第一章测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．两个变量x与y的回归模型中分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是( )
A．模型1的相关指数R2为0.98
B．模型2的相关指数R2为0.80
C．模型3的相关指数R2为0.50
D．模型4的相关指数R2为0.25
答案 A
2．下列结论正确的是( )
①函数关系是一种确定性关系；
②相关关系是一种非确定性关系；
③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法
④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
答案 C
3．下列有关线性回归的说法不正确的是( )
A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图
C．线性回归直线得到具有代表意义的回归直线方程
D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程
答案 D
4．预报变量的值与下列哪些因素有关( )
A．受解释变量的影响与随机误差无关
B．受随机误差的影响与解释变量无关
C．与总偏差平方和有关与残差无关
D．与解释变量和随机误差的总效应有关
答案 D
5．“回归”一词是研究子女身高与父母身高之间的遗传关系时由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子的身高y与父亲的身高x的回归方程＝a＋bx中，b( )
A．在(－1,0)内 B．等于0
C．在(0,1)内 D．在(1,10)内
解析 由题设知，b>0，且b<1.
答案 C
6．为研究变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线l1和l2，两人计算知相同，也相同，下列说法正确的是( )
A．l1与l2重合
B．l1与l2平行
C．l1与l2交于点(，)
D．无法判定l1与l2是否相交
解析 由线性回归方程必过样本中心(，)知，应选C.
答案 C
7．在回归分析中，残差图中的纵坐标为( )
A．残差 B．样本编号
C. D.n
答案 A
8．身高与体重的关系可以用( )来分析( )
A．残差分析 B．回归分析
C．二维条形图 D．独立检验
答案 B
9．对于P(K2>k)，当k>2.706时，就约有( )的把握认为“x与y有关系”( )
A．99% B．95%
C．90% D．以上都不对
答案 C
10．在2×2列联表中，两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，那么这两个比值为( )
A.与 B.与
C.与 D.与
解析 由2×2列联表，二维条形图知，与相差越大，两个分类变量有相关关系的可能性越大．
答案 A
11．变量x、y具有线性相关关系，当x的取值为8,12,14,16时，通过观测知y的值分别为5,8,9,11，若在实际问题中，y的预报值最大是10，则x的最大取值不能超过( )
A．16 B．15
C．17 D．12
解析 因为x＝16时，y＝11；当x＝14时，y＝9，所以当y的最大值为10时，x的最大值应介于区间(14,16)内，∴选B.
答案 B
12．为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生，得到下面列联表：
数学
物理
85～100分
85分以下
合计
85～100分
37
85
122
85分以下
35
143
178
合计
72
228
300
现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为( )
A．0.5% B．1%
C．2% D．5%
解析 由表中数据代入公式得
K2＝
≈4.514>3.84，
∴有95%的把握认为数学成绩与物理成绩有关，因此判断出错率为5%.
答案 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)
13．已知一个回归方程为＝1.5x＋4.5，x∈{1,5,7,13,19}，则＝________.
解析 ＝9，∴＝1.5×9＋4.5＝18.
答案 18
14．如果由一个2×2列联表中的数据计算得k＝4.073，那么有__________的把握认为两变量有关系，已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.
解析 ∵K2＝k＝4.071>3.841，又P(K2≥3.841)≈0.05，
∴有95%的把握认为两变量有关系．
答案 95%
15．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P(K2≥3.918)≈0.05，对此，四名同学作出了以下的判断：
p：有95%的把握认为“能起到预防感冒的作用”；
q：如果某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒：
r：这种血清预防感冒的有效率为95%；
s：这种血清预防感冒的有效率为5%.
