上海市普陀区2023届高三上学期数学期中考试试卷

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上海市普陀区2023届高三上学期数学期中考试试卷
一、填空题
1．（2022高三上·普陀期中）设全集，若集合，则　 　．
【答案】
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】或，因此，.
故答案为：.
【分析】化简集合A，再根据补集的定义可得答案.
2．（2022高三上·普陀期中）已知i为虚数单位，复数，则　 　．
【答案】5
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为，所以，
故.
故答案为：5.
【分析】先求出复数的共轭复数，再根据复数的四则运算进行计算，可得答案.
3．（2022高三上·普陀期中）在的二项展开式中，项的系数为　 　．
【答案】-160
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】的二项展开式的通项为，
当时，系数为.
故答案为：
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数.
4．（2022高三上·普陀期中）已知，则　 　．
【答案】2
【知识点】对数的运算性质；换底公式的应用
【解析】【解答】由已知得，，则，
所以，.
故答案为：2.
【分析】 利用指数，对数的互化求出x，然后利用对数的运算性质化简，即可求解出答案.
5．（2022高三上·普陀期中）若，则　 　；
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】利用诱导公式结合余弦的二倍角公式可求出答案.
6．（2022高三上·普陀期中）若，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，所以，
，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
【分析】 将目标式化成积为定值的形式，利用基本不等式求出的最小值.
7．（2022高三上·普陀期中）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成果着陆．如图，在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到1200平方米，若主降落伞完全展开后可以近似看着一个半球，则完全展开后伞口的直径约为　 　米（精确到整数）
【答案】28
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】设主降落伞展开后所在球体的半径为，由题可得，解得，
故完全展开后伞口的直径约为28米.
故答案为：28.
【分析】根据球的表面积公式可求出答案.
8．（2022高三上·普陀期中）某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“上海进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，至少有1名女医生的概率是　 　（用数字作答）
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合有种，再求出选出的3名医生中，全是男医生的组合有种， 所以至少有1名女医生的概率.
故答案为：
【分析】 根据题意，由组合数公式计算从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的选法，进而由排除法计算至少有1名女医生的选法，由古典概型公式计算可得答案.
9．（2022高三上·普陀期中）已知双曲线满足条件：（1）焦点为；（2）离心率为，求得双曲线的方程为．若去掉条件（2），另加一个条件求得的双曲线的方程仍然为．则下列四个条件中，符合添加的条件可以为　 　（填序号）
①双曲线上的任意一点P都满足：；
②双曲线的虚轴长为4；
③双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合；
④双曲线的渐近线的方程为：．
【答案】①④
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】对于①，∵∴
又∵ 焦点为∴
∴ 离心率 ，故①符合条件；
对于②，双曲线的虚轴长为4，
∴，
∴离心率，故②不符合条件；
对于③，双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合，
∴ ，，故③不符合条件；
对于④，∵ 近线方程为
∴
又∵
∴离心率，故④符合条件．
故答案为：①④．
【分析】由题意可得双曲线的方程，若去掉(2) ，若选①可得的双曲线的方程，可求出离心率所以①正确；如选②，由虚轴长与原来双曲线的虚轴长不等，可得②不正确；若选③，由抛物线的方程可得焦点的坐标，由题意可得a的值，与原来双曲线的方程不同，所以③不正确；若选④，由渐近线的方程，可得a， b的关系，再由a， b， c的关系，可得a， b的值，可得与原来双曲线的方程相同，可得④正确.
10．（2022高三上·普陀期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，M、N分别为线段AC上的点，若，则三棱锥体积的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】正弦函数的定义域和值域；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：在中，作交于，则，
因为，则，
因为，所以点在线段上，
设，则，
则，
，
，
因为，所以，
则当，即时，取得最大值，
此时，
，
所以三棱锥体积的最小值为.
故答案为：.
【分析】设，则，根据三角函数关系得当，即时，取得最大值结合三棱锥的体积公式进行求解，即可求出三棱锥体积的最小值.
11．（2021·嘉定模拟）若圆O的半径为2，圆O的一条弦 长为2，P是圆O上任意一点，点P满足 ，则 的最大值为　 　.
