技能演练
基 础 强 化
1．一物体的运动方程是s＝2t2，则从2 s到3 s这段时间内路程的增量为( )
A．18 B．8
C．10 D．12
解析 Δs＝2×32－2×22＝18－8＝10.
答案 C
2．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )
A．0.41 B．3
C．4 D．4.1
解析 Δs＝3＋2.12－(3＋22)＝0.41，∴＝＝4.1.
答案 D
3．已知函数f(x)＝x2－2x上两点A、B的横坐标分别为xA＝0，xB＝1，则直线AB的斜率为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析 斜率k＝＝＝－1.
答案 B
4．物体的运动规律是s＝s(t)，物体在t至t＋Δt这段时间内的平均速度是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D．Δt→0时，＝
解析 ＝＝.
答案 C
5．如果质点M按规律s＝3t2运动，那么在t＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
解析 ＝
＝＝6t＋3Δt.
∴当Δt→0时，＝6t＝6×3＝18.
答案 B
6．某质点A沿直线运动的方程为y＝－2x2＋1，则该质点从t＝1到t＝2时的平均速度为( )
A．－4 B．－8
C．－6 D．6
解析 ＝＝－6.
答案 C
7．设C是成本，q是产量，且C(q)＝3q2＋10，若q＝q0，则产量增加量为10时，成本增加量为________．
解析 ΔC＝C(q0＋10)－C(q0)
＝3(q0＋10)2＋10－(3q＋10)
＝3(q＋20q0＋100)－3q
＝60q0＋300.
答案 60q0＋300
8．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0的平均变化为k2，则k1与k2的大小关系是________．(填k1>k2，k1
解析 k1＝＝2x0＋Δx.
k2＝＝2x0－Δx.
∵k1－k2＝2Δx，而Δx符号不确定，故k1与k2的大小不确定．
答案 不确定
能 力 提 升
9．下表为某大型超市一个月的销售收入情况表，则本月销售收入的平均增长率为( )
日期
5
10
15
20
25
30
销售收入(万元)
20
40
90
160
275
437.5
A.一样 B．越来越大
C．越来越小 D．无法确定
解析 计算每5天的平均增长率，然后加以比较知，平均增长率越来越大．
答案 B
10．比较函数f(x)＝2x与g(x)＝3x，当x∈[1,2]时，平均增长率的大小．
解 设f(x)＝2x在x∈[1,2]时的平均增长率为k1，则
k1＝＝2，
设g(x)＝3x在x∈[1,2]时的平均增长率为k2，则
k2＝＝6.
∵k111.在受到制动后的t秒内一个飞轮上一点P旋转过的角度(单位：弧度)由函数φ(t)＝4t－0.3t2(单位：秒)给出．
(1)求t＝2秒时，P点转过的角度；
(2)求在2≤t≤2＋Δt时间段内P点转过的平均角速度，其中①Δt＝1，②Δt＝0.1，③Δt＝0.01.
解 (1)当t＝2时，φ(2)＝4×2－0.3×22
＝8－1.2＝6.8(弧度)．
(2)∵＝
＝
＝4－1.2－0.3Δt＝2.8－0.3Δt，
∴①当Δt＝1时，平均角速度为＝2.8－0.3×1＝2.5(弧度/秒)；
②当Δt＝0.1时，平均角速度为＝2.8－0.3×0.1＝2.77(弧度/秒)；
③当Δt＝0.01时，平均角速度为＝2.8－0.3×0.01＝2.797(弧度/秒)．
12．已知三个函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝2x.
(1)指出三个函数在[0，＋∞)上的单调性；
(2)取x1＝0，x2＝2，x3＝4，x4＝6，Δx＝2.
求三个函数分别在区间[xi，xi＋Δx](i＝1,2,3,4)上的平均变化率(列成表格即可)；
(3)分析三个函数在[xi，xi＋Δx](i＝1,2,3,4……)上随自变量的增加，其平均变化率的变化情况．
解 (1)根据一次函数、二次函数和指数函数性质可知．函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝2x在[0，＋∞)上都是增函数．
(2)列表：
(3)由上表可知：函数f1(x)＝2x随着自变量的增大，在自变量增量Δx都是2的条件下，各区间上的函数平均变化率都相等，这说明函数呈匀速增长状态．函数f2(x)＝x2在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明函数值随自变量增长的速度越来越快．函数f3(x)＝2x在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明f3(x)的函数值随自变量增长的速度越来越快，并且比f2(x)的增长速度快的多．
技能演练
基 础 强 化
1．当自变量x由x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数( )
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x1处的导数
C．在区间[x0，x1]上的导数
D．在x处的平均变化率
解析 由平均变化率的定义知选A.
答案 A
2．对于函数f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)为( )
A．0 B．1
C．c D．不存在
解析 f′(x)＝ ＝ ＝0.
答案 A
3．y＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2
C．2＋Δx D．1
解析 Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，
∴＝2＋Δx.
∴f′(1)＝ (2＋Δx)＝2.
答案 B
4．在导数的定义中，自变量的增量Δx满足( )
A．Δx<0 B．Δx>0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
解析 Δx可正、可负，就是不能为0，因此选D.
答案 D
5．一物体运动满足曲线方程s＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是( )
A．物体5秒内共走过42米
B．物体每5秒钟运动42米
C．物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒
D．物体以t＝5秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为42米
解析 由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5秒时的瞬时速度．故选D.
答案 D
6．如果质点A按规律s＝3t2运动，那么在t＝3时的瞬时速度为________．
解析 Δy＝3(3＋Δt)2－3×32
＝18Δt＋3(Δt)2，
∴s′(3)＝ ＝ (18＋3Δt)＝18.
答案 18
7．设函数f(x)满足 ＝－1，则f′(1)＝________.
解析 ∵
＝ ＝f′(1)＝－1.