则下列结论中，正确结论的序号是__________．(把你认为正确的都填上)
(1)p∧綈q； (2)綈p∧q；
(3)(綈p∧綈q)∧(r∨s)； (4)(p∨綈r)∧(綈q∨s)．
解析 由题意，K2≈3.918，P(K2≥3.918)≈0.05，所以只有第一位同学判断正确．即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”由真值表知(1)，(4)为真命题．
答案 (1)(4)
16．有甲乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表：
优秀
不优秀
总计
甲班
10
35
45
乙班
7
38
45
总计
17
73
90
利用列联表的独立性检验估计，则成绩与班级________(填有关或无关)
解析 成绩与班级有无关系，就是看随机变量的值与临界值2.706的大小关系．由公式得
K2＝＝0.653<2.706，
∴成绩与班级无关系．
答案 无关
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)某高校调查询问了56名男女大学生在课余时间是否参加运动，得到下表所示的数据．从表中数据分析，有多大把握认为大学生的性别与参加运动之间有关系．
参加运动
不参加运动
合计
男大学生
20
8
28
女大学生
12
16
28
合计
32
24
56
解 由表中数据得a＝20，b＝8，c＝12，d＝16，a＋b＝28，a＋c＝32，b＋d＝24，c＋d＝28，n＝a＋b＋c＋d＝56.
∴K2＝≈4.667.
∵4.667>3.841，
∴有95%的把握认为大学生的性别与参加运动之间有关系．
18．(12分)抽测了10名15岁男生的身高x(单位：cm)和体重y(单位：kg)，得到如下数据：
x
157
153
151
158
156
159
160
158
160
162
y
45.5
44
42
46
44.5
45
46.5
47
45
49
(1)画出散点图；
(2)你能从散点图中发现身高与体重近似成什么关系吗？
(3)如果近似成线性关系，试画出一条直线来近似的表示这种关系．
解 (1)散点图如下图所示：
(2)从散点图可知，当身高增加时，体重也增加，而且这些点在一条直线附近摆动，因此身高与体重线性相关．
(3)作出直线如上图所示．
19．(12分)为了调查某生产线上，某质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：质量监督员甲在现场时，990件产品中合格品982件，次品8件；甲不在现场时，510件产品中合格品493件，次品17件．试分别用列联表、独立性检验的方法对数据进行分析．
解 (1)2×2列联表如下：
合格品数
次品数
总数
甲在现场
982
8
990
甲不在现场
493
17
510
总数
1475
25
1500
由列联表看出|ac－bd|＝|982×17－493×8|＝12750，即可在某种程度上认为“甲在不在场与产品质量有关”．
(2)由2×2列联表中数据，计算
K2＝＝13.097>10.828
所以约有99.9%的把握认为“质量监督员甲在不在现场与产品质量有关”．
20．(12分)某班5名学生的数学和物理成绩如表：
学生
学科
A
B
C
D
E
数学成绩(x)
88
76
73
66
63
物理成绩(y)
78
65
71
64
61
(1)画出散点图；
(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；
(3)一名学生的数学成绩是96分，试预测他的物理成绩．
解 (1)散点图如下图所示：
(2)＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2.
＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054.
＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.
∴＝≈0.625.
∴＝－＝67.8－0.625×73.2＝22.05.
∴y对x的线性回归方程是
＝0.625x＋22.05.
(3)当x＝96，
则＝0.625×96＋22.05≈82.
所以预测他的物理成绩是82分．
21．(12分)某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：
积极参加
班级工作
不太主动参
加班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
合计
24
26
50
(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？
(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由？
解 (1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人．概率为＝；不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，概率为.
(2)由表中数据可得
K2＝＝
≈11.5>10.828
∴有99.9%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
22．(12分)研究“刹车距离”对于安全行车及分析交通事故责任都有一定的作用，所谓“刹车距离”就是指行驶中的汽车，从刹车开始到停止，由于惯性的作用而又继续向前滑行的一段距离．为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得的数据如表：
刹车时的车速(km/h)
0
10
20
30
40
50
60
刹车距离(m)
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
7.8
(1)以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；
(2)观察散点图，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；
(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5m，请推测刹车时的速度为多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
解 (1)散点图如图表示：
(2)由图像，设函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将(0,0)，(10,0.3)(20,1.0)代入，得
解得a＝0.002，b＝0.01，c＝0.