【答案】10
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：法一、如图以 中点C为原点建系，则 ， ， ，
所以圆O方程为 ，所以设 ， ，
因为 ， ，
，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 的最大值为10。
法二、连接OA，OB过点O作 ，垂足为C，
则 ，
∴ ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
，当且仅当 且同向时取等号，
所以 的最大值为10。
故答案为：10。
【分析】利用两种方法求解。
法一，以 中点C为原点建系，从而求出点的坐标，再利用代入法求出圆O的标准方程为 ，所以设 ， ，因为 ，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用共线向量的坐标表示，得出
，再利用数量积的坐标表示求出 ，再利用余弦函数的值域，从而求出 的取值范围，进而求出的最大值。
法二，连接OA，OB过点O作 ，垂足为C，则 ，再利用余弦函数的定义得出 ，因为 ，结合平面向量基本定理，所以 ，
所以 ，再利用数量积的运算法则结合数量积的定义，再结合余弦函数的值域求出 ，当且仅当 且同向时取等号，从而求出 的最大值。
12．（2022高三上·普陀期中）已知数列{}的前n项和为，若对任意恒成立，则　 　．
【答案】1011
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】由题设，，故，
所以，即，故，
所以
.
故答案为：1011
【分析】利用an=Sn+1-Sn可推出数列{an}是公差为1的等差数列，从而得，再代入所求式子中，结合分组求和法，即可求解出答案.
二、单选题
13．（2021高二下·奉贤期中）对于常数m、n，“mn>0”是“方程的曲线是椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的标准方程
【解析】【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．
当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，
例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；
故前者不是后者的充分条件；
当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；
由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
故选B．
【点评】解决该试题的关键是理解椭圆的标准方程中,m,n的范围同正且不相等即可，以及将非标准的方程先化为标准的方程的形式。
14．（2019高二上·集宁月考）设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 (　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；数列递推式
【解析】【解答】 是等差数列
又 ，
∴公差 ，
，
故答案为：C．
【分析】由 又 ，可得公差 ，从而可得结果.
15．（2018·丰台模拟）设函数 ，若函数 恰有三个零点 ， ， ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数 ，故
根据题意得到
化简得到 = .
故答案为：B.
【分析】根据函数y=f（x）+a（a∈R）恰有三个零点，可知x1，x2关于其中一条对称是对称的，x3，x2关于其中一条对称是对称的．根据对称的性质求解即可．
16．（2022高三上·普陀期中）记，已知均是定义在实数集上的函数，设，有下列两个命题：
①若函数都是偶函数，则也是偶函数；
②若函数都是奇函数，则也是奇函数．
则关于两个命题判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①正确②错误
C．①错误②正确 D．①②都错误
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的判断
【解析】【解答】对于①，若函数都是偶函数，则，所以 ，所以也是偶函数；命题①正确；
对于②，若函数都是奇函数，如都是R上的奇函数，
而不是定义在R上的奇函数，命题②错误；
故答案为：B.
【分析】 根据题意，通过已知定义及反例举例说明选项中的命题是否成立，即可得答案.
三、解答题
17．（2022高三上·普陀期中）如图，长方体中，，点P为棱的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求直线与平面所成的角．（用反三角函数表示）
【答案】（1）证明：设AC与BD的交点为O，联结PO
P、O分别是和DB的中点
又因为PO在平面PAC内，不在平面PAC内
平面PAC
（2）解：以D为原点，建立空间直角坐标系（如图）
则，，，，，，
设平面PAC的一个法向量为 ，因为
则 ，所以
向量
设直线与平面PAC所成的角为
所以
所以直线与平面PAC所成的角为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1) 设AC与BD的交点为O，联结PO ，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可证得直线平面；
(2)以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，由空间向量法可求得直线与平面所成的角．
18．（2020高三上·开鲁月考）已知函数 .
（1）写出函数 的最小正周期以及单调递增区间；
（2）在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，且 ，求 的值.
【答案】（1）解： ，所以 的最小正周期 ，
，
所以 的单调递增区间是
（2）解： ，故 ，所以 或 ，因为 是三角形内角，所以 ；
而 ，所以， ，又 ，所以 ，所以， ，所以
【知识点】函数的单调性及单调区间；平面向量数量积的含义与物理意义；三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的周期性及其求法；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的最小正周期公式和单调性直接求解即可；（2）由 可以求出 ，再由平面向量的数量积的定义可由 求出 的值，结合 、余弦定理可以求出 的值.
