技能演练
基 础 强 化
1．设C＝{复数}、A＝{实数}、B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下列结论正确的是( )
A．A∪B＝C B．?UA＝B
C．A∩?UB＝? D．B∪?UB＝C
答案 D
2．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z∈R的充要条件是( )
A．a＋bi＝a－bi B．a＋bi＝－a＋bi
C．ab＝0 D．a＝b＝0
答案 A
3．若(x2－x)＋(x－1)i是纯虚数，则实数x的值为( )
A．1或0 B．1
C．0 D．以上都不对
答案 C
4．如果(x＋y)i＝x－1，那么实数x，y的值为( )
A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0
答案 A
5．(－1)i的实部是( )
A. B．1
C．－1 D．0
答案 D
6．若x，y∈R，且z＝x＋yi是虚数，则有( )
A．x＝0，y∈R B．x≠0，y∈R
C．x∈R，y＝0 D．x∈R，y≠0
答案 D
7．下列命题：
①ab＝0，则a＝0，或b＝0；
②a2＋b2＝0，则a＝0，且b＝0；
③z＝a＋bi(a，b∈R)，z为纯虚数的充要条件是a＝0；
④z＝a＋bi(a，b∈R)，若z＞0，则a＞0，b＝0.
其中正确命题的序号是__________．
答案 ①④
8．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为__________．
解析 由4－3a－a2i＝a2＋4ai，
得解得a＝－4.
答案 －4
能 力 提 升
9．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，求实数m的值．
解 由题意得
∴
解得m＝4.
10．求适合方程xy－(x2＋y2)i＝2－5i的实数x，y的值．
解 由复数相等的充要条件得
解得或或或
11．已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，求实数m的值．
解 设x＝a为方程的一个实数根．
则有a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0.
∵a，m∈R，由复数相等的充要条件，
得解得
故实数m的值为.
12．已知z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ，若z1＝z2，试求θ的值．
解 ∵z1＝z2，∴
∴解得θ＝2kπ＋(k∈Z)．
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基 础 强 化
1．下面四个式子中，正确的是( )
A．3i>2i B．|2＋3i|>|1－4i|
C．|2－i|>2i4 D．i2>－i
解析 在复数集内，虚数与实数，虚数与虚数没有大小关系，所以A、D不正确．在B中，|2＋3i|＝＝，|1－4i|＝＝，∵<，∴B不正确．在C中，|2－i|＝，而2i4＝2，而>2，∴C正确．
答案 C
2．复数z＝i，复平面内z的对应点的坐标为( )
A．(0,1) B．(1,0)
C．(0,0) D．(1,1)
答案 A
3．复数z＝|z|的充要条件是( )
A．z为纯虚数 B．z为实数
C．z是正实数 D．z是非负实数
答案 D
4．复数z＝＋i2对应点在复平面( )
A．第一象限内 B．第四象限内
C．实轴上 D．虚轴上
答案 C
5．两个不相等的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，b∈R)，若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则a，b，c，d之间的关系为( )
A．a＝－c，b＝d B．a＝－c，b＝－d
C．a＝c，b＝－d D．a≠c，b≠d
解析 z1＝a＋bi的对应点P1(a，b)，z2＝c＋di的对应点P2(c，d)，∵P1与P2关于y轴对称，∴a＝－c，b＝d.
答案 A
6．已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．两点 D．线段
解析 由|z|2－3|z|＋2＝0，
得(|z|－1)(|z|－2)＝0，
∴|z|＝1，或|z|＝2.
由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆．
答案 B
7．复数2－3i对应的点在哪条直线上( )
A．y＝x B．y＝－x
C．3x＋2y＝0 D．2x＋3y＝0
解析 复数2－3i对应点的坐标z(2，－3)，满足方程3x＋2y＝0，∴点z在直线3x＋2y＝0上．
答案 C
8．复数z＝3＋4i对应的向量所在直线的斜率为________．
答案
能 力 提 升
9．已知复数z＝x－2＋yi的模为2，求点(x，y)的轨迹方程(x，y∈R)．
解 由题意可得|z|＝2，
即＝2，
∴(x－2)2＋y2＝8，
故点(x，y)的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝8.
10．当实数m取何值时，在复平面内与复数z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i对应点满足下列条件？
(1)在第三象限；
(2)在虚轴上；
(3)在直线x－y＋3＝0上．
解 复数z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应点的坐标为Z(m2－4m，m2－m－6)．
(1)点Z在第三象限，则
解得
∴0
(2)点Z在虚轴上，则
解得m＝0，或m＝4.
(3)点Z在直线x－y＋3＝0上，
则(m2－4m)－(m2－m－6)＋3＝0，
即－3m＋9＝0，∴m＝3.