所以，函数的表达式为
y＝0.002x2＋0.01x(0≤x≤140)．
经检验，表中其他各值也符合此表达式．
(3)当y＝46.5时，即0.002x2＋0.01x＝46.5，
所以x2＋5x－23250＝0.
解得x1＝150，x2＝－155(舍去)．
故可推测刹车时的速度为150 km/h，而150>140，
因此发生事故时，汽车属于超速行驶．
第三章测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题正确的是( )
A．复数的模是正实数
B．虚轴上的点与纯虚数一一对应
C．实部与虚部分别互为相反数的两个复数是共轭复数
D．相等的向量对应着相等的复数
解析 复数的模可能为0，故A错．虚轴上原点对应的复数不是纯虚数，故B错．实部相等，虚部互为相反数的两个复数为共轭复数，故C错，D正确．
答案 D
2.＝( )
A．－2＋4i B．－2－4i
C．2＋4i D．2－4i
解析 ＝＝＝－2＋4i.
答案 A
3．(2010·福建)i是虚数单位，()4等于( )
A．i B．－i
C．1 D．－1
解析 ∵＝＝＝i，
∴()4＝i4＝1.
答案 C
4．复数z＝＋(a2＋2a－3)i(a∈R)为纯虚数，则a的值为( )
A．a＝0 B．a＝0，且a≠－1
C．a＝0，或a＝－2 D．a≠1，或a≠－3
解析 依题意得
解得a＝0，或a＝－2.
答案 C
5．复数的值是( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
解析 ＝＝－1.
答案 A
6．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于( )
A．2i B．i
C．－i D．－2i
解析 设z＝bi(b∈R，且b≠0)，
则＝＝
＝[(2－b)＋(2＋b)i]．
∵∈R，
∴2＋b＝0，b＝－2.
∴z＝－2i.
答案 D
7．设z是复数，α(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，α(i)＝( )
A．8 B．6
C．4 D．2
解析 由已知得α(i)＝in＝1，
∴n的最小正整数为4.
答案 C
8．(2010·陕西)复数z＝在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 z＝＝
＝(i＋1)＝＋i.
∴复数z的对应点在第一象限．
答案 A
9．复数－＝( )
A．0 B．2
C．－2i D．2i
解析 －
＝＋
＝i＋i＝2i.
答案 D
10．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
解析 依题意知，＝zi＋z＝4＋2i，
∴z(1＋i)＝4＋2i.
∴z＝＝(2＋i)(1－i)＝3－i.
答案 A
11．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是方程z2＝－3＋4i的一个根，则z等于( )
A．1±2i B．－1±2i
C．1＋2i，或－1－2i D．2＋i，或－2－i
解析 若按复数相等的充要条件去解方程组，计算量很大，本题可采用验证的方法．∵(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝－3＋4i，∴z＝1＋2i或－1－2i.
答案 C
12．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2
C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|
解析 ∵z＝x＋yi，(x，y∈R)，
则＝x－yi，∴z－＝2yi，
∴|z－|＝|2y|≥2y，故A、C错．
又z2＝x2－y2＋2xyi≠x2＋y2，故B错．因此，正确答案为D.
答案 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．复数的共轭复数是________．
解析 ＝＝＝－i.
∴共轭复数为＋i.
答案 ＋i
14．若z1＝1＋i，z1·2＝2，则z2＝__________.
解析 ∵z1＝1＋i，z1·2＝2，
∴2＝＝1－i.
∴z2＝1＋i.
答案 1＋i
15．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部是________．
解析 (z1－z2)i
＝[4＋29i－(6＋9i)]i
＝(－2＋20i)i
＝－20－2i.
∴(z1－z2)i的实部是－20.
答案 －20
16．若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，|z1－z2|＝2，则|z1＋z2|＝________.
解析 由复数及模的几何意义知，以z1，z2对应向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1＋z2|＝|z1－z2|＝2.
答案 2
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)要使复数z＝a2－a－6＋i为纯虚数，实数a是否存在？若存在求出a的值；若不存在说明理由．
解 若z为纯虚数，则
由①解得a＝3，或a＝－2，
分别代入②都不合题意，所以不存在使z为纯虚数的实数a.