答案 －1
8．函数f(x)＝x2＋1在x＝1处可导，在求f′(1)的过程中，设自变量的增量为Δx，则函数的增量Δy＝________.
解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1)
＝2Δx＋(Δx)2.
答案 2Δx＋(Δx)2
能 力 提 升
9．已知f(x)＝ax2＋2，若f′(1)＝4，求a的值．
解 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝a(1＋Δx)2＋2－(a×12＋2)
＝2a·Δx＋a(Δx)2，
∴f′(1)＝
＝ (2a＋a·Δx)
＝2a＝4.
∴a＝2.
10．在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t存在关系s(t)＝10t＋5t2(s的单位是m，t的单位是s)．
(1)求t＝20，Δt＝0.1时的Δs与；
(2)求t＝20时的速度．
解 (1)当t＝20，Δt＝0.1时，
Δs＝s(20＋Δt)－s(20)
＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－(10×20＋5×202)
＝1＋20＋5×0.01＝21.05.
∴＝＝210.5.
(2)由导数的定义知，t＝20时的速度即为
v＝
＝
＝
＝ (5Δt＋10＋10t)
＝10＋10t
＝10＋10×20
＝210(m/s)．
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11．如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________；函数f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________.
解析 由图像知，f(0)＝4，∴f(f(0))＝f(4)＝2.
当0≤x≤2时，f(x)＝－2x＋4，
∴f′(1)＝
＝
＝ (－2)＝－2.
答案 2 －2
12．(2010·海南模拟)已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为( )
A．(1,10) B．(－1，－2)
C．(1，－2) D．(－1,10)
解析 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)＋1－(3x＋6x0＋1)＝6x0Δx＋3(Δx)2＋6Δx，
∴f′(x0)＝ ＝ (6x0＋3Δx＋6)
＝6x0＋6.
又f′(x0)＝0，∴x0＝－1，∴y0＝－2.
故点P的坐标为(－1，－2)．
答案 B
技能演练
基 础 强 化
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴垂直
C．与x轴平行 D．与x轴平行或重合
答案 D
2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )
A. 2 B. 1
C. D.
解析 s′＝ ＝
＝ ＝ (t＋Δt)＝t.
∴当t＝2时，s′＝.
答案 C
3．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A．h′(a)<0 B．h′(a)>0
C．h′(a)＝0 D．h′(a)的符号不定
解析 由2x＋y＋1＝0，得h′(a)＝－2<0.
∴h′(a)<0.
答案 A
4．曲线y＝在点(3,3)处的切线方程的倾斜角α等于( )
A．45° B．60°
C．135° D．120°
解析 k＝y′＝ ＝
＝ ＝－.
∴当x＝3时，tanα＝－1.
∴α＝135°.
答案 C
5．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C．(，) D．(，)
解析 y′＝ ＝
＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
令2x＝tan＝1，∴x＝，y＝.
故所求的点是(，)．
答案 D
6．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则过点A的切线的斜率为________．
解析 k＝f′(2)＝
＝ ＝ (8＋2Δx)＝8.
答案 8
7．若函数f(x)在x0处的切线的斜率为k，则极限
＝________.
解析
＝－
＝－k.
答案 －k
8．已知函数f(x)在区间[0,3]上图像如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f′(3)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)
解析 由f(x)的图像及导数的几何意义知，k1>k2>k3.
答案 k1>k2>k3
能 力 提 升
9．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．
解 ∵f′(1)＝ ＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k，则4k＝－1，k＝－.
∴所求的直线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋4y－9＝0.
10．已知点M(0，－1)，F(0,1)，过点M的直线l与曲线y＝x3－4x＋4在x＝2处的切线平行．
(1)求直线l的方程；
(2)求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程．
解 (1)∵f′(2)＝
＝0，∴直线l的斜率为0，其直线方程为y＝－1.
(2)∵抛物线以点F(0,1)为焦点，y＝－1为准线，∴设抛物线的方程为x2＝2py，则－＝－1，p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y.
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11．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B.
C．－ D．－1
解析 f′(1)＝ ＝
＝ (2a＋aΔx)＝2a.
令2a＝2，∴a＝1.
答案 A
12．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析 Δy＝(1＋Δx)3－2(1＋Δx)＋4－(1－2＋4)
＝3Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3－2Δx
＝Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3
∴y′|x＝1＝ ＝[1＋3Δx＋(Δx)2]
＝1.
∴tanα＝1，α＝45°.
答案 B
技能演练
基 础 强 化
1．下列各式中正确的是( )
A．(sina)′＝cosa(a为常数)
B．(cosx)′＝sinx
C．(sinx)′＝cosx
D．(x－5)′＝－x－6
答案 C
2．已知函数f(x)＝x3的切线斜率等于1，则其切线方程有( )
A．1条 B. 2条
C．3条 D．不确定
解析 令f′(x)＝3x2＝1，得x＝±，
∴切线斜率为1的点有两个，故有两条．
答案 B
3．函数y＝cosx在x＝处的切线的斜率为( )
A. B．－
C. D．－
解析 y′＝cosx′＝－sinx，
∴k＝y′|x＝＝－sin＝－.
答案 D
4．若对于任意x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数为( )
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x4－2
C．f(x)＝x4＋1 D．f(x)＝x4＋2
答案 B
5．函数y＝的导数y′＝( )
A. B．－
C. D．－
解析 y＝＝x，
答案 D
6．已知f(x)＝xn.若f′(－1)＝－4，则n的值为( )
A．4 B．－4
C．5 D．－5
解析 ∵f(x)＝xn，f′(x)＝nxn－1，
∴f′(－1)＝n(－1)n－1＝－4.
∴n＝4.
答案 A
7．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．
解析 ∵y＝ex，∴y′＝ex.
设切点为(x0，y0)，切线方程为y＝kx，
则
∴x0＝1，y0＝e.
故切点(1，e)，k＝e.
答案 (1，e) e
8．求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝.
解 (1)y′＝()′＝
＝.