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11．若复数(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
解析 ∵(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，
∴解得x＝－1.
答案 A
12．已知0A．(1,5) B．(1,3)
C．(1，) D．(1，)
解析 |z|＝，∵0∴1＜a2＋1＜5，∴1＜＜.
答案 C
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基 础 强 化
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
答案 B
2．(5－i)－(3－i)－5i等于( )
A．5i B．2－5i
C．2＋5i D．2
答案 B
3．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于( )
A．0 B．2i
C．6 D．6－2i
答案 D
4．|(3＋2i)－(4－i)|等于( )
A. B.
C．2 D．－1＋3i
解析 |(3＋2i)－(4－i)|＝|－1＋3i|＝.
答案 B
5．复平面内两点Z1和Z2分别对应于复数3＋4i和5－2i，那么向量对应的复数为( )
A．3＋4i B．5－2i
C．－2＋6i D．2－6i
解析 ＝－，即终点的复数减去起点的复数，∴(5－2i)－(3＋4i)＝2－6i.
答案 D
6．(－＋3i)＋(－2i)－[(－2i)＋(＋2i)]＝________.
答案 －2＋i
7．若(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，则实数x＝________，y＝________.
解析 原式可化为3y－10yi－2x＋xi＝1－9i，
即(3y－2x)＋(x－10y)i＝1－9i.
由复数相等的充要条件得
∴
答案 1 1
8．平行四边形顶点A，B，C所对应的复数分别为i,1,4＋2i(A，B，C，D按逆时针方向排列)；
(1)向量B对应的复数为________；
(2)向量B对应的复数为________；
(3)向量B对应的复数为________；
(4)D点坐标是________．
解析 A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，设D(x，y)，
由A＝B，得
(x，y－1)＝(3,2)，
∴x＝3，y＝3，∴D(3,3)．
(1)B对应的复数为－1＋i.
(2)B对应的复数为(4＋2i)－1＝3＋2i.
(3)B对应的复数为(3＋3i)－1＝2＋3i.
答案 (1)－1＋i
(2)3＋2i
(3)2＋3i
(4)(3,3)
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9．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求x＋yi.
解 ∵z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i，
又z1＋z2＝5－6i，
∴∴
∴x＋yi＝2＋8i.
10．在复平面内A、B、C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
解 (1)∵＝－，
∴对应的复数为(2＋i)－1＝1＋i，
同理对应的复数为
(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.
对应的复数为(－1＋2i)－1＝－2＋2i.
(2)∵||＝，||＝，||＝，
∴||2＋||2＝||2.
∴△ABC为直角三角形．
(3)由(2)知，△ABC的面积为S△＝××＝2.
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11．在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵<2<π，∴sin2>0，cos2<0，所以复数z＝sin2＋icos2对应的点位于第四象限．
答案 D
12．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
解析 由得a＝2.
答案 B
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基 础 强 化
1．在复平面内，复数z＝对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 z＝＝＝－i，∵点(，－)在第四象限，∴复数z对应的点在第四象限．
答案 D
2．复数的值是( )
A.i B．－i
C．i D．－i
解析 ＝＝i.
答案 A
3.等于( )
A．－i B.i
C．－i D．i
解析 ＝＝＝－i.
答案 C
4.等于( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
解析
＝
＝＝－i(1＋2i)
＝2－i.
答案 C
5．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是( )
A．－15 B．－3
C．3 D．15
解析 ＝
＝－1＋3i＝a＋bi，
∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3.
答案 B
6．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 (m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，由此复数为实数，得n2－m2＝0，即n＝±m，故所求的概率为P＝＝.
答案 C
7．复数z满足方程i＝1－i，则z＝________.
解析 ·i＝1－i，∴＝＝＝－i(1－i)＝－1－i，∴z＝－1＋i.
答案 －1＋i
8．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
解析 a＋bi＝＝1＋i，
∴a＋b＝1＋1＝2.
答案 2
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9．定义运算＝ad－bc，复数z满足＝1＋i，求z.
解 由题意知，＝i·z－i＝1＋i，∴iz＝1＋2i，∴z＝＝2－i.
10．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C，若O＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解 由题意知，A，B，C三点在复平面内的坐标分别为(－1,2)，(1，－1)，(3，－4)，
∵O＝λ＋μ，
∴(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)．
∴解得
∴λ＋μ＝1.
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11．(2011·全国)复数的共轭复数是( )
A．－i B.i
C．－i D．i
解析 ∵＝
＝＝i，
∴的共轭复数是－i.
答案 C
12．(2011·湖南)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝－1，b＝－1
D．a＝1，b＝－1
解析 ∵(a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i.又a，b∈R，
∴a＝1，b＝－1.
答案 D