18．(12分)已知复数z1满足(z1－2)i＝1＋i，复数z2的虚部为2，且z1·z2为实数，求z2.
解 由(z1－2)i＝1＋i得，
z1－2＝＝(1＋i)(－i)＝1－i，
∴z1＝3－i.
依题意可设z2＝x＋2i(x∈R)，
则z1·z2＝(3－i)(x＋2i)＝3x＋2＋(6－x)i为实数，
∴x＝6，∴z2＝6＋2i.
19．(12分)复平面内关于原点对称的两点对应的复数为z1，z2，且满足3z1＋(z2－2)i＝2z2－(1＋z1)i，求z1，z2的值．
解 设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝－a－bi，
∴3z1＋(z2－2)i＝2z2－(1＋z1)i.
∴3(a＋bi)＋(－a－bi－2)i＝2(－a－bi)－(1＋a＋bi)i，
即(3a＋b)＋(3b－a－2)i＝(－2a＋b)－(2b＋a＋1)i，
∴
解得a＝0，b＝，∴z1＝i，z2＝－i.
20．已知1＋i是实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个根.
(1)求a，b的值；
(2)试判断1－i是否是方程的根．
解 (1)∵1＋i是方程x2＋ax＋b＝0的根，
∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝0，
即(a＋b)＋(a＋2)i＝0，
∴∴
∴a，b的值分别为a＝－2，b＝2.
(2)方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程
左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i－2＋2i＋2
＝0显然方程成立．
∴1－i也是方程的一个根．
21．(12分)设w＝－＋i，
(1)求证：1＋w＋w2＝0；
(2)计算：(1＋w－w2)(1－w＋w2)．
解 (1)证明 ∵w＝－＋i，
∴w2＝(－＋i)2
＝＋2(－)(i)＋(i)2
＝－i－＝－－i.
∴1＋w＋w2＝1－＋i－－i＝0.
(2)由1＋w＋w2＝0知，
(w－1)(1＋w＋w2)＝0，
∴w3－1＝0，∴w3＝1.
∴(1＋w－w2)(1－w＋w2)
＝(－2w2)(－2w)
＝4w3＝4.
22．设z1，z2∈C，
(1)求证：|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2；
(2)设|z1|＝3，|z2|＝5，|z1＋z2|＝6，求|z1－z2|.
解 (1)证明 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则|z1＋z2|2＋|z1－z2|2
＝|(a＋c)＋(b＋d)i|2＋|(a－c)＋(b－d)i|2
＝(a＋c)2＋(b＋d)2＋(a－c)2＋(b－d)2
＝2a2＋2c2＋2b2＋2d2
＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)，
又2|z1|2＋2|z2|2＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)，
故|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2.
(2)∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2，
∴62＋|z1－z2|2＝2×32＋2×52.
∴|z1－z2|2＝68－36＝32.
∴|z1－z2|＝4.
第二章测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若实数a，b满足b>a>0，且a＋b＝1，则下列四个数最大的是( )
A．a2＋b2 B．2ab
C. D．a
答案 A
2．下面使用类比推理正确的是( )
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)·c＝ac＋bc”类推出“(a·b)·c＝ac·bc”
C．“(a＋b)·c＝ac＋bc”类推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”
解析 由类比出的结果正确知，选C.
答案 C
3．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③④
C．①②④ D．②④
答案 C
4．下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数，y＝()x是指数函数，所以y＝()x在(0，＋∞)上是增函数．
该结论显然是错误的，其原因是( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．以上都可能
解析 大前提是：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数，这是错误的．
答案 A
5．已知c>1，a＝－，b＝－，则正确的结论是( )
A．a>b B．a
C．a＝b D．a，b大小不定
解析 a＝－＝，b＝－＝，∵＋>＋，∴a答案 B
6．函数y＝ax2＋1的图像与直线y＝x相切，则a＝( )
A. B.
C. D．1
解析 ∵y＝ax2＋1，∴y′＝2ax，设切点为(x0，y0)，则?a＝.