(2)y＝＝
＝cosx－sinx，
∴y′＝－sinx－cosx.
能 力 提 升
9．已知曲线y＝x2和直线y＝x＋2.
(1)求曲线和直线的交点；
(2)求曲线在交点处的切线方程．
解 (1)由解得或
即曲线和直线的交点坐标为(2,4)和(－1,1)．
(2)∵y＝x2，∴y′＝2x.
∴f′(2)＝4，f′(－1)＝－2.
∴在点(2,4)和(－1,1)处的切线方程分别为
y－4＝4(x－2)，或y－1＝－2(x＋1)，
即4x－y－4＝0，或2x＋y＋1＝0.
10．在曲线y＝(x<0)上求一点P，使P到直线x＋2y－4＝0的距离最小．
解 由题意知，平行于直线x＋2y－4＝0与y＝(x<0)相切的切点即为所求．
设切点P(x0，y0)，由y′＝－，得
k＝y′|x＝x0＝－，
又x＋2y－4＝0的斜率为－，
∴－＝－，∴x0＝，或x0＝－.
∵x<0，∴x0＝－.
y0＝－＝－.
∴P(－，－)为所求．
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11．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析 令g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g′(x)＝f′(x)－2>0，故g(x)在R上单调递增．又g(－1)＝f(－1)－2＝0，故当x>－1时，g(x)>0，即f(x)>2x＋4.
答案 B
12．(2012·山东模拟)已知函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，a＝f(－1)，b＝f(1)，则a，b的大小关系是( )
A．a>b B．aC．a＝b D．不确定
解析 ∵f′(x)＝2x＋2f′(2)，
∴f′(2)＝2×2＋2f′(2)，
∴f′(2)＝－4.
∴f(x)＝x2－8x，
∴a＝f(－1)＝9，b＝f(1)＝－7，
∴a>b.
答案 A
技能演练
基 础 强 化
1．函数y＝cosnx的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝cosxn
B．y＝t，t＝cosnx
C．y＝tn，t＝cosx
D．y＝cost，t＝xn
答案 C
2．y＝ex2－1的导数是( )
A．y′＝(x2－1)ex2－1 B．y′＝2xex2－1
C．y′＝(x2－1)ex D．y′＝ex2－1
解析 y′＝ex2－1 (x2－1)′＝ex2－1·2x.
答案 B
3．下列函数在x＝0处没有切线的是( )
A．y＝3x2＋cosx B．y＝xsinx
C．y＝＋2x D．y＝
解析 因为y＝＋2x在x＝0处没定义，所以y＝＋2x在x＝0处没有切线．
答案 C
4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
解析 设切点为(x0，x)，则斜率k＝2x0＝2，
∴x0＝1，∴切点为(1,1)．
故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
答案 D
5．y＝loga(2x2－1)的导数是( )
A. B.
C. D.
解析 y′＝(2x2－1)′＝.
答案 A
6．已知函数f(x)＝，且f′(1)＝2，则a的值为( )
A．a＝1 B．a＝2
C．a＝ D．a>0
解析 f′(x)＝(ax2－1)－·(ax2－1)′
＝·2ax
＝.
由f′(1)＝2，
得＝2，∴a＝2.
答案 B
7．曲线y＝sin2x在点M(π，0)处的切线方程是________．
解析 y′＝(sin2x)′＝cos2x·(2x)′＝2cos2x，
∴k＝y′|x＝π＝2.
又过点(π，0)，所以切线方程为y＝2(x－π)．
答案 y＝2(x－π)
8．f(x)＝e2x－2x，则＝________.
解析 f′(x)＝(e2x)′－(2x)′＝2e2x－2＝2(e2x－1)．
∴＝＝2(ex＋1)．
答案 2(ex＋1)
能 力 提 升
9．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像都过点P(2,0)，且在点P处有相同的切线．求实数a，b，c的值．
解 ∵函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像都过点P(2,0)，
∴得a＝－8,4b＋c＝0，
∴f(x)＝2x3－8x，f′(x)＝6x2－8.
又当x＝2时，f′(2)＝16，g′(2)＝4b，
∴4b＝16，∴b＝4，c＝－16.
∴a＝－8，b＝4，c＝－16.
10．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋a(a为常数)，直线l与函数f(x)、g(x)的图像都相切，且l与函数f(x)图像的切点的横坐标为1，求直线的方程及a的值．
解 ∵f(x)＝lnx，∴f′(x)＝，∴f′(1)＝1，
即直线l的斜率为1，切点为(1,0)．
∴直线l的方程为y＝x－1.
又l与g(x)的图像也相切，等价于方程组只有一解，即方程x2－x＋1＋a＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝1－4×(1＋a)＝0，∴a＝－.
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11．(2011·全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A. B．－
C. D．1
解析 ∵y′＝(－2x)′e－2x＝－2e－2x，
∴k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，
∴切线方程为y－2＝－2(x－0)，
即y＝－2x＋2.
如图，由得交点坐标为(，)，
y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1,0)，
∴所求面积为S＝×1×＝.
答案 A
12．(2010·全国Ⅱ)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析 ∵y＝x2＋ax＋b，∴y′＝2x＋a.
∵在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，
∴f′(0)＝a＝1.
又0－b＋1＝0，∴b＝1.
答案 A
技能演练
基 础 强 化
1．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减
D．在(0，π)上减，在(0,2π)上增
解析 f′(x)＝1－cosx>0在(0,2π)上恒成立，∴f(x)在(0,2π)上为增函数．
答案 A
2．若f(x)＝(0A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)1
解析 ∵f′(x)＝＝.
当x∈(0，e)时，
lnx∈(0,1)，∴1－lnx>0，即f′(x)>0.
∴f(x)在(0，e)上为增函数，又0∴f(a)答案 C
3．若在区间(a，b)内有f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )
A．f(x)>0 B．f(x)<0
C．f(x)＝0 D．f(x)≥0
解析 由题意知f(x)在(a，b)上为增函数，又f(a)≥0，∴在(a，b)内恒有f(x)>0.