19．（2022高三上·普陀期中）疫情防控期间，某小微企业计划采用线下与线上相结合的销售模式进行产品销售运作．经过测算，若线下销售投入资金x（万元），则可获得纯利润（万元）；若线上销售投入资金x（万元），则获得纯利润（万元）．
（1）当投入线下和线上的资金相同时，为使线上销售比线下销售获得的纯利润高，求投入线下销售的资金x（万元）的取值范围；
（2）若该企业筹集了用于促进销售的资金共30万元，如果全部用于投入线下与线上销售，问：该企业如何分配线下销售与线上销售的投入资金，可以使销售获得的纯利润最大？并出求最大的纯利润．
【答案】（1）解：当时，
由得或，
所以
当时，
由得，
所以
综上所述，投入线下的资金x（万元）的取值范围为
（2）解：设投入线下销售的资金为x（万元），投入线上销售的资金y（万元），
所以
当即时，
总利润
易得在区间上严格递减，在区间上严格递增
又
所以当时，
当即时，
总利润
缘上所运，投入线下销售的资金10万元，投入线上销售的资金为20万元时，
纯利润最大，最大值为62.5万元．
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
【解析】【分析】(1)根据题意分 与 进行讨论求出投入线下销售的资金x（万元）的取值范围；
(2) 设投入线下销售的资金为x（万元），投入线上销售的资金y（万元）， 结合题意写出总利润的表达式，利用函数的性质求解出最大的纯利润．
20．（2022高三上·普陀期中）已知函数．
（1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数a的值；
（2）设，若函数在区间当为严格递减函数时，求实数a的取值范围；
（3）对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由得，
所以过点切线的斜率为 ，
因为切线过点，所以 ，
解得：.
（2）解：由得，
依题意对区间上的任意实数恒成立，
即对区间上的任意实数恒成立，
易得在区间单调递减，
在上单调递增，，，
所以在上的最大值为，
所以，实数a的取值范围为
（3）解：
依题意：在上有两个不同的根，
即在上有两个不同的根，
所以，可得，
由于不等式，
可得
又
.
令，
所以，又，
所以，即在区间上严格递减，
所以，
所以.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求出f'(x)，根据导数的几何意义列出关于a的方程，求解出实数a的值；
(2)求出g'(x)，题意转化为 对区间上的任意实数恒成立， 利用分离变量法得 对区间上的任意实数恒成立， 利用导数求出最大值，即可得实数a的取值范围；
(3)题意转化为 在上有两个不同的根， 利用二次函数的性质，可得a>4，又不等式恒成立，即 ，表示出，构造函数h(a)，利用导数研究函数的单调性，即可求出实数的取值范围．
21．（2022高三上·普陀期中）记项数为2022且每一项均为正整数的有穷数列所构成的集合为A．若对于任意的，当时，都有，则称集合A为“子列封闭集合”．
（1）若，判断集合A是否为“子列封闭集合”，说明理由；
（2）若数列的最大项为，且，证明：集合A不是“子列封闭集合”；
（3）若数列为严格递增数列，，且集合A为“子列封闭集合”，求数列的通项公式．
【答案】（1）解：因为，
所以对于任意的，当时，都有，
所以集合A为“子列封闭集合”.
