2022-2023学年上海市浦东新区杨思高级中学高三（上）期中数学试卷（含解析）

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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
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(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
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2022-2023学年上海市浦东新区杨思高级中学高三（上）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知，则“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
设、，若为虚数单位是一元二次方程的一个虚根，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，是异面直线，，，，，则
D. 平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则
已知函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
已知，则______．
函数在区间上的平均变化率为______．
在等差数列中，前项的和，则______．
某校有教职工人，男学生人，女学生人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从教职工中抽取的人数为，则______．
若双曲线的焦距为，则该双曲线的离心率是______．
已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为，则展开式中的常数项为______结果用数值表示．
已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则 ．
函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为______．
若函数的值域为，则实数的取值范围是______ ．
甲和乙等名志愿者参加进博会、、、四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少人，且甲和乙不在同一个岗位服务，则共有______种不同的参加方法结果用数值表示．
已知函数，对任意，都有为常数，且当时，，则______．
已知是奇函数，定义域为，当时，，当函数有个零点时，则实数的取值范围是______．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，，直线与平面所成的角为．
求四棱锥的体积；
求异面直线与所成的角的大小．
本小题分
记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
若，求；
若，求实数的取值范围．
本小题分
随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，为某区的一条健康步道，、为线段，是以为直径的半圆，，，．
求的长度；
为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道在两侧，其中，为线段．若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度？精确到
本小题分
已知函数
若，求曲线在处的切线方程；
求的单调区间和极值；
设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．
本小题分
设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则
称函数为“函数”．
若函数为“函数”，求实数的值；
若函数，为“函数”，求实数的取值范围；
已知为“函数”，设若对任意的，，当时，都有成立，求实数的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：是一元二次方程的一个虚根，
是一元二次方程的另一个虚根，
由根与系数的关系可得：，即，．
故选：．
由已知结合实系数一元二次方程虚根成对原理可得方程的另一虚根，再由根与系数的关系求解．
本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，知：
在中，若，，则与相交、平行，故A错误；
在中，若，，，则与相交或平行，故B错误；
在中，若、是异面直线，，，，，
则由面面平行的判定定理得，故C正确；
在中，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，
则与相交或平行，故D错误．
故选：．
在中，与相交、平行或异面；在中，与相交或平行；在中，由面面平行的判定定理得；在中，与相交或平行．
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的判断，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，属中档题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
令，
则易得，即为奇函数且单调递增，
由题意得，
由可转化为，
即，
因为单调递增，
所以，
解得，
故选：．
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
5.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数在区间上的平均变化率为．
故答案为：．
根据平均变化率的定义求解．
本题主要考查了平均变化率的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：等差数列中，前项的和，
所以，
则，
故答案为：．
由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：每个个体被抽到的概率等于，
应抽取的男学生人数为，应抽取的女学生人数为，
故样本容量．
故答案为．
