技能演练
基 础 强 化
1．下列关于归纳推理的说法中错误的是( )
A．归纳推理是由一般到一般的一种推理过程
B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程
C．归纳推理得出的结论具有偶然性，不一定正确
D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
答案 A
2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排列起来，那么第36颗珠子的颜色是( )
○○○●●○○○●●○○○●●○○……
A．白色 B．黑色
C．白色可能性大 D．黑色可能性大
答案 A
3．由数列1,10,100,1000，…猜测该数列的第n项可能是( )
A．10n B．10n－1
C．10n＋1 D．11n
答案 B
4．n个连续自然数按规律排列如下：
根据规律，从2010到2012，箭头的方向依次是( )
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
解析 观察特例的规律知：位置相同的数字是以4为公差的等差数列，由可知从2010到2012为↑→.
答案 C
5．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式为( )
A．n2－1 B．n2－2n＋2
C．2n－1 D．2n－1＋1
解析 ∵a1＝1，an＝2an－1＋1，∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，归纳猜想知an＝2n－1.
答案 C
6．顺次计算数列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，……的前4项的值，由此猜测：
an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1的结果为________．
解析 a1＝1＝12，a2＝1＋2＋1＝4＝22，
a3＝1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，
a4＝1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，
…，
由此可以猜想an＝n2.
答案 n2
7．由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角是540°＝3×180°，归纳出结论：
______________________________________________________ .
答案 凸n边形的内角和是(n－2)×180°(n≥3)
8．观察以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝，
sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝，
sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝.
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，为_________________________________________________________．
答案 sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝
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9．(1)如图所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面分成了多少个区域？
顶点数
边数
区域数
a
b
c
d
(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之
间有什么关系？
(3)现已知某个平面图形有1006个顶点，且围成了1006个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？
解 (1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为：
顶点数
边数
区域数
a
3
3
2
b
8
12
6
c
6
9
5
d
10
15
7
(2)观察：
3＋2－3＝2；
8＋6－12＝2；
6＋5－9＝2；
10＋7－15＝2.
通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.
(3)由已知V＝1006，F＝1006，代入(2)中关系式，得E＝2010.
故这个平面图形有2010条边．
10．设an是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n≥1，n∈N)，试归纳出这个数列的一个通项公式．
解 当n＝1时，a1＝1，且2a－a＋a2·a1＝0，
即2a＋a2－1＝0解得a2＝；
当n＝2时，由
3a－2()2＋a3＝0，
即6a＋a3－1＝0，
解得a3＝，
…
由此猜想：an＝.
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11．(2010·山东)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，又归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析 归纳所给出的导函数知，原函数为偶函数，则其导函数为奇函数，根据这一规律可知，f(x)为偶函数，其导函数g(x)必为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
答案 D
12．(2010·陕西)观察下列等式：
13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．
解析 观察等式发现等式左边各加数的底数之和等于右边的底数，右边幂的指数都是2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.
答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
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1．下列说法中正确的是( )
A．合情推理就是正确的推理
B．合情推理就是归纳推理
C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程
D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程
答案 D
2．下列推理正确的是( )
A．把a(b＋c)与lg(x＋y)类比，则lg(x＋y)＝lgx＋lgy
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则ax＋y＝ax＋ay
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则a·(b＋c)＝a·b＋a·c
解析 由向量的运算性质知，a·(b＋c)＝a·b＋a·c正确．
答案 D
3．立体几何中与平面几何中的三角形做类比对象的是( )
A．三棱柱 B．三棱台
C．三棱锥 D．正方体
答案 C
4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．
A．① B．③
C．①② D．①②③
答案 D
5．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)·r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )
A．V＝abc
B．V＝Sh
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)·r(S1，S2，S3，S4分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径)
D．V＝(ab＋bc＋ac)·h(h为四面体的高)
解析 平面几何与立体几何的类比，类比的知识点有：面积与体积，边长与面积，圆与球．因此，应选C.
答案 C
6．圆的面积S＝πr2，周长c＝2πr，两者满足c＝S′(r)，类比此关系写出球的公式的一个结论是：________.
解析 圆的面积、周长分别与球的体积和表面积类比可得，球的体积V＝πR3，表面积S＝4πR2，满足S＝V′(R)．
答案 V球＝πR3，S球＝4πR2，满足S＝V′(R)
7．等差数列{an}中，有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{bn}中类似的结论是________．
答案 b＝bn－1·bn＋1(n≥2，且n∈N*)
8．坐标平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标为(，)．类比以上结论，若△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC重心G的坐标为________．
答案 (，)
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9．找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质．完成下表中的空白.