（2）证明：假设集合A是“子列封闭集合”，
因为，所以存在正整数，
使得
即
因为，所以
，与为集合A的最大元素矛盾，
所以，假设错误，即集合A不是“子列封闭集合”．
（3）解：由（2）知，集合A是“子列封闭集合”时，有
因为数列为严格递增数列，，
所以或
①当时，因为
则
若 此时
由于，所以，
因为与矛盾
所以 又 所以
所以，数列的通项公式为
②当时，因为
则
若由于，所以，
因为，所以，与矛盾
若，此时
由于，所以，
因为，所以，与矛盾
所以又所以
所以，数列的通项公式为
综上所述，数列的通项公式为
或
【知识点】归纳推理
【解析】【分析】(1)根据“子列封闭集合”的定义判断即可；
(2)可用反证法证明集合A不是“子列封闭集合”；
(3)根据集合A是“子列封闭集合”时 ，利用数列为严格递增数列，求出数列的通项公式．
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上海市普陀区2023届高三上学期数学期中考试试卷
一、填空题
1．（2022高三上·普陀期中）设全集，若集合，则　 　．
2．（2022高三上·普陀期中）已知i为虚数单位，复数，则　 　．
3．（2022高三上·普陀期中）在的二项展开式中，项的系数为　 　．
4．（2022高三上·普陀期中）已知，则　 　．
5．（2022高三上·普陀期中）若，则　 　；
6．（2022高三上·普陀期中）若，则的最小值是　 　．
7．（2022高三上·普陀期中）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成果着陆．如图，在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到1200平方米，若主降落伞完全展开后可以近似看着一个半球，则完全展开后伞口的直径约为　 　米（精确到整数）
8．（2022高三上·普陀期中）某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“上海进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，至少有1名女医生的概率是　 　（用数字作答）
9．（2022高三上·普陀期中）已知双曲线满足条件：（1）焦点为；（2）离心率为，求得双曲线的方程为．若去掉条件（2），另加一个条件求得的双曲线的方程仍然为．则下列四个条件中，符合添加的条件可以为　 　（填序号）
①双曲线上的任意一点P都满足：；
②双曲线的虚轴长为4；
③双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合；
④双曲线的渐近线的方程为：．
10．（2022高三上·普陀期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，M、N分别为线段AC上的点，若，则三棱锥体积的最小值为　 　．
11．（2021·嘉定模拟）若圆O的半径为2，圆O的一条弦 长为2，P是圆O上任意一点，点P满足 ，则 的最大值为　 　.
12．（2022高三上·普陀期中）已知数列{}的前n项和为，若对任意恒成立，则　 　．
二、单选题
13．（2021高二下·奉贤期中）对于常数m、n，“mn>0”是“方程的曲线是椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2019高二上·集宁月考）设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 (　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
15．（2018·丰台模拟）设函数 ，若函数 恰有三个零点 ， ， ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
16．（2022高三上·普陀期中）记，已知均是定义在实数集上的函数，设，有下列两个命题：
①若函数都是偶函数，则也是偶函数；
②若函数都是奇函数，则也是奇函数．
则关于两个命题判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①正确②错误
C．①错误②正确 D．①②都错误
三、解答题
17．（2022高三上·普陀期中）如图，长方体中，，点P为棱的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求直线与平面所成的角．（用反三角函数表示）
18．（2020高三上·开鲁月考）已知函数 .
（1）写出函数 的最小正周期以及单调递增区间；
（2）在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，且 ，求 的值.
19．（2022高三上·普陀期中）疫情防控期间，某小微企业计划采用线下与线上相结合的销售模式进行产品销售运作．经过测算，若线下销售投入资金x（万元），则可获得纯利润（万元）；若线上销售投入资金x（万元），则获得纯利润（万元）．
（1）当投入线下和线上的资金相同时，为使线上销售比线下销售获得的纯利润高，求投入线下销售的资金x（万元）的取值范围；
（2）若该企业筹集了用于促进销售的资金共30万元，如果全部用于投入线下与线上销售，问：该企业如何分配线下销售与线上销售的投入资金，可以使销售获得的纯利润最大？并出求最大的纯利润．
20．（2022高三上·普陀期中）已知函数．
（1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数a的值；
（2）设，若函数在区间当为严格递减函数时，求实数a的取值范围；
（3）对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．（2022高三上·普陀期中）记项数为2022且每一项均为正整数的有穷数列所构成的集合为A．若对于任意的，当时，都有，则称集合A为“子列封闭集合”．
（1）若，判断集合A是否为“子列封闭集合”，说明理由；
（2）若数列的最大项为，且，证明：集合A不是“子列封闭集合”；
（3）若数列为严格递增数列，，且集合A为“子列封闭集合”，求数列的通项公式．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】或，因此，.
故答案为：.
【分析】化简集合A，再根据补集的定义可得答案.
2．【答案】5
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为，所以，
故.
故答案为：5.
【分析】先求出复数的共轭复数，再根据复数的四则运算进行计算，可得答案.
3．【答案】-160
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】的二项展开式的通项为，
当时，系数为.
故答案为：
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数.
4．【答案】2
【知识点】对数的运算性质；换底公式的应用
【解析】【解答】由已知得，，则，
所以，.
故答案为：2.
【分析】 利用指数，对数的互化求出x，然后利用对数的运算性质化简，即可求解出答案.