答案 A
4．设f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)<0是f(x) 在(a，b)内单调递减的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析 f(x)在(a，b)内有f′(x)<0，则f(x)在(a，b)内单调递减；反过来，f(x)在(a，b)内单调递减，则f′(x)≤0.∴f′(x)<0是f(x)在(a，b)内单调递减的充分不必要条件．
答案 A
5．设f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是( )
解析 分析导函数y＝f′(x)的图像可知，x<－1时，f′(x)<0.∴y＝f(x)在(－∞，－1)上为减函数；当－10，∴y＝f(x)在(－1,1)内为增函数；当x>1时，f′(x)<0，∴y＝f(x)在(1，＋∞)上为减函数，只有B符合条件．
答案 B
6．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于________．
解析 ∵f(x)＝x2＋2xf′(1)，
∴f′(x)＝2x＋2f′(1)．
∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.
∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
答案 －4
7．已知导函数y＝f′(x)的图像如下图所示，请根据图像写出原函数y＝f(x)的递增区间是________．
解析 由图像可知，当－15时，f′(x)>0，∴f(x)的递增区间为(－1,2)和(5，＋∞)．
答案 (－1,2)，(5，＋∞)
8．下列命题中，正确的是________．
①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对于任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0；②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；③若在(a，b)内的任意x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；④若x∈(a，b)，总有f′(x)<0，则在(a，b)内f(x)<0.
答案 ③
能 力 提 升
9．已知x>1，求证：x>lnx.
证明 令f(x)＝x－lnx，
则f′(x)＝1－＝，
∵x>1，∴f′(x)>0.
即f(x)＝x－lnx在(1，＋∞)上是增函数，
又f(1)＝1>0，∴f(x)>f(1)>0.
∴当x>1时，有x>lnx.
10．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
解 函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1，或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．
当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
依题意应有当x∈(1,4)时，f′(x)<0，当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0.
所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.
所以a的取值范围是[5,7]．
品 味 高 考
11．(2011·湖南)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图像分别交于M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )
A．1 B.
C. D.
解析 由题意画出函数的图像如图所示，由图可知，
|MN|＝t2－lnt(t>0)．
令f(t)＝t2－lnt，
则f′(t)＝2t－＝，
解f′(t)＝0，得t＝，(舍去t＝－)．
当0当t>时，f′(t)>0，可知f(t)在区间(，＋∞)上为增函数．
故当t＝时，|MN|有最小值．
答案 D
12．设函数f(x)＝xekx(k≠0)．
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增，求k的取值范围．
解 (1)f′(x)＝(1＋kx)ekx，f′(0)＝1，
f(0)＝0，
曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为
y＝x.
(2)由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－(k≠0)．
若k>0，则当x∈(－∞，－)时，f′(x)<0，
函数f(x)单调递减；
当x∈(－，＋∞)时，f′(x)>0，
函数f(x)单调递增．
若k<0，则当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，
函数f(x)单调递增；
当x∈(－，＋∞)时，f′(x)<0，
函数f(x)单调递减．
(3)由(2)知，若k>0，则当且仅当－≤－1，
即k≤1时，函数f(x)在(－1,1)内单调递增；
若k<0，则当且仅当－≥1，即k≥－1时，
函数f(x)在(－1,1)内单调递增．
综上可知，函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增时，k的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．
技能演练
基 础 强 化
1．下面说法正确的是( )
A．可导函数必有极值
B．函数在极值点一定有定义
C．函数的极小值不会超过极大值
D．函数在极值点处导数一定存在
解析 分析四个选项知，B正确．对于D，可举反例，如y＝|x|，在x＝0处取得极小值，但f′(0)不存在．
答案 B
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 设x0为f(x)的一个极小值点，则在x0左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，由y＝f′(x)的图像知，只有一个适合．
答案 A
3．函数y＝2x3－x2的极大值( )
A．0 B．－9
C．0， D.
解析 y′＝6x2－2x＝2x(3x－1)，令y′＝0，得x＝0，或x＝.
易知，当x<0时，y′>0，当0时，y′>0.
∴f(0)为极大值，f()为极小值，又f(0)＝0.
答案 A
4．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
解析 y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1.可判断函数y＝3x－x3在x＝1处取得极大值，因此极大值点的坐标为(1,2)，即b＝1，c＝2，又ad＝bc，∴ad＝2.
答案 A
5．三次函数当x＝1时，有极大值，当x＝3时，有极小值，且函数的图像过原点，则该三次函数为( )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
解析 本题若直接求解，相当于解一个大题，本题按照小题小做的原则，可采用试验找答案，显然四个函数的图像都过原点，下面分别求导函数，验证x＝1和x＝3都是导函数的根，对于B，y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．当x＝1和x＝3时，有y′＝0.而其他不适合题意．
答案 B
6．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
解析 y′＝6x2＋2ax＋36.依题意知6×22＋4a＋36＝0，∴a＝－15，∴y′＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，易知当x>3时，y′>0，∴函数的一个增区间为(3，＋∞)．
答案 B
7．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是________．
解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由题意知f′(x)＝0有两个不同的实数根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)>0，解得a<－1，或a>2.
答案 a>2或a<－1
8．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋m，在R上的极大值为20，则实数m＝________.
解析 f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，
当－1＜x<3时，f′(x)>0，
当x>3时，f′(x)<0，
∴当x＝3时，f(x)有极大值，则
f(3)＝－33＋3×32＋9×3＋m＝20，
∴m＝－7.
答案 －7
能 力 提 升
9．设x＝－2，x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求常数a，b；
(2)判断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
解 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由极值点的必要条件可知，x＝－2，x＝4是方程
f′(x)＝0的两根．
∴a＝－3，b＝－24.