答案 (1)球心与截面圆(不过球心的小截面圆)圆心的连线垂直于截面
(2)与球心的距离相等的两个截面圆的面积相等
(3)球的表面积S＝πd2
(4)球的体积V＝πr3
10．在圆x2＋y2＝r2中，AB为直径，C为圆上异于AB的任意一点，则有kAC·kBC＝－1，你能用类比的方法得出椭圆＋＝1(a＞b＞0)中有什么样的结论？
解 设A(x0，y0)为椭圆上的任意一点，则A点关于中心的对称点B的坐标为(－x0，－y0)，点P(x，y)为椭圆上异于A，B两点的任意一点，则
kAP·kBP＝·＝.
由于A，B，P三点都在椭圆上．
∴两式相减有＋＝0，
∴＝－，即kAP·kBP＝－.
故椭圆＋＝1(a＞b＞0)中过中心的一条弦的两个端点A，B，P为椭圆上异于A，B的任意一点，则有kAP·kBP＝－.
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11．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2，则它们的面积的比为1:4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1:2，则它们的体积比为________．
答案 1:8
12．(2010·浙江)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．
解析 第n行的第一个数字是n，这一行是公差为n的等差数列，所以第n＋1个数字的n＋(n＋1－1)n＝n2＋n.
答案 n2＋n
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1．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
答案 C
2．演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法( )
A．一般的原理原则 B．特定的命题
C．一般的命题 D．定理、公式
答案 A
3．下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④
C．②④⑤ D．①③⑤
答案 D
4．已知函数f(x)＝x3＋m·2x＋n是奇函数，则( )
A．m＝0 B．m＝0，或n＝0
C．n＝0 D．m＝0，且n＝0
答案 D
5．设a＝(x,4)，b＝(3,2)，若a∥b，则x的值是( )
A．－6 B.
C．－ D．6
解析 ∵a∥b，∴＝，∴x＝6.
答案 D
6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
答案 A
7. 在演绎推理中，只要________是正确的，结论必定是正确的．
答案 大前提和推理过程
8．关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列命题：
①其图像关于y轴对称；
②当x>0时，f(x)为增函数；
③f(x)的最小值是lg2；
④当－1
1时，f(x)是增函数；
⑤f(x)无最大值，也无最小值．
其中正确结论的序号是________．
解析 易知f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，①正确．当x>0时，f(x)＝lg＝lg(x＋)．∵g(x)＝x＋在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确，而f(x)有最小值lg2，∴③正确，④也正确，⑤不正确．
答案 ①③④
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9．因为中国的大学分布在全国各地，大前提
北京大学是中国的大学，小前提
所以北京大学分布在全国各地．结论
(1)上面的推理形式正确吗？为什么？
(2)推理的结论正确吗？为什么？
解 (1)推理形式错误．
大前提中的M是“中国的大学”它表示中国的所有大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．
(2)由于推理形式错误，故推理的结论错误．
10．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，证明|c|≤1，并分析证明过程中的三段论．
证明 ∵|x|≤1时，|f(x)|≤1.
x＝0满足|x|≤1，
∴|f(0)|≤1，又f(0)＝c，∴|c|≤1.
证明过程中的三段论分析如下：
大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；
小前提是|0|≤1；结论是|f(0)|≤1.
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11．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系是________．
解析 当0∵a＝∈(0,1)，
∴函数f(x)＝()x为减函数．
故由f(m)>f(n)，得m答案 m12．(2010·陕西)下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是( )
A．幂函数 B．对数函数
C．指数函数 D．余弦函数
解析 对于指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，则有f(x＋y)＝ax＋y＝ax·ay＝f(x)·f(y)．
答案 C
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1．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件( )
A．a2C．a2>b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
解析 若∠A为钝角，由余弦定理知cosA＝<0，∴b2＋c2－a2<0.
答案 C
2．设数列{an}为等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是{an}的前n项和，则( )
A．S4C．S6解析 ∵a2＋a8＝－6＋6＝0，∴a5＝0，又公差d>0，∴S5＝S4.
答案 B
3．在△ABC中，“·>0”是“△ABC为锐角三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 由A·A>0?∠A为锐角，而角B，C并不能判定，反之若△ABC为锐角三角形，一定有A·A>0.
答案 B
4．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图像关于直线x＝对称，则φ可能是( )
A. B．－
C. D.π
解析 由题意知，sin(＋φ)＝±1，
∴当φ＝时，sin(＋)＝sin＝1.
