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基 础 强 化
1．下列关于归纳推理的说法中错误的是( )
A．归纳推理是由一般到一般的一种推理过程
B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程
C．归纳推理得出的结论具有偶然性，不一定正确
D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
答案 A
2．下列说法中正确的是( )
A．合情推理就是正确的推理
B．合情推理就是归纳推理
C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程
D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程
答案 D
3．由数列1,10,100,1000，…猜测该数列的第n项可能是( )
A．10n B．10n－1
C．10n＋1 D．11n
答案 B
4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．
A．① B．③
C．①② D．①②③
答案 D
5．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)·r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )
A．V＝abc
B．V＝Sh
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)·r(S1，S2，S3，S4分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径)
D．V＝(ab＋bc＋ac)·h(h为四面体的高)
解析 面积与体积，边长与面积，圆与球进行类比，应选C.
答案 C
6．顺次计算数列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，……的前4项的值，由此猜测：
an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1的结果为________．
解析 1＝12，
1＋2＋1＝4＝22，
1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，
……
由此可以猜想an＝n2.
答案 n2
7．圆的面积S＝πr2，周长c＝2πr，两者满足c＝S′(r)，类比此关系写出球的公式的一个结论是：________.
解析 球的面积S＝4πr2，
球的体积V＝πr3，
则有S＝V′(r)＝4πr2.
答案 V球＝πr3，S球＝4πr2，满足S＝V′(r)
8．观察以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝，
sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝，
sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝.
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，为____________________．
答案 sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝
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9．两条直线最多有一个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线最多有10个交点，……，试归纳出n条直线最多有多少个交点．
解 设直线条数为n，最多交点个数为f(n)，则
f(2)＝1，
f(3)＝3＝1＋2，
f(4)＝6＝1＋2＋3，
f(5)＝10＝1＋2＋3＋4，
f(6)＝15＝1＋2＋3＋4＋5，
……
由此可以归纳出，n条直线交点个数最多为
f(n)＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝.
10．设an是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n≥1，n∈N)，试归纳出这个数列的一个通项公式．
解 当n＝1时，a1＝1，且2a22－a21＋a2·a1＝0，
即2a22＋a2－1＝0，解得a2＝，
当n＝2时，由
3a23－2()2＋a3＝0，
即6a23＋a3－1＝0，解得a3＝，
……
由此猜想：an＝.
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11．(2012·湖北省七市联考)下图的倒三角形数阵满足：
1 3 5 7 9 11…
4 8 12 16 20…
12 20 28 36…
……
…
(1)第1行的n个数分别是1,3,5，…，2n－1；
(2)从第2行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两个数之和；
(3)数阵共有n行．
则第5行的第7个数是________．
解析 观察倒三角形数阵知，每一行均为等差数列，且第1行的公差为2，第2行的公差为4，第3行的公差为8，第4行的公差为16，第5行的公差为32.又推得第5行第一个数字为80，故第5行第7个数字是80＋32×(7－1)＝272.
答案 272
12．(2010·山东)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，又归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析 归纳所给出的导函数知，原函数为偶函数，则其导函数为奇函数，根据这一规律可知，f(x)为偶函数，其导函数g(x)必为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
答案 D
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1．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
答案 C
2．演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法( )
A．一般的原理原则 B．特定的命题
C．一般的命题 D．定理、公式
答案 A
3．下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④
C．②④⑤ D．①③⑤
答案 D
4．已知函数f(x)＝x3＋m·2x＋n是奇函数，则( )
A．m＝0 B．m＝0或n＝0
C．n＝0 D．m＝0且n＝0
答案 D
5．设a＝(x,4)，b＝(3,2)，若a∥b，则x的值是( )
A．－6 B.
C．－ D．6
解析 ∵a∥b，∴＝，∴x＝6.
答案 D
6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
答案 A
7. 在演绎推理中，只要________是正确的，结论必定是正确的．
答案 大前提和推理过程
8．关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列命题：
①其图像关于y轴对称；②当x>0时，f(x)为增函数；③f(x)的最小值是lg2；④当－1
1时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．
其中正确结论的序号是________．
解析 易知f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称，①正确．当x>0时，f(x)＝lg＝lg(x＋)．∵g(x)＝x＋在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确，而f(x)有最小值lg2，∴③正确，④也正确，⑤不正确．
答案 ①③④
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9．因为中国的大学分布在全国各地，大前提
北京大学是中国的大学，小前提
所以北京大学分布在全国各地．结论
(1)上面的推理形式正确吗？为什么？
(2)推理的结论正确吗？为什么？
解 (1)推理形式错误．
大前提中的M是“中国的大学”它表示中国的所有大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．
(2)由于推理形式错误，故推理的结论错误．
10．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，证明|c|≤1，并分析证明过程中的三段论．
证明 ∵|x|≤1时，|f(x)|≤1.
x＝0满足|x|≤1，
∴|f(0)|≤1，又f(0)＝c，∴|c|≤1.