(2)f′(x)
＝3x2－6x－24＝3(x＋2)(x－4)
当x<－2时，f′(x)>0，
当－2当x>4时，f′(x)>0，
∴x＝－2是f(x)的极大值点，x＝4是f(x)的极小值点．
10．设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的极值．
解 由已知得，f′(x)＝6x[x－(a－1)]，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1，
(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2，
f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
当a>1时，f′(x)＝6x[x－(a－1)]．
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，a－1)
a－1
(a－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
(
极大值
(
极小值
(
从表上可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增；在(0，a－1)上单调递减；在(a－1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值．
当a>1时，函数在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.
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11．(2011·重庆)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．
解 ∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，
又f′(1)＝2a，∴3＋2a＋b＝2a，
∴b＝－3.
令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，
又f′(2)＝－b，∴12＋4a＋b＝－b，
解得a＝－.
∴f(x)＝x3－x2－3x＋1.
从而f(1)＝－.
又∵f′(1)＝2×(－)＝－3.
故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－)＝－3(x－1)，
即6x＋2y－1＝0.
(2)由(1)知，g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，
∴g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x＝－3x(x－3)e－x.
令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝3.
当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，0)上为减函数；
当x∈(0,3)时，g′(x)>0，故g(x)在(0,3)上为增函数；
当x∈(3，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(3，＋∞)上为减函数．
从而可知，函数g(x)在x＝0处取得极小值g(0)＝－3，
在x＝3处取得极大值g(3)＝15e－3.
技能演练
基 础 强 化
1．若f′(x0)＝0，则x0是( )
A．极大值点 B．极小值点
C．最值点 D．可能是极值点
答案 D
2．函数f(x)＝x＋2cosx在[0，]上的最大值点为( )
A．x＝0 B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析 令f′(x)＝1－2sinx＝0，则sinx＝，又x∈[0，]，∴x＝，又f(0)＝2，f()＝＋，f()＝，∴f()最大，∴最大值点为x＝.
答案 B
3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是( )
A．0≤a<1 B．0C．－1解析 f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
依题意f′(x)＝0在(0,1)内有解．
∴0答案 B
4．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值
D．无最大值，但有最小值
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当－1∴f(x)在(－1,1)上是减函数，没有最值．
答案 C
5．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于( )
A．－ B.
C．－ D．－或－
解析 f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，易知，f(x)的图像是开口向下的抛物线，对称轴x＝－1，而f(－1)＝4>，f(2)＝－5<，∴－1答案 C
6．函数f(x)＝sinx＋cosx在x∈时，函数的最大值、最小值分别是________．
解析 f′(x)＝cosx－sinx，x∈[－，]，令f′(x)＝0，得x＝，
又f()＝，f(－)＝－1，f()＝1，∴最大值为，最小值为－1.
答案 ，－1
7．函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是________．
解析 f′(x)＝12－3x2＝3(4－x2)，
令f′(x)＝0，得x＝±2，
而f(－3)＝－36＋27＝－9，
f(－2)＝－24＋8＝－16，
f(2)＝24－8＝16，
f(3)＝36－27＝9.
∴最小值是－16.
答案 －16
8．设f(x)，g(x)是定义在[a，b]上的可导函数，且f′(x)>g′(x)，令F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)在[a，b]上的最大值为________．
解析 F′(x)＝f′(x)－g′(x)>0，
∴F(x)在[a，b]上是增函数．
∴最大值为F(b)＝f(b)－g(b)．
答案 f(b)－g(b)
能 力 提 升
9．已知a∈R，f(x)＝(x2－4)(x－a)．
(1)求f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最值；
(3)若函数f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上是递增的，求a的取值范围．
解 (1)由原式得
f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，
此时f(x)＝(x2－4)(x－)，
f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝，或x＝－1.
又f()＝－，f(－1)＝，
f(－2)＝0，f(2)＝0，
∴f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
(3)f′(x)＝3x2－2ax－4的图像是开口向上的抛物线，且过定点(0，－4)．
由条件得f′(－2)≥0，f′(2)≥0，
即∴－2≤a≤2.
故a的取值范围是[－2,2]．
10．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax，
∵f′(1)＝3－2a＝3，∴a＝0.
又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，
∴曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.
(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.
当0<<2，即0f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
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11．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)＝ex(x>0)的图像上的动点，该图像在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．
解析 如图所示，设点P(x0，ex0)，则
f′(x0)＝ex0(x0>0)．
∴f(x)＝ex(x>0)在点P处的切线方程为
y－ex0＝ex0(x－x0)，令x＝0，得
M(0，ex0－x0ex0)．
过点P与l垂直的直线方程为
y－ex0＝－(x－x0)，令x＝0，得N(0，ex0＋)．
∴2t＝ex0－x0ex0＋ex0＋＝2ex0－x0ex0＋x0e－x0，则(2t)′＝2ex0－ex0－x0ex0＋ex0－x0e－x0＝(1－x0)(ex0＋e－x0)．
∵ex0＋e－x0>0，∴当1－x0>0时，即00，
∴2t在(0,1)上单调递增；
当1－x0<0，即x0>1时，(2t)′<0，
∴2t在(1，＋∞)上单调递增．
故当x0＝1时，2t有最大值e＋，
即t的最大值为(e＋)．
答案 (e＋)
技能演练
基 础 强 化
1．把长度为8的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积的最大值为( )
A．2 B．4
C．8 D．以上都不对
解析 由经验知，矩形的周长一定时，正方形面积最大，所以最大面积为2×2＝4.
答案 B
2．正三棱柱体积是V，当其表面积最小时，底面边长a为( )
A. B.
C. D．2
解析 设正三棱柱的高为h，则
V＝a2sin60°·h＝a2h，∴h＝.
则正三棱柱的表面积S＝2·a2＋3ah
＝a2＋3a·＝a2＋，
∴S′＝a－，
令S′＝0，得a＝.