答案 C
5．已知a，b，c是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题：
①a∥b，b∥α，则a∥α；
②a，b?α，a∥β，b∥β，则α∥β；
③a⊥α，a∥β，则α⊥β；
④a⊥α，b∥α，则a⊥b.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①因为a∥b，b∥α?a∥α或a?α，所以①不正确．
②因为a，b?α，a∥β，b∥β，当a与b相交时，才能α∥β，所以②不正确．
③a∥β，过a作一平面γ，设γ∩β＝c，则c∥a，又a⊥α?c⊥α?α⊥β，所以③正确．
④a⊥α，b∥α?a⊥b，所以④正确．
综上知③，④正确．
答案 B
6．a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)(＋)≥4
C.≥a＋b D.≥
解析 特殊法，取a＝1，b＝4，则D不成立．
答案 D
7．p＝＋，q＝·，(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p与q的大小关系为________．
解析 p2＝ab＋cd＋2，
q2＝(ma＋nc)(＋)
＝ab＋＋＋cd
≥ab＋cd＋2
∴q2≥p2，∴p≤q.
答案 p≤q
8．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
解析 x2＋mx＋4<0?m<－x－，∵y＝－(x＋)在(1,2)上单调递增，∴－(x＋)∈(－5，－4)
∴m≤－5.
答案 (－∞，－5]
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9．求证：ac＋bd≤·.
证明 (1)当ac＋bd<0时，
ac＋bd≤·显然成立．
(2)当ac＋bd≥0时，
要证ac＋bd≤·成立，
只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)成立，
只需证2abcd≤a2d2＋b2c2，
只需证(ad－bc)2≥0成立．
而(ad－bc)2≥0显然成立．
∴ac＋bd≤·成立．
综上所述ac＋bd≤·成立．
10．在△ABC中，若a2＝b(b＋c)，求证：A＝2B.
证明 因为a2＝b(b＋c)，
所以a2＝b2＋bc.
由余弦定理得
cosA＝＝＝.
又因为cos2B＝2cos2B－1＝2()2－1
＝2()2－1＝
＝＝.
所以cosA＝cos2B.
又因为A，B是三角形的内角，
所以A＝2B.
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11．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D.
解析 ∵a>0，b>0,3a·3b＝()2，
∴a＋b＝1.
∴＋＝＋＝1＋＋＋1
≥2＋2＝4.
当且仅当＝，又a＋b＝1，∴a＝b＝时，等号成立．
答案 B
12．如下图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
证明 (1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知，EF∥BC，∵EF?平面ABC而BC?平面ABC.
∴EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1，又A1D?平面A1B1C1，
∴A1D⊥CC1，又A1D⊥B1C.
CC1∩B1C＝C，又CC1，B1C?平面BB1C1C，
∴A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，
∴平面A1FD⊥平面BB1C1C.
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1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )
①结论相反的判断，即假设 ②原命题的条件 ③公理、定理、定义等 ④原结论
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③
答案 C
2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．两个都是非负数
D．至少有一个是正数
答案 D
3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为( )
A．a<0，b<0，c>0 B．a≤0，b>0，c>0
C．a，b，c不全是正数 D．abc<0
答案 C
4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解 B．有两个解
C．至少有两个解 D．至少有三个解
答案 D
5．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
解析 ∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋＋b＋＋c＋
＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)
≥2＋2＋2＝6.
由此可断定三个数a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.
答案 C
6．命题“在△ABC中，A＞B则a>b”，用反证法证明时，假设是________．
解析 命题的结论是a>b，假设应是“a≤b”．
答案 a≤b
7．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．
答案 a≠1，或b≠1
8．如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
证明 假设方程f(x)＝0在[a，b]上至少有两个实根α，β，即f(α)＝f(β)＝0，
∵α≠β，不妨设α>β，
又∵f(x)在[a，b]上单调递增，
∴f(α)>f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾．
∴f(x)＝0在[a，b]上至多有一个实根．
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9．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
解 设三个方程均无实根，则有
解得
∴－所以当a≥－1，或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根．
10．如果非零实数a，b，c两两不相等，且2b＝a＋c.
证明：＝＋不成立．
证明 假设＝＋成立，则＝＝，
∴b2＝ac.
又∵b＝，∴()2＝ac，即a2＋c2＝2ac，
即(a－c)2＝0，
∴a＝c，这与a，b，c两两不相等矛盾，
∴＝＋不成立．
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11．(2010·山东)在空间，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两直线平行
解析 两平行直线的投影不一定重合，故A错．由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理知B、C均错，故选D.
答案 D
12．如上图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；
(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
解 (1)如下图，取CD的中点G，连接MG，NG，
∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
∵平面ABCD⊥平面DCEF，
∴MG⊥平面DCEF.
∴MG⊥GN.
∴MN＝＝.
(2)证明 假设直线ME与BN共面，则AB?平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN.
由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，
故AB?平面DCEF.
又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，
∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF.
∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，
故假设不成立．
∴ME与BN不共面，它们是异面直线．