答案 B
7．求证：＋>.
证明：因为＋和都是正数，
所以为了证明＋>，
只需证明(＋)2>()2，
展开得5＋2>5，即2>0，
显然成立，
所以不等式＋>.
上述证明过程应用了( )
A．综合法
B．分析法
C．综合法、分析法配合使用
D．间接证法
答案 B
8．若a，b，c均为实数，则下面四个结论均是正确的：
①ab＝ba；②(ab)c＝a(bc)；
③若ab＝bc，b≠0，则a－c＝0；
④若ab＝0，则a＝0或b＝0.
对向量a，b，c，用类比的思想可得到以下四个结论：
①a·b＝b·a；②(a·b)c＝a(b·c)；③若a·b＝b·c，b≠0，则a＝c；④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.
其中结论正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 由向量数量积的性质知，只有①正确，其它均错．
答案 B
9．设S(n)＝＋＋＋＋…＋，则( )
A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝＋
B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
C．S(n)共有n2－n项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
D．S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
解析 由分母的变化知S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋.
答案 D
10．已知f(x)＝sin(x＋1)－cos(x＋1)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2011)＝( )
A．2 B.
C．0 D．－
解析 f(x)＝2[sin(x＋1)－cos(x＋1)]＝2sinx.周期T＝6，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，
f(2011)＝f(335×6＋1)＝f(1)＝2sin＝.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…f(2011)＝.
答案 B
11．观察下表：
1 2 3 4…第一行
2 3 4 5…第二行
3 4 5 6…第三行
4 5 6 7…第四行
? ? ? ?
第一列 第二列 第三列 第四列
根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为( )
A．2n－1 B．2n＋1
C．n2－1 D．n2
解析 观察数表可知，第n行第n列交叉点上的数依次为1,3,5,7，…，2n－1.
答案 A
12．对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：
(a，b)＝(c，d)当且仅当a＝c，b＝d；运算“?”为：
(a，b)?(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“⊕”为：
(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)．设p、q∈R，若(1,2)?(p，q)＝(5,0)，则(1,2)⊕(p，q)等于( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－4)
解析 由运算的定义知(1,2)?(p，q)＝(p－2q,2p＋q)＝(5,0)，
∴解得
∴(1,2)?(p，q)＝(1,2)?(1，－2)＝(2,0)．
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)
13．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_________________________________________________________
_______________________________________________________”．
答案 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补
14．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是________．
解析 假设这两个方程都没有实数根，则
即
即
∴－2故两个方程至少有一个有实数根，a的取值范围是a≤－2或a≥－1.
答案 (－∞，－2]∪[－1，＋∞)
15．已知数列{an}，a1＝，an＋1＝，则a2，a3，a4，a5分别为______________，猜想an＝________.
解析 ∵a1＝，an＋1＝，
∴a2＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝，
…
猜想an＝.
答案 ，，，
16．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为________．
解析 等式左边从n项起共有(2n－1)项相加，右边为(2n－1)2，∴n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
证明 假设|f(1)|<，|f(2)|<，|f(3)|<，
于是有－<1＋a＋b<， ①
－<4＋2a＋b<， ②
－<9＋3a＋b<. ③
①＋③得－1<10＋4a＋2b<1，
∴－3<8＋4a＋2b<－1.
∴－<4＋2a＋b<－.
由②知，－<4＋2a＋b<，
矛盾，故假设不成立．
∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
18．(12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．
(1) 求证：四边形的内角和等于360°.
证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.
(2) 已知和都是无理数，试证：＋也是无理数．
证明：依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以＋必是无理数．
(3) 已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实根．
证明：假设方程x2＋2x＋5－m2＝0有实根．由已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，解得－2解 (1) 犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．
(2) 使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．
(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．
19．(12分)证明：若a>0，则 －≥a＋－2.