答案 C
3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产量是( )
A．100 B．150
C．200 D．300
解析 当0≤x≤400时，
Q(x)＝400x－x2－20000－100x
＝－x2＋300x－20000.
Q′(x)＝－x＋300.
令Q′(x)＝0，得x＝300.
答案 D
4．一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为( )
A. B.
C. D．2
解析 设圆半径为x，矩形的高记作h，那么窗户面积S＝x2＋2hx.
窗户周长为
l(x)＝πx＋2x＋2h＝x＋2x＋.
令l′(x)＝＋2－＝0，
解得x＝(舍去负值)，
∵l(x)只有一个极值，因此x＝为最小值点．
答案 C
5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能够全部贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大收益为( )
A．0.012 B．0.024
C．0.032 D．0.036
解析 由题意知，存款量g(x)＝kx(k>0)，银行应支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，x∈(0,0.048)．
设银行可获得收益为y，则y＝0.048kx－kx2.
于是y′＝0.048k－2kx
令y′＝0，得x＝0.024.
依题意知，y在x＝0.024处取得最大值．
答案 B
6．四川地震灾区在党的领导下积极恢复生产，重建家园时，某工厂需要建一个面积为512m2矩形堆料场．一边可以利用原有的墙壁，其它三面需要砌新的墙壁，当砌墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．
解析 设矩形堆料场的长为xm，则宽为m，所用材料f(x)＝x＋，f′(x)＝1－.
令f′(x)＝0，得x＝32，宽为16.
答案 32m 16m
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7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品．若该商品零售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2.问该商品零售价定为多少时毛利润L最大，并求出最大毛利润．(毛利润＝销售收入－进货支出)
解 设毛利润为L(p)，由题意知
L(p)＝p·Q－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
L′(p)＝－3p2－300p＋11700，
令L′(p)＝0，解得p＝30，或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．
答：该商品零售价定为每件30元时，毛利润最大，最大毛利润为23 000元．
8．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积最大，求圆锥的高．
解 如图．设圆锥底面半径为r，高为h，于是
h2＋r2＝202，
∴r＝.
∴V＝πr2h
＝π(400－h2)·h
＝π(400h－h3)．
∴V′＝π(400－3h2)．
令V′＝0，解得h＝.
当00.
当h>时，V′<0.
∴h＝时，圆锥形漏斗体积最大．
9．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，那么每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
解 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋
f′(x)＝48－.
令f′(x)＝0，得x＝15.
当x>15时，f′(x)>0，当0答：为了楼房每平方米的综合费用最少，该楼房应建为15层．
10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解 (1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，则n＝－1，
∴y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256(－1)＋(2＋)x＝m＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64,640)内为增函数．
∴f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
技能演练
基 础 强 化
1．在求由x＝a，x＝b(a①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 ①②③均错，④正确．
答案 A
2．函数f(x)＝x2在区间[，]上( )
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
答案 D
3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上近似值等于( )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均不对
答案 C
4．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间[，]上的值，可以用哪个值近似代替( )
A．f() B．f()
C．f() D．f(0)
答案 C
5．求曲边梯形面积主要运用的数学思想是( )
A．函数方程 B．数形结合
C．分类讨论 D．以直代曲
答案 D
6．在等分区间的情况下，f(x)＝(x∈[0,1])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )
A.·]
B.·]
C.·n]
D.·]
答案 B
7．在区间[0,8]上插入9个等分点，则所分的小区间长度Δx＝________，第5个小区间是________．
解析 每个小区间的长度Δx＝＝，第5个小区间的左端点是×4＝，右端点是×5＝4，因此第5个小区间是[，4]．
答案 [，4]
8．一辆汽车在司机猛踩刹车后，5s内停下，在这一刹车过程中，下面各速度值被记录了下来：
刹车踩下后的时间/s
0
1
2
3
4
5
速度/(m/s)
21
14
9
5
2
0
则刹车后车滑过的距离的不足近似值(每个ξi均取小区间的右端点)与过剩近似值(每个ξi取小区间的左端点)分别为________m，________m.
解析 不足近似值为14＋9＋5＋2＋0＝30.
过剩近似值为21＋14＋9＋5＋2＝51.
答案 30 51
能 力 提 升
9．计算下列各式的和．
(1)(k－1)；
(2)(－)．
解 (1)(k－1)＝1×(1－1)＋2×(2－1)＋3×(3－1)＋4×(4－1)＋5×(5－1)＝0＋2＋6＋12＋20＝40.
(2)(－)＝(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)＝1－＝.
10．求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S.
解 (1)分割
把区间[0,1]等分成n个小区间[，](i＝1,2，…，n)，其长度Δx＝，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积分别记为ΔSi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替
用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积
ΔSi＝f()·Δx＝[1＋()2]·(n＝1,2，…，n)．
(3)求和
所有这些小矩形的面积和
Sn＝Si＝[1＋()2]．
(4)取极值
S＝Sn
＝·[1＋()2]
＝1＋()2·
＝1＋ (1－)(1－)
＝1＋＝.
技能演练
基 础 强 化
1．定积分f(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]及ξi的取法无关
C．与f(x)及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
答案 A
2．积分dx的值等于( )
A．0 B．1
C. D．2
答案 B
3．当a0，则f(x)dx的值( )
A．一定是正的
B．一定是负的
C．当0D．正、负都有可能
解析 由定积分的几何意义知，当a0时，f(x)dx>0.
答案 A
4．直线x＝1，x＝－1，y＝0及曲线y＝x3＋sin3x围成的平面图形的面积可以表示为( )
A. (x3＋sin3x)dx
B．| (x3＋sin3x)dx|
C.(x3＋sin3x)dx
D．2(x3＋sin3x)dx
解析 ∵y＝x3＋sin3x为奇函数，其图像关于原点对称，x轴上方的面积为(x3＋sin3x)dx，
∴整个图形的面积为2(x3＋sin3x)dx.