5．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】利用诱导公式结合余弦的二倍角公式可求出答案.
6．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，所以，
，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
【分析】 将目标式化成积为定值的形式，利用基本不等式求出的最小值.
7．【答案】28
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】设主降落伞展开后所在球体的半径为，由题可得，解得，
故完全展开后伞口的直径约为28米.
故答案为：28.
【分析】根据球的表面积公式可求出答案.
8．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合有种，再求出选出的3名医生中，全是男医生的组合有种， 所以至少有1名女医生的概率.
故答案为：
【分析】 根据题意，由组合数公式计算从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的选法，进而由排除法计算至少有1名女医生的选法，由古典概型公式计算可得答案.
9．【答案】①④
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】对于①，∵∴
又∵ 焦点为∴
∴ 离心率 ，故①符合条件；
对于②，双曲线的虚轴长为4，
∴，
∴离心率，故②不符合条件；
对于③，双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合，
∴ ，，故③不符合条件；
对于④，∵ 近线方程为
∴
又∵
∴离心率，故④符合条件．
故答案为：①④．
【分析】由题意可得双曲线的方程，若去掉(2) ，若选①可得的双曲线的方程，可求出离心率所以①正确；如选②，由虚轴长与原来双曲线的虚轴长不等，可得②不正确；若选③，由抛物线的方程可得焦点的坐标，由题意可得a的值，与原来双曲线的方程不同，所以③不正确；若选④，由渐近线的方程，可得a， b的关系，再由a， b， c的关系，可得a， b的值，可得与原来双曲线的方程相同，可得④正确.
10．【答案】
【知识点】正弦函数的定义域和值域；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：在中，作交于，则，
因为，则，
因为，所以点在线段上，
设，则，
则，
，
，
因为，所以，
则当，即时，取得最大值，
此时，
，
所以三棱锥体积的最小值为.
故答案为：.
【分析】设，则，根据三角函数关系得当，即时，取得最大值结合三棱锥的体积公式进行求解，即可求出三棱锥体积的最小值.
11．【答案】10
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：法一、如图以 中点C为原点建系，则 ， ， ，
所以圆O方程为 ，所以设 ， ，
因为 ， ，
，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 的最大值为10。
法二、连接OA，OB过点O作 ，垂足为C，
则 ，
∴ ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
，当且仅当 且同向时取等号，
所以 的最大值为10。
故答案为：10。
【分析】利用两种方法求解。
法一，以 中点C为原点建系，从而求出点的坐标，再利用代入法求出圆O的标准方程为 ，所以设 ， ，因为 ，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用共线向量的坐标表示，得出
，再利用数量积的坐标表示求出 ，再利用余弦函数的值域，从而求出 的取值范围，进而求出的最大值。
法二，连接OA，OB过点O作 ，垂足为C，则 ，再利用余弦函数的定义得出 ，因为 ，结合平面向量基本定理，所以 ，
所以 ，再利用数量积的运算法则结合数量积的定义，再结合余弦函数的值域求出 ，当且仅当 且同向时取等号，从而求出 的最大值。
12．【答案】1011
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】由题设，，故，
所以，即，故，
所以
.
故答案为：1011
【分析】利用an=Sn+1-Sn可推出数列{an}是公差为1的等差数列，从而得，再代入所求式子中，结合分组求和法，即可求解出答案.
13．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的标准方程
【解析】【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．
当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，
例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；
故前者不是后者的充分条件；
当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；
由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
故选B．
【点评】解决该试题的关键是理解椭圆的标准方程中,m,n的范围同正且不相等即可，以及将非标准的方程先化为标准的方程的形式。
14．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；数列递推式
【解析】【解答】 是等差数列
又 ，
∴公差 ，
，
故答案为：C．
【分析】由 又 ，可得公差 ，从而可得结果.
15．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数 ，故
根据题意得到
化简得到 = .
故答案为：B.
【分析】根据函数y=f（x）+a（a∈R）恰有三个零点，可知x1，x2关于其中一条对称是对称的，x3，x2关于其中一条对称是对称的．根据对称的性质求解即可．
16．【答案】B
【知识点】函数奇偶性的判断
【解析】【解答】对于①，若函数都是偶函数，则，所以 ，所以也是偶函数；命题①正确；
对于②，若函数都是奇函数，如都是R上的奇函数，
而不是定义在R上的奇函数，命题②错误；
故答案为：B.