证明过程中的三段论分析如下：
大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；
小前提是|0|≤1；
结论是|f(0)|≤1.
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11．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系是________．
解析 当0a＝∈(0,1)，
∴函数f(x)＝()x为减函数
故由f(m)>f(n)，得m答案 m12．(2010·陕西)下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是( )
A．幂函数 B．对数函数
C．指数函数 D．余弦函数
答案 C
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1．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件( )
A．a2C．a2>b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
解析 若∠A为钝角，由余弦定理知cosA＝<0，∴b2＋c2－a2<0.
答案 C
2．设数列{an}为等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是{an}的前n项和，则( )
A．S4C．S6解析 ∵a2＋a8＝－6＋6＝0，∴a5＝0，又公差d>0，∴S5＝S4.
答案 B
3．在△ABC中，“·>0”是“△ABC为锐角三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 由A·A>0?∠A为锐角，而角B，C并不能判定，反之若△ABC为锐角三角形，一定有A·A>0.
答案 B
4．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图像关于直线x＝对称，则φ可能是( )
A. B．－
C. D.π
解析 由题意知，sin(＋φ)＝±1，
∴当φ＝时，sin(＋)＝sin＝1.
答案 C
5．已知a，b，c是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题：
①a∥b，b∥α，则a∥α；②a，b?α，a∥β，b∥β，则α∥β；③a⊥α，a∥β，则α⊥β；④a⊥α，b∥α，则a⊥b.其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①因为a∥b，b∥α?a∥α，或a?α，所以①不正确．
②因为a，b?α，a∥β，b∥β，当a与b相交时，才能α∥β，所以②不正确．
③a∥β，过a作一平面γ，设γ∩β＝c，则c∥a，又a⊥α?c⊥α?α⊥β，所以③正确．
④a⊥α，b∥α?a⊥b，所以④正确．
综上知③，④正确．
答案 B
6．a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )
A．a＋b＋≥2
B．(a＋b)(＋)≥4
C.≥a＋b
D.≥
解析 特殊值法，取a＝1，b＝4，则D不成立．
答案 D
7．p＝＋，q＝·，(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p与q的大小关系为________．
解析 p2＝ab＋cd＋2，
q2＝(ma＋nc)(＋)
＝ab＋＋＋cd
≥ab＋cd＋2
∴q2≥p2，∴p≤q.
答案 p≤q
8．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
解析 x2＋mx＋4<0?m<－x－，
∵y＝－(x＋)在(1,2)上单调递增，
∴－(x＋)∈(－5，－4)，
∴m≤－5.
答案 m≤－5
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9．求证：ac＋bd≤·.
证明 (1) 当ac＋bd<0时，
ac＋bd≤·显然成立．
(2) 当ac＋bd≥0时，
要证ac＋bd≤·成立，
只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)成立，
只需证2abcd≤a2d2＋b2c2
只需证(ad－bc)2≥0成立．
而(ad－bc)2≥0显然成立．
∴ac＋bd≤·成立，
综上所述ac＋bd≤·成立．
10．在△ABC中，若a2＝b(b＋c)，求证：A＝2B.
证明 因为a2＝b(b＋c)，
所以a2＝b2＋bc.
由余弦定理得
cosA＝＝
＝.
又因为cos2B＝2cos2B－1＝2()2－1
＝2()2－1＝
＝＝，
所以cosA＝cos2B.
又因为∠A，∠B是三角形的内角，
所以∠A＝2∠B.
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11．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D.
解析 ∵a>0，b>0,3a·3b＝()2，
∴a＋b＝1，
∴＋＝＋＝1＋＋＋1
≥2＋2＝4.
答案 B
12．如下图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：
(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
证明 (1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知，EF∥BC，∵EF?平面ABC而BC?平面ABC，
∴EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1，又A1D?平面A1B1C1，
∴A1D⊥CC1，又A1D⊥B1C，
CC1∩B1C＝C，又CC1，B1C?平面BB1C1C，∴A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，∴平面A1FD⊥平面BB1C1C.
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1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )
①结论相反的判断，即假设 ②原命题的条件 ③公理、定理、定义等 ④原结论
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③
答案 C
2．如果两个实数之和为正数，那么这两个数( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．两个都是非负数
D．至少有一个是正数
答案 D
3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为( )
A．a<0，b<0，c>0 B．a≤0，b>0，c>0
C．a，b，c不全是正数 D．abc<0
答案 C
4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解 B．有两个解
C．至少有两个解 D．至少有三个解
答案 D
5．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
解析 ∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋＋b＋＋c＋
＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)
≥2＋2＋2＝6.
由此可断定三个数a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.