先求出每个个体被抽到的概率，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，再把各层抽取的样本数相加可得样本容量的值．
本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．
9.【答案】
【解析】解：，
焦距为，
，
，，
，
故答案为：．
根据双曲线的几何性质，方程思想即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为，．
则展开式中的通项公式为，令，求得，
可得展开式的常数项为，
故答案为：．
由题意利用二项式系数的性质，求得，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查幂函数的性质，函数的奇偶性，单调性，属于基础题．
由幂函数为奇函数，且在上递减，得到，由此分析能求出的值．
【解答】
解：，
幂函数为奇函数，且在上递减，
，
当是整数时，是奇数，
满足．
当为时，不是奇函数，不满足题意，
故答案为．

12.【答案】
【解析】解：时，，
函数的图象恒过定点即，
点在直线上，
，即，
，，
，
当且仅当，时取等号．
故答案为：
根据对数函数的性质先求出的坐标，代入直线方程可得、的关系，再利用的代换结合均值不等式求解即可．
本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分段函数问题，考查二次函数以及指数函数的性质，是中档题．
根据指数函数的最值以及二次函数的性质求出的值域，从而判断出的范围即可．
【解答】
解：当时，，
即
当时，，
即，
由函数的值域为，
则，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：由题意得，有且只有人分在一组，然后平均分到个不同的岗位，则有种不同的分配方案．
甲乙两人在同一岗位的分配方法有种
故甲、乙两人不在同一个岗位服务的分配方法有种．
故答案为：．
先求出没有条件限制的种数，再求出甲乙两人在同一岗位的分配方法，利用间接法，问题得以解决．
本题主要考查了排列组合中的分配问题，关键是如何分组，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：因为对任意，都有为常数，
所以，从而，
即的周期为，
所以，
故答案为：．
根据，求出是周期为的周期函数，从而求出函数值即可．
本题考查了函数的周期性，考查函数求值问题，是一道基础题．
16.【答案】
【解析】解：当时，易知函数单调递减，且时，，时，，其大致图象如下，
在的大致图象如下，
又函数是定义在上的奇函数，故函数的图象如下，
要使函数有个零点，只需函数的图象与直线有且仅有个交点，
由图象可知，．
故答案为：．
根据题意及函数图象的变换法则，作出函数的图象，由图象观察即可得解．
本题主要考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于中档题．
17.【答案】解：底面，
直线与平面所成的角为，
又，，
又底面是矩形，且，，
四棱锥的体积为；
取的中点，连接，，又为中点，
，且，
四边形为平行四边形，
，
直线与所成的角即为与所成的角，
即直线与所成的角为或其补角，
又，又，
，
，
异面直线与所成的角的大小为．
【解析】根据线面角的定义，锥体的体积公式即可求解；
将两异面直线平移成相交直线，再结合解三角形知识即可求解．
本题考查线面角的定义，锥体的体积公式，两异面直线所成角，属基础题．
18.【答案】解：当时，不等式等价于，
即，
则；
由，
则，
又，
即，
即，
又，
则，
当时，由题意有，即；
当时，则，满足；
当时，由题意有，即，
综合可得：实数的取值范围为．
【解析】当时，不等式等价于，即，得解；
由，则，然后讨论当时，当时，当时三种情况，然后求解即可．
本题考查了绝对值不等式的解法，重点考查了集合间的关系，属基础题．
19.【答案】解：连接，中，由余弦定理得，
，即；
设，，
中，由余弦定理得，
所以，
解得，当且仅当时取得等号，
新建健康步道的最长路程，，
故新建健康步道的路程最多可比原来有健康步道的路程增加．
【解析】由已知结合余弦定理先求，然后结合弧长公式可求；
结合余弦定理及基本不等式即可直接求解．
本题主要考查了余弦定理，弧长公式及基本不等式在求解最值中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：由已知，
，，
故曲线在处切线的斜率为，
故切线方程是：，
即；
求导函数可得．
当时，由，得．
在区间上，；在区间上，，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
故，
当时，在上恒成立，即在上单调递增，无极值．
由已知转化为．
，，，
由知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意．
或者举出反例：存在，故不符合题意．
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，，
所以，所以，
解得．
【解析】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查求参数的值，解题的关键是转化为．
利用导数的几何意义，可求曲线在处切线的斜率，从而求出切线方程即可；
求导函数，在区间上，；在区间上，，故可得函数的单调区间；求出函数的极值即可；
由已知转化为，可求，最大值，由此可建立不等式，从而可求的取值范围．
21.【答案】解：由为“函数”，得，
即，解得，故实数的值为；
函数，为“函数”可知，存在实数，使得成立，
，即，
由，得，整理得．
当时，，符合题意；
当时，由，即，
解得且，
综上，实数的取值范围是；
由为“函数”，得成立，
即，从而，则，
不妨设，则由成立，即，
得，
令，则在上单调递增，
又，
作出函数图象如图：
由图可知，，故实数的最大值为．
【解析】由为“函数”，得，求解指数方程可得实数 的值；
函数，为“函数”可知，存在实数，使得成立，整理得，时，符合题意；时，利用判别式大于求解的范围，取并集得答案；
由为“函数”，得成立，可得，不妨设，问题转化为，令，则在上单调递增，写出分段函数，画出图形，数形结合可得实数的最大值．
本题考查函数的最值及其几何意义，考查新定义的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
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