【分析】 根据题意，通过已知定义及反例举例说明选项中的命题是否成立，即可得答案.
17．【答案】（1）证明：设AC与BD的交点为O，联结PO
P、O分别是和DB的中点
又因为PO在平面PAC内，不在平面PAC内
平面PAC
（2）解：以D为原点，建立空间直角坐标系（如图）
则，，，，，，
设平面PAC的一个法向量为 ，因为
则 ，所以
向量
设直线与平面PAC所成的角为
所以
所以直线与平面PAC所成的角为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1) 设AC与BD的交点为O，联结PO ，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可证得直线平面；
(2)以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，由空间向量法可求得直线与平面所成的角．
18．【答案】（1）解： ，所以 的最小正周期 ，
，
所以 的单调递增区间是
（2）解： ，故 ，所以 或 ，因为 是三角形内角，所以 ；
而 ，所以， ，又 ，所以 ，所以， ，所以
【知识点】函数的单调性及单调区间；平面向量数量积的含义与物理意义；三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的周期性及其求法；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的最小正周期公式和单调性直接求解即可；（2）由 可以求出 ，再由平面向量的数量积的定义可由 求出 的值，结合 、余弦定理可以求出 的值.
19．【答案】（1）解：当时，
由得或，
所以
当时，
由得，
所以
综上所述，投入线下的资金x（万元）的取值范围为
（2）解：设投入线下销售的资金为x（万元），投入线上销售的资金y（万元），
所以
当即时，
总利润
易得在区间上严格递减，在区间上严格递增
又
所以当时，
当即时，
总利润
缘上所运，投入线下销售的资金10万元，投入线上销售的资金为20万元时，
纯利润最大，最大值为62.5万元．
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
【解析】【分析】(1)根据题意分 与 进行讨论求出投入线下销售的资金x（万元）的取值范围；
(2) 设投入线下销售的资金为x（万元），投入线上销售的资金y（万元）， 结合题意写出总利润的表达式，利用函数的性质求解出最大的纯利润．
20．【答案】（1）解：由得，
所以过点切线的斜率为 ，
因为切线过点，所以 ，
解得：.
（2）解：由得，
依题意对区间上的任意实数恒成立，
即对区间上的任意实数恒成立，
易得在区间单调递减，
在上单调递增，，，
所以在上的最大值为，
所以，实数a的取值范围为
（3）解：
依题意：在上有两个不同的根，
即在上有两个不同的根，
所以，可得，
由于不等式，
可得
又
.
令，
所以，又，
所以，即在区间上严格递减，
所以，
所以.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求出f'(x)，根据导数的几何意义列出关于a的方程，求解出实数a的值；
(2)求出g'(x)，题意转化为 对区间上的任意实数恒成立， 利用分离变量法得 对区间上的任意实数恒成立， 利用导数求出最大值，即可得实数a的取值范围；
(3)题意转化为 在上有两个不同的根， 利用二次函数的性质，可得a>4，又不等式恒成立，即 ，表示出，构造函数h(a)，利用导数研究函数的单调性，即可求出实数的取值范围．
21．【答案】（1）解：因为，
所以对于任意的，当时，都有，
所以集合A为“子列封闭集合”.
（2）证明：假设集合A是“子列封闭集合”，
因为，所以存在正整数，
使得
即
因为，所以
，与为集合A的最大元素矛盾，
所以，假设错误，即集合A不是“子列封闭集合”．
（3）解：由（2）知，集合A是“子列封闭集合”时，有
因为数列为严格递增数列，，
所以或
①当时，因为
则
若 此时
由于，所以，
因为与矛盾
所以 又 所以
所以，数列的通项公式为
②当时，因为
则
若由于，所以，
因为，所以，与矛盾
若，此时
由于，所以，
因为，所以，与矛盾
所以又所以
所以，数列的通项公式为
综上所述，数列的通项公式为
或
【知识点】归纳推理
【解析】【分析】(1)根据“子列封闭集合”的定义判断即可；
(2)可用反证法证明集合A不是“子列封闭集合”；
(3)根据集合A是“子列封闭集合”时 ，利用数列为严格递增数列，求出数列的通项公式．
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