的几何意义求得曲线的切线方程，可判断D.
12．（2022高三上·聊城期中）在平面四边形ABCD中， 的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设的前n项和为，则（ ）
A．为等比数列 B．为等差数列
C．为递增数列 D．
【答案】B,D
【知识点】数列与向量的综合；向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】如图，连交于，
则，即，
所以，所以，
所以，
设，
因为，
所以，
，所以，
所以，即，
又，所以，
所以是首项为2，公差为-2的等差数列，
所以，所以，
因为不是常数，所以不为等比数列，故A不正确；
因为，
所以为等差数列，故B正确；
因为，
所以为递减数列，故C不正确；
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故答案为：BD
【分析】连接AC交BD于E，根据面积关系推出AE=2EC，根据平面向量推出，结合，根据等比数列的定义可判断A；根据等差数列的定义可判断B；根据数列的单调性可判断C；利用错位相减法求出Sn，可判断D.
三、填空题
13．（2022高三上·聊城期中）已知，若，，则= ．
【答案】
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】因为，所以，又，
，整理得
解得或（舍去）
因此，因为，所以，
，
【分析】利用换底公式结合对数的运算性质进行计算，可得答案.
14．（2022高三上·聊城期中）在四边形ABCD中，，且，，则的值为 ．
【答案】5
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，
所以，
因为，，所以，
故答案为：
【分析】由得四边形ABCD是平行四边形，再利用向量数量积进行计算，可得答案.
15．（2022高三上·聊城期中）设为数列的前n项和，且，，，则 ．
【答案】
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】因为，①
则当时，，②
①－②得，所以，(），
则数列从第二项起，是公比2的等比数列，
又，
(），
当时，，不符合，
故，
故答案为：．
【分析】利用递推公式可求得数列从第二项起，是公比2的等比数列，进而求出 .
16．（2022高三上·聊城期中）已知函数在上单调递减，则a的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为函数，故函数，
由题意可知在上恒成立，（不恒等于0），
当时，，不符合题意；
当时， ，则在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
当时，递增，当时，递减，
故，故 ，
当时，仅在时取等号，符合题意；
当时， ，则在上恒成立，
即在上恒成立，
由上述分析可知无最小值，且当时，，
比如取时，，即此时在上不恒成立，
综合上述可得a的取值范围为，
故答案为：.
【分析】由题意可得在上恒成立，然后研究f' (x)的最小值，再通过分离参数a，构造新函数并研究其最值，求解出 a的取值范围 .
四、解答题
17．（2022高三上·聊城期中）已知函数．
（1）当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围；
（2）是否存在这样的实数a，使得函数在区间上为增函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：因为且，设，
则为减函数，时，的最小值为，
当时，恒有意义，即时，恒成立．
所以．所以．
又且，所以．
（2）解：，因为，所以函数为减函数．
因为在区间上为增函数，所以为减函数，
所以．
当时，最大值为，
所以，即．
故，使得函数在区间上为增函数，并且最大值为1．
【知识点】函数恒成立问题；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1) 设，由题意可知，只需 即可，从而求出a的取值范围；
(2)由复合函数的单调性可知 ，再结合f(2)=1求出a的值，检验即可.
18．（2022高三上·聊城期中）已知正项数列满足且．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项的和．
【答案】（1）解：由题意得：，
∵，∴，即为常数，
∴数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴．
（2）解：由（1）得，
∴
.
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】(1)将题干中的递推公式 ，转化可得 ，即可得 数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出可得数列 的通项公式，采用分组求和的方法，结合等差数列和等比数列的前n项和公式即可计算出前项的和．
19．（2022高三上·聊城期中）已知函数为奇函数，且，其中，．函数．
（1）求a，的值；
（2）求函数的单调递减区间．
【答案】（1）解：法一：因为是奇函数，
而为偶函数，所以为奇函数，
又，得．
所以，
由，得，即．
法二：由题意可得，
因为，所以，可解得，，
此时为奇函数，
符合题意，所以，．
（2）解：
，
令，则的单调递减区间为，，
由解得，，
所以的单调递减区间为，．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性
【解析】【分析】(1)由题意可得 ， 结合θ∈(0， π)，可解得a， θ的值；
(2)利用三角函数恒等变换的应用可出求函数解析式 ， 进而利用正弦函数的单调性即可求解出函数的单调递减区间．
20．（2022高三上·聊城期中）已知中，A、B、C所对边分别为a、b、c，且，．
（1）若，求的面积；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）解：因为，，，
∴，解得，
∴．
（2）解：因为，由正弦定理可得，
代入，解得，，
因为，所以A为锐角，
∴，
当B为锐角时，，
∴，
因为，
∴，，
∴，
当B为钝角时，，
∴，
因为，
∴，，
∴．
综上：的周长为或．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)由余弦定理与三角形面积公式求解即可得 的面积；
(2)由正弦定理把边化角，结合已知条件求得 ，， 再讨论角B，结合三角恒等变换与正弦定理即可求解出 的周长．
21．（2022高三上·聊城期中）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，当时，对任意，存在，使，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：定义域为，
，
令，得或．
当即时：
，，函数在上单调递减；
，，函数在单调递增；
当，即时：
，，函数在单调递增；
，，函数在上单调递减；
，，函数在上单调递增；
当即时：，，函数在单调递增；
当即时：
，，函数在单调递增；
，，函数在上单调递减；
，，函数在上单调递增；
综上：当时，单调递减区间有，单调递增区间有；
当时，单调递减区间有，单调递增区间有，；
当时，单调递增区间有，无单调递减区间；
当时，单调递减区间有，单调递增区间有，．
（2）解：当时，
由（1）得函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增，
从而函数在区间上的最小值为．
即存在，使，
即存在，使得，
即，令，，则，
由，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以，所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)求出定义域，然后求出原函数的导数及其零点，通过讨论a的范围，确定导数在每个区间上的符号，从而确定函数的单调性；
(2)问题即转化为g(x2)min≤f(x1)max，然后结合这两个函数的单调性、极值情况研究它们对应的最值即可得实数m的取值范围．
22．（2022高三上·聊城期中）已知函数，，其中．
（1）若在上有两个不同零点，求a的取值范围．
（2）若在上单调递减，求a的取值范围．
（3）证明：，．
【答案】（1）解：，，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以时，取最小值．
因为在有两个不同的零点，所以，所以．
下面验证：当时，在有两个不同的零点.
当时，，，
令，则，
当时，，单调递减，
则，
所以，又，，
时，单调递减，时，单调递增，
所以在，上各有一个零点，即在有两个不同的零点.
综上，.
（2）解：在区间上单调递减，
即在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，
当时，，，
所以，即在上单调递增，
所以当时，，所以．
（3）证明：由（2）知时，，所以，即，．
令得，
所以，
即，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；反证法与放缩法
【解析】【分析】(1)求出函数h (x)的导数，求出导数的零点，极值点，研究极值的符号和区间(0， +∞)上函数值的符号情况求解出 a的取值范围；
(2)问题转化为F' (x)≤0在(0， 1)上恒成立，研究该函数的导数的最大值即可求出 a的取值范围；
(3)利用 ，进行放缩，从而将所证不等式简化，问题即可得证.
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