答案 D
5．已知[f(x)＋g(x)]dx＝18，f(x)dx＝10，则g(x)dx等于( )
A．8 B．10
C．18 D．不确定
解析 由定积分的性质可知，g(x)dx＝18－10＝8.
答案 A
6．已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx等于__________．
解析 6f(x)dx＝6f(x)dx＝6×6＝36.
答案 36
7．已知x2dx＝，x2dx＝，则(x2＋1)dx＝________.
解析 x2dx＝x2dx＋x2dx＝＋＝.
又1dx＝2，
∴(x2＋1)dx＝x2dx＋1dx＝＋2＝.
答案
8．设f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx－f(t)dt的值为__________．
答案 0
能 力 提 升
9．简化下列各式，并画出各题所表示的图形的面积．
(1)x2dx＋－2x2dx；
(2)(1－x)dx＋(x－1)dx.
解 (1)原式＝x2dx，如下图①.
图①
(2)(1－x)dx＋(x－1)dx＝|1－x|dx，如图②.
图②
10．利用定积分的性质、几何意义求(sinx＋)dx.
解 (sinx＋)dx
＝sinxdx＋dx.
∵y＝sinx在[－3,3]上为奇函数，
∴sinxdx＝0.
由几何意义可得dx＝×6＝3，
∴(sinx＋)dx＝3.
品 味 高 考
11．(2010·宁夏模拟)不用计算，根据图形，用不等号联结下列各式：
(1)如图①，则xdx________x2dx；
(2)如图②，则xdx________xdx；
(3)如图③，则dx________2dx.
答案 (1)> (2)< (3)<
12．(2010·江苏模拟)用定积分表示下图各阴影部分的面积：
答案 (1)S＝f(x)dx－f(x)dx.
(2)S＝－g(x)dx.
(3)S＝h(x)dx－h(x)dx.
技能演练
基 础 强 化
1．下列各式中，正确的是( )
A.F′(x)dx＝F′(b)－F′(a)
B.F′(x)dx＝F′(a)－F′(b)
C.F′(x)dx＝F(b)－F(a)
D.F′(x)dx＝F(a)－F(b)
答案 C
2．(sinx－cosx)dx＝( )
A．0 B．1
C．2 D.
解析 (sinx－cosx)dx
＝sinxdx－cosxdx
＝(－cosx)－(sinx)
＝1－1＝0.
答案 A
3．若 (2x＋)dx＝3＋ln2(a>1)，则a的值为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
解析 ∵(2x＋)dx
＝(x2＋lnx)＝a2＋lna－1，
又(2x＋)dx＝3＋ln2，
∴a＝2.
答案 D
4. cosxdx等于( )
A．2π B．π
C．0 D．1
解析 cosxdx＝sinx＝sinπ－sin(－π)＝0.
答案 C
5．设f(x)＝则f(x)dx等于( )
A. B.
C. D．不存在
解析 f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3＋(2x－x2)
＝＋2－＝.
答案 C
6．由曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )
A.(x2－1)dx
B．|(x2－1)dx|
C.|x2－1|dx
D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx
答案 C
7．若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sinxdx，则a，b，c的大小关系是________．
解析 a＝x2dx＝x3＝，
b＝x3dx＝x4＝4，
c＝sinxdx＝(－cosx) ＝－cos2＋1<2.
∴b>a>c.
答案 b>a>c
8．(2010·广东深圳二模)计算－2(sinx＋2)dx＝________.
解析 (sinx＋2)dx＝sinxdx＋2dx
＝(－cosx)＋2x
＝－cos2＋cos(－2)＋2×2－2×(－2)
＝8.
答案 8
能 力 提 升
9．f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求f(x)的解析式．
解 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
由f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，
得(ax＋b)dx＝(ax2＋bx)＝a＋b，
x(ax＋b)dx＝(ax3＋bx2)＝a＋b，
∴解得
∴f(x)＝4x＋3.
10．求f(a)＝(6x2＋4ax＋a2)dx的最小值．
解 f(a)＝(6x2＋4ax＋a2)dx
＝6x2dx＋4axdx＋a2dx
＝2x3＋2ax2＋a2x
＝2＋2a＋a2
＝(a＋1)2＋1
∴当a＝－1时，f(a)的最小值为1.
品 味 高 考
11．(2010·湖南)dx等于( )
A．－2ln2 B．2ln2
C．－ln2 D．ln2
解析 dx＝lnx
＝ln4－ln2＝2ln2－ln2
＝ln2.
答案 D
12．(2011·福建)(ex＋2x)dx等于( )
A．1 B．e－1
C．e D．e＋1
解析 (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e＋1－1＝e.
答案 C
技能演练
基 础 强 化
1．由曲线y＝f(x)(f(x)≤0)，x∈[a，b]，x＝a，x＝b和x轴围成的曲边梯形的面积S等于( )
A.f(x)dx， B．－f(x)dx
C.[f(x)－a]dx D.[f(x)－b]dx
答案 B
2．如图，阴影部分的面积为( )
A.f(x)dx
B.g(x)dx
C.[f(x)－g(x)]dx
D.[f(x)＋g(x)]dx
解析 阴影部分的面积
S＝f(x)dx＋|g(x)dx|
＝f(x)dx－g(x)dx
＝[f(x)－g(x)]dx.
答案 C
3．曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积等于( )
A. (x－x3)dx B. (x3－x)dx
C．2(x－x3)dx D．2 (x－x3)dx
解析 由得交点A(－1，－1)，B(0,0)，C(1,1)，如下图所示．
∴阴影部分的面积为S＝2(x－x3)dx.
答案 C
4．曲线y＝cosx(0≤x≤π)与坐标轴所围成的面积为( )
A．2 B．3
C. D．4
解析 利用函数y＝cosx在0≤x≤的图知，所求面积为S＝3 cosxdx＝3(sinx)＝3.