答案 C
6．命题“在△ABC中，A＞B，则a>b”，用反证法证明时，假设是________．
解析 命题的结论是a>b，假设应是“a≤b”．
答案 a≤b
7．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．
答案 a≠1或b≠1
8．求证：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
证明 假设方程f(x)＝0在[a，b]上至少有两个实根α，β，即f(α)＝f(β)＝0，
∵α≠β，不妨设α>β，
又∵f(x)在[a，b]上单调递增，
∴f(α)>f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾，
∴f(x)＝0在[a，b]上至多有一个实根．
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9．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
解 设三个方程均无实根，则有
解得∴－所以当a≥－1，或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根．
10．如果非零实数a，b，c两两不相等，且2b＝a＋c.
证明：＝＋不成立．
证明 假设＝＋成立，则＝＝，
∴b2＝ac.
又∵b＝，∴()2＝ac，即a2＋c2＝2ac，即(a－c)2＝0，∴a＝c，这与a，b，c两两不相等矛盾，
∴＝＋不成立．
11．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；
(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
解 (1)如右图，取CD的中点G，连接MG，NG，
∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
∵平面ABCD⊥平面DCEF，
∴MG⊥平面DCEF.
∴MG⊥GN.
∴MN＝＝.
(2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB?平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN.
由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB?平面DCEF.
又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF.
∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF，
∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，
故假设不成立．
∴ME与BN不共面，它们是异面直线．
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1.用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)”，在验证n＝1时，左边计算所得的项为( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
解析 当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.
答案 C
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．1 B．4
C．5 D．6
解析 当n＝1时，2>2不成立；
当n＝4时，24>42＋1不成立；
当n＝5时，25>52＋1成立；
当n＝6时，26>62＋1成立．
答案 C
3．下列代数式中，n∈N*，可能被13整除的是( )
A．n3＋5n B．34n＋1＋52n＋1
C．62n－1＋1 D．42n＋1＋3n＋2
解析 验证n＝1时，由各代数式的值知A，C不可能，在D中43＋33＝91＝13×7.故选D.
答案 D
4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步归纳假设应写成( )
A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时，命题成立
B．假设n＝2k－1(k∈N*)时，命题成立
C．假设n＝2k(k∈N*)时，命题成立
D．假设n＝k(k∈N*)时，命题成立
解析 ∵当k∈N*时，2k－1表示正奇数，故选B.
答案 B
5．某个与正整数有关的命题，如果n＝k(k∈N*且k≥1)时，命题成立，那么一定可推得当n＝k＋1时，命题也成立，现已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )
A．当n＝6时，该命题不成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝4时，该命题成立
解析 用反证法知，假设n＝4时命题成立，则由题意知k＝5时命题成立，这与已知相矛盾，故n＝4时，命题不成立．
答案 C
6．利用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>时，由k递推到k＋1左边应添加的因式是( )
A. B.＋
C.－ D.
解析 f(k＋1)－f(k)＝＋＋…＋＋－(＋＋…＋)＝＋－＝－.
答案 C
7．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即
1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.
则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②知，对任意n∈N*，等式成立．
上述证明中的错误是________．
解析 由证明过程知，在证从n＝k到n＝k＋1时，直接用的等比数列前n项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的．
答案 没有用上归纳假设
8．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
解析 观察不等式中分母的变化便知．
答案 ＋＋…＋＋>－
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9．证明不等式
××…×<(n∈N*)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝，右边＝，显然<，不等式成立．
(2)假设n＝k时，不等式成立，即××…×<，
则n＝k＋1时，
××…××<×＝，
要证n＝k＋1时，不等式成立，只要<成立．
即证(2k＋1)(2k＋3)<(2k＋2)2
即证4k2＋8k＋3<4k2＋8k＋4.
该不等式显然成立．
即n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)知，对任意的正整数n，不等式成立．
10．已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，n∈N*.
(1)猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；
(2)证明：|xn＋1－xn|≤()n－1.
解 (1)由x1＝及xn＋1＝，得x2＝，x4＝，x6＝，
由x2>x4>x6猜想：数列{x2n}是递减数列．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1,2时，x2＝>x4＝，命题成立．
(2)假设当n＝k时命题成立，即x2k>x2k＋2.
易知xn>0，那么x2k＋2－x2k＋4＝－＝
＝>0，
即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.
也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．
综合(1)和(2)知，命题成立．
(2)证明：当n＝1时，|xn＋1－xn|＝|x2－x1|＝，结论成立；
当n≥2时，易知0∴1＋xn－1<2，xn＝>.
∴(1＋xn)(1＋xn－1)＝(1＋)(1＋xn－1)
＝2＋xn－1≥.
∴|xn＋1－xn|＝|－|
＝≤|xn－xn－1|
≤()2|xn－1－xn－2|≤…≤()n－1|x2－x1|
＝()n－1.