证明 ∵a>0，要证 －≥a＋－2，
只需证 ＋2≥a＋＋，
只需证( ＋2)2≥(a＋＋)2，
即证a2＋＋4＋4≥a2＋＋4＋2(a＋)，
即证 ≥(a＋)，
即证a2＋≥(a2＋＋2)，
即证a2＋≥2，
即证(a－)2≥0，
该不等式显然成立．
∴ －≥a＋－2.
20．(12分)已知数列{an}和{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn.
求证：数列{cn}不是等比数列．
证明 假设{cn}是等比数列，则c1，c2，c3成等比数列．设{an}，{bn}的公比分别为p和q且p≠q，则a2＝a1·p，a3＝a1p2，b2＝b1q，b3＝b1q2.
∵c1，c2，c3成等比数列，
∴c＝c1·c3，
即(a2＋b2)2＝(a1＋b1)(a3＋b3)．
∴(a1p＋b1q)2＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)．
∴2a1b1pq＝a1b1p2＋a1b1q2.
∴2pq＝p2＋q2，∴(p－q)2＝0.
∴p＝q与已知p≠q矛盾．
∴数列{cn}不是等比数列．
21．(2010·江苏)如右图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离．
解 (1)∵PD⊥平面ABCD，
BC?平面ABCD，∴PD⊥BC.
由∠BCD＝90°，得BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.
∵PC?平面PDC，∴BC⊥PC，即PC⊥BC.
(2)连接AC.设点A到平面PBC的距离为h，
∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°.
从而由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1，
由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P－ABC的体积V＝S△ABC·PD＝.
∵PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，
∴PD⊥DC，又PD＝DC＝1.
∴PC＝＝.
由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝，
由V＝S△PBC·h＝··h＝，得h＝.
因此，点A到平面PBC的距离为.
22．(12分)已知f(x)＝(x≠－，a>0)，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)已知数列{xn}的项满足xn＝[1－f(1)][1－f(2)]…[1－f(n)]，试求x1，x2，x3，x4；
(3) 猜想{xn}的通项公式．
解 (1) 把f(1)＝log162＝，f(－2)＝1，代入函数表达式得
即
解得(舍去a＝－<0)，
∴f(x)＝(x≠－1)．
(2) x1＝1－f(1)＝1－＝
x2＝[1－f(1)][1－f(2)]＝×(1－)＝
x3＝[1－f(3)]＝×(1－)＝，
x4＝×(1－)＝.
(3) 由(2)知，x1＝，x2＝＝，x3＝，x4＝＝，…，由此可以猜想xn＝.
第四章测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列对程序框图的描述，正确的是( )
A．只有一个起点，一个终点
B．只有一个起点，一个或多个终点
C．多个起点，一个或多个终点
D．多个起点，只有一个终点
答案 B
2．用二分法原理求方程x2－2＝0得到的程序为( )
A．工序流程图 B．程序流程图
C．知识结构图 D．组织结构图
答案 B
3．在流程图中，算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的( )
A．处理框内 B．判断框内
C．输入、输出框内 D．循环框内
答案 A
4．下图是一个结构图，在处应填入( )
A．对称性 B．解析式
C．奇偶性 D．图像交换
答案 C
5．要解决下面的四个问题，只用顺序结构画不出其流程图的是( )
A．利用公式1＋2＋…＋n＝，计算1＋2＋…＋10的值
B．当圆面积已知时，求圆的周长
C．当给定一个数x，求其绝对值
D．求函数f(x)＝x2－4x＋5的函数值
答案 C
6．在结构图中，常在表示逻辑先后关系时出现的结构是( )
A．“树”形结构 B．“环”形结构
C．“网”形结构 D．“菱形”结构
解析 由结构图的特征可知，“环”形结构具有表示逻辑先后的功能．
答案 B
7．把病人到医院看病的过程用框图表示，则此框图称为( )
A．工序流程图 B．程序流程图
C．组织流程图 D．程序步骤图
解析 病人到医院看病的过程是一个动态过程，如先挂号，再就诊，检查化验等，所以该问题的解决过程属于程序流程图．
答案 B
8．如下图所示的结构图中，“古典概型”的上位是( )
A．试验 B．随机事件
C．概率统计定义 D．概率的应用
答案 B
9.如图所示流程图中，若a＝－8，则输出结果是( )
A．2 B．－2
C．0 D．10
解析 按流程图顺序，因为a＝－8<0，故输出|－8－2|＝10.