答案 B
5．如图阴影部分面积为( )
A. 2 B. 9－2
C. D.
解析 S＝ (3－x2－2x)dx
＝(3x－x3－x2)
＝＋9＝.
答案 C
6．f(x)＝的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为( )
A. B. 1
C. 2 D.
解析 根据定积分的几何意义结合图形可得所求封闭图形的面积为
S＝×1×1＋∫0cosxdx
＝＋sinx＝.
答案 A
7．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成图形的面积为________．
解析 示意图如图所示，
所求面积为S＝(x－)dx＝(x2－lnx)＝－ln2.
答案 －ln2
8．设函数f(x)＝3x2＋c，若f(x)dx＝5，则实数c的值为_____．
解析 f(x)dx＝(3x2＋c)dx
＝(x3＋cx)＝1＋c＝5，
∴c＝4.
答案 4
能 力 提 升
9．求正弦曲线y＝sinx，x∈[0，]和直线x＝及x轴所围成的平面图形的面积．
解 如图，当x∈[0，π]时，曲线
y＝sinx位于x轴上方，而当x∈[π，]时，曲线位于x轴下方，因此所求面积应为两部分面积之和．
∴S＝sinxdx＋| sinxdx|
＝sinxdx－sinxdx
＝－cosx＋cosx
＝2＋1＝3.
10．求曲线y＝ex与y＝e－x及x＝1所围成的图形面积．
解 如图所示，
由
解得交点(0,1)．
所求面积为S＝(ex－e－x)dx
＝(ex＋e－x)＝e＋－2.
品 味 高 考
11．(2011·湖南)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为( )
A. B．1
C. D.
解析 由定积分的几何意义知，所求的面积为
S＝cosxdx＝sinx
＝sin－sin＝.
答案 D
12．(2011·全国)由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )
A. B．4
C. D．6
解析 由得其交点坐标为(4,2)．
如图，所求的面积为
S＝[－(x－2)]dx
＝(x－x＋2)dx
＝
＝×4－×42＋2×4＝.
答案 C
技能演练
基 础 强 化
1．已知物体的速度为v＝v0＋at(v0，a为常数)，则物体在t1＝0至t2＝t时间内的位移为( )
A．s＝at2 B．s＝v0t＋at2
C．s＝v0t－at2 D．s＝at2－v0t
解析 (v0＋at)dt
＝(v0t＋at2)
＝v0t＋at2.
答案 B
2．如果某物体以初速度v(0)＝1，加速度a(t)＝6t作直线运动，那么物体在t＝2s时瞬时速度为( )
A．5 B．7
C．9 D．13
解析 t＝2s时的瞬时速度为v(t)＝v(0)＋6tdt＝1＋3t2＝1＋12＝13.
答案 D
3．质点做直线运动，其速度v(t)＝3t2－2t＋3，则它在第2秒内所走的路程为( )
A．1 B．3
C．5 D．7
解析 由定积分的物理意义知
S＝(3t2－2t＋3)dt＝(t3－t2＋3t)
＝(8－4＋6)－(1－1＋3)＝7.
答案 D
4．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(t为常数)，则电视塔高为( )
A.g B.g
C.g D．2g
解析 依题意得电视塔的高度为
h＝vdt＝gtdt＝gt2
＝2g－g＝g.
答案 C
5．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e B．e
C. D．e－1
解析 W＝F(x)dx＝(1＋ex)dx
＝(x＋ex)＝1＋e－1＝e.
答案 B
6．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4处(单位：m)，则力F(x)做的功为( )
A．44J B．46J
C．40J D．60J
解析 W＝F(x)dx
＝10dx＋(3x＋4)dx
＝10x＋(x2＋4x)
＝20＋40－14＝46(J)．
答案 B
7．质点运动的速度为v＝(18t－3t2)m/s，质点由开始运动到停止运动时所通过的路程为__________．
解析 质点停止运动，速度v为0，即18t－3t2＝0.
解得t＝6，或t＝0(舍去)．
∴质点由开始运动到停止运动时所通过的路程为
S＝(18t－3t2)dt
＝(9t2－t3)
＝108(m)．
答案 108m
8．如果1 N力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为__________．
解析 设F(x)＝kx，当F＝1 N，x＝0.01m时，k＝100，∴W＝100xdx
＝50x2＝0.18(J)．
答案 0.18J
能 力 提 升
9．一物体以v(t)＝t2－3t＋8(m/s)的速度运动，求其在前30秒内的平均速度．
解 由定积分的物理意义有
S＝(t2－3t＋8)dt＝(t3－t2＋8t)
＝7890(m)．
∴＝＝＝263(m/s)．
10．模型火箭自静止开始垂直向上发射，设启动时即有最大加速度，以此时为起点，加速度满足a(t)＝100－4t2，求火箭前5s内的位移．
解 由题设知t＝t0＝0，v(0)＝0，s(0)＝0，
∴v(t)＝(100－4t2)dt＝100t－t3.
∴s(5)＝v(t)dt
＝(100t－t3)dt
＝(50t2－t4)
＝
即火箭前5秒的位移是.
11．物体A以速度v＝3t2＋1在一直线上运动，在此直线上与物体出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处正以v＝10t的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时，物体A走过的路程是多少？(时间单位：s，速度单位：m/s)
解 设A追上B时，所用时间为t0，依题意得SA＝SB＋5，即
(3t2＋1)dt＝10dt＋5，
∴t＋t0＝5t＋5
即t0(t＋1)＝5(t＋1)．
∵t0＝5(s)，
∴SA＝5t＋5＝130(m)．
12．在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．
解 力F对物体所做的功为W＝F·s，求出变力F的表达式是本题中求功的关键：
由物理学知识易得压强P与体积V的乘积是常数k，即PV＝k，又∵V＝x·S(x指活塞与底的距离)，
∴P＝＝.
∴作用在活塞上的力F＝P·S＝·S＝.
∴气体压力所做的功为
W＝dx＝k·lnx
＝kln.
