第一章测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设函数y＝f(x)在(a，b)上可导，则f(x)在(a，b)上为增函数是f′(x)>0的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 y＝f(x)在(a，b)上f′(x)>0?y＝f(x)在(a，b)上是增函数，反之，y＝f(x)在(a，b)上是增函数?f′(x)≥0f′(x)>0.
答案 A
2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是2x＋y－1＝0，则( )
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
解析 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率为f′(x0)＝－2<0.
答案 B
3．曲线y＝x3－2在点(－1，－)处切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．150°
解析 y′＝x2，k＝tanα＝y′|x＝－1＝(－1)2＝1，
∴α＝45°.
答案 B
4．曲线f(x)＝x3＋x－2的一条切线平行于直线y＝4x－1，则切点P0的坐标为( )
A．(0，－1)或(1,0) B．(1,0)或(－1，－4)
C．(－1，－4)或(0，－2) D．(1,0)或(2,8)
解析 设P0(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x＝1，∴x0＝1，或x0＝－1.
∴P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
答案 B
5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝sin2x B．y＝x3－x
C．y＝xex D．y＝－x＋ln(1＋x)
解析 对于C，有y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0.
答案 C
6．已知f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，则 f(x)dx等于( )
A．0 B．4
C．8 D．16
解析 ∵f(x)为偶函数，且(－6,0)与(0,6)关于原点对称，
∴f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx
＝2f(x)dx＝2×8＝16.
答案 D
7．函数f(x)在其定义域内可导，y＝f(x)的图像如右图所示，则导函数y＝f′(x)的图像为( )
解析 由y＝f(x)的图像知，有两个极值点，则y＝f′(x)的图像与x轴应有两个交点，又由增减性知，应选D.
答案 D
8．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x，x∈(－2,2)，则f(x)有( )
A．极大值5，极小值为－27
B．极大值5，极小值为－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
解析 f′(x)＝3x2－6x－9
＝3(x＋1)(x－3)．
当x<－1时，f′(x)>0，
当－1
∴x＝－1是f(x)的极大值点．
且极大值为f(－1)＝5，在(－2,2)内无极小值．
答案 C
9．函数y＝2x3＋x2的单调递增区间是( )
A．(－∞，－)∪(0，＋∞)
B．(－，＋∞)
C．(－∞，－)和(0，＋∞)
D．(－∞，－)
解析 y′＝6x2＋2x＝2x(3x＋1)，
令y′>0，得x<－，或x>0.
∴函数y＝2x3＋x2的单调增区间为
(－∞，－)和(0，＋∞)．
答案 C
10．由抛物线y＝x2－x，直线x＝－1及x轴围成的图形的面积为( )
A. B．1
C. D.
解析 如图所示，阴影部分的面积为S1＝－1(x2－x)dx
＝(x3－x2)
＝.
S2＝(x2－x)dx＝－(x3－x2)＝，
故所求的面积为S＝S1＋S2＝1.
答案 B
11．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝处有极值，则ac＋2b的值为( )
A．－3 B．0
C．1 D．3
解析 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
依题意知，3a×()2＋2b×＋c＝0，
即＋＋c＝0，
∴2b＋ac＝－3.
答案 A
12．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为( )
A.e2 B．4e2
C．2e2 D．e2
解析 f′(x)＝e，∴曲线在点(4，e2)处的切线的斜率为k＝f′(4)＝e2，切线方程为y－e2＝e2(x－4)．切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(2,0)，B(0，－e2)，则切线与坐标轴所围成的三角形OAB的面积为S＝×2×e2＝e2.
答案 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．函数f(x)在R上可导，且f′(0)＝2.?x，y∈R，若函数f(x＋y)＝f(x)f(y)成立，则f(0)＝________.
解析 令y＝0，则有f(x)＝f(x)f(0)
∵f′(0)＝2，∴f(x)不恒为0，∴f(0)＝1.
答案 1
14．积分3x2dx＝________.
解析 3x2dx＝x3＝53－23＝117.
答案 117
15．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2＋2x＋5，则f′(2)＝________.
解析 ∵f′(x)＝x2－2f′(1)x＋2，
∴f′(1)＝1－2f′(1)＋2.
∴f′(1)＝1.
∴f′(x)＝x2－2x＋2.
∴f′(2)＝22－2×2＋2＝2.
答案 2
16．一物体以初速度v＝9.8t＋6.5米/秒的速度自由落下，且下落后第二个4s内经过的路程是________．
解析 (9.8t＋6.5)dx＝(4.9t2＋6.5t)
＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4
＝313.6＋52－78.4－26
＝261.2.
答案 261.2米
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝x3－4x＋m在区间(－∞，＋∞)上有极大值.
(1)求实数m的值；
(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的极小值．
解 f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2，或x＝2.
故f(x)的增区间(－∞，－2)和(2，＋∞)
减区间为(－2,2)．
(1)当x＝－2，f(x)取得极大值，
故f(－2)＝－＋8＋m＝，
∴m＝4.
(2)由(1)得f(x)＝x3－4x＋4，
又当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.