答案 D
10．实数系的结构图，如下图所示，其中①，②，③三个框中的内容分别为( )
A．有理数、零、整数
B．有理数、整数、零
C．零、有理数、整数
D．整数、有理数、零
答案 B
11．(2010·陕西)下图是求x1，x2，…，xn的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )
A．S＝S*(n＋1) B．S＝S*xn＋1
C．S＝S*n D．S＝S*xn
解析 由题意可知，输出的是10个数的乘积，因此，处理框中应是分别计算这10个数相乘，故循环体应为S＝S*xn.
答案 D
12．(2010·浙江)某程序框图如下图所示，若输出的S＝57，则判断框内为( )
A．k>4? B．k>5?
C．k>6? D．k>7?
解析 第一次执行后，k＝2，S＝2×1＋2＝4；
第二次执行后，k＝3，S＝2×4＋3＝11；
第三次执行后，k＝4，S＝2×11＋4＝26；
第四次执行后，k＝5，S＝2×26＋5＝57，此时结束循环，
故判断框中应填k>4？.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)
13．如下图是地球温室效应图，该图是________．(填“结构图”、“流程图”)
解析 该图表述地是动态过程，应填“流程图”．
答案 流程图
14．小明每天起床后要做如下事情：洗漱5分钟，收拾床褥4分钟，听广播15分钟，吃早饭8分钟．要完成这些事情，小明要花费的最少时间为________．
解析 由题意可知在完成洗漱、收拾床褥、吃饭的同时听广播，故小明花费最少时间为4＋5＋8＝17分钟．
答案 17分钟
15．坐标法是解析几何的基本方法，研究曲线性质的过程是：建立坐标系，求曲线的方程，由曲线方程研究曲线的性质，这一过程的流程图为________．
答案
16. 下图是为计算某一表达式而绘制的算法流程图，该表达式可为________．
答案 22＋42＋…＋1002
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)某保险公司业务流程如下：
(1)保户投保：填单交费、公司承保、出具保单；
(2)保户提赔：公司勘查、同意，则赔偿，不同意，则拒赔．
画出该公司业务流程图．
解 保险公司业务流程图如下：
18．(12分)已知函数f(x)＝设计一个输入x值，输出y值的流程图．
解 流程图如下图所示：
19．(12分)网上购物系统是一种具有交互功能的商业信息系统，它在网络上建立一个虚拟的购物商场，使购物过程变得轻松、快捷、方便．网上购物系统分为前台管理和后台管理，前台管理包括浏览商品、查询商品、订购商品、用户注册等功能．后台管理包括公告管理、商品管理、订单管理、投诉管理和用户管理等模块．
根据这些要求画出该系统的结构图．
解 结构图如下：
20．(12分)试画出函数的知识结构图．
解 函数主要研究了概念、性质和图像．如下图：
21．(12分)数列{an}中，a1＝8，a4＝(1＋i)(1－i)(i为虚数单位)，且满足an＋2＝2an＋1－an，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，设计一个程序框图，求Sn.
解 (1) a4＝(1＋i)(1－i)＝1－i2＝2，
∵an＋2＝2an＋1－an，
∴2an＋1＝an＋2＋an，n∈N*.
∴{an}为等差数列，公差d＝＝＝－2，
∴an＝8＋(n－1)(－2)＝－2n＋10.
(2) 由(1)知Sn＝
程序框图如下：
22．(12分)某药厂生产某产品工艺过程：
(1)备料、前处理、提取、制粒、压片、包衣、颗粒分装、包装；
(2)提取环节经检验，合格进入工序，否则返回前处理；
(3)包衣、颗粒分装两环节检验合格进入下工序，否则为废品．
画出生产该产品的工序流程图．
解 该产品工艺流程图如图：