18．(12分)用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．
解 设容器底面宽为xm，则长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m.
由解得0设容器的容积为ym3，则有
y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，
y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，
令y′＝0，即－6x2＋4.4x＋1.6＝0，
解得x＝1，或x＝－(舍去)．
∵在定义域(0,1.6)内只有一个点x＝1使y′＝0，且x＝1是极大值点，
∴当x＝1时，y取得最大值为1.8.
此时容器的高为3.2－2＝1.2m.
因此，容器高为1.2m时容器的容积最大，最大容积为1.8m3.
19．(12分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax(a∈R)．
(1)当a＝1时，求证：f(x)为R上的单调递增函数；
(2)当x∈[1,3]时，若f(x)的最小值为4，求实数a的值．
解 (1)证明：当a＝1时，f(x)＝2x3－6x2＋6x，则f′(x)＝6x2－12x＋6＝6(x－1)2≥0，
∴f(x)为R上的单调增函数．
(2)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a
＝6(x－1)(x－a)
①当a≤1时，f(x)在区间[1,3]上是单调增函数，此时在[1,3]上的最小值为f(1)＝3a－1，
∴3a－1＝4，∴a＝>1(舍去)；
②当1③当a≥3时，f(x)在区间(1，a)上是减函数，故f(3)为最小值，
∴54－27(a＋1)＋18a＝4，
解得a＝<3(舍去)．
综上可知，a＝2.
20．(2010·北京)(12分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两根分别为1,4.
(1)当a＝3，且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
解 由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，得
f′(x)＝ax2＋2bx＋c，∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根分别为1,4，
∴(*)
(1)当a＝3时，由(*)得
解得b＝－3，c＝12.
又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”，等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．
由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)，
解得a∈[1,9]，
即a的取值范围是[1,9]．
21．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图像经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．
(1)求实数a，b的值；
(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图像经过点M(1,4)，
∴a＋b＝4.①
又f′(x)＝3ax2＋2bx，则
f′(1)＝3a＋2b，由条件f′(1)(－)＝－1，
得3a＋2b＝9②
由①、②解得a＝1，b＝3.
(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，
令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0，或x≤－2，
若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则[m，m＋1]?(－∞，－2]∪[0，＋∞)，
∴m≥0，或m＋1≤－2，即m≥0，或m≤－3，
∴m的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)．
22．(2010·全国Ⅰ)(12分)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.
(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；
(2)证明：(x－1)f(x)≥0.
解 (1)f′(x)＝＋lnx－1＝lnx＋，
xf′(x)＝xlnx＋1，
题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于lnx－x≤a.
令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝－1.
当00；
当x≥1时，g′(x)≤0，
x＝1是g(x)的最大值点，
g(x)≤g(1)＝－1.
综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1，
即g(x)＋1≤0，即lnx－x＋1≤0，
当0f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1
＝xlnx＋(lnx－x＋1)≤0；
当x≥1时，
f(x)＝lnx＋(xlnx－x＋1)
＝lnx＋x(lnx＋－1)
＝lnx－x(ln－＋1)≥0.
所以(x－1)f(x)≥0.
第三章测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题正确的是( )
A．复数的模是正实数
B．虚轴上的点与纯虚数一一对应
C．相等的向量对应着相等的复数
D．实部与虚部分别互为相反数的两个复数是共轭复数
解析 复数的模可能为0，故A错．虚轴上原点对应的复数不是纯虚数，故B错．复数可以用向量表示，相等的向量对应的复数也相等，故C正确．实部相等，虚部互为相反数的两个复数为共轭复数，故D错．
答案 C
2.＝( )
A．－2＋4i B．－2－4i
C．2＋4i D．2－4i
解析 ＝＝＝－2＋4i.
答案 A
3．若n是大于2000的奇数，则复数()2n＋()2n的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
解析 ()2n＋()2n
＝()n＋()n
＝(－1)n＋(－1)n＝2(－1)n
∵n是大于2000的奇数，
∴原式＝－2.
答案 B
4．复数z＝＋(a2＋2a－3)i(a∈R)为纯虚数，则a的值为( )
A．a＝0 B．a＝0且a≠－1
C．a＝0或a＝－2 D．a≠1或a≠－3
解析 依题意得
解得a＝0，或a＝－2.
答案 C
5．复数的值是( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
解析 ＝＝－1.
答案 A
6．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于( )
A．2i B．i
C．－i D．－2i
解析 设z＝bi(b∈R，且b≠0)，
则＝＝
＝[(2－b)＋(2＋b)i]．
∵∈R，
∴2＋b＝0，b＝－2，
∴z＝－2i.
答案 D
7．设z是复数，α(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，α(i)＝( )
A．8 B．6
C．4 D．2
解析 由已知得α(i)＝in＝1，
∴n的最小正整数为4.
答案 B
8．(2010·陕西)复数z＝在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 z＝＝
＝(i＋1)＝＋i.
∴复数z的对应点在第一象限．
答案 A
9．复数－＝( )
A．0 B．2
C．－2i D．2i
解析 －
＝＋
＝i＋i＝2i.
答案 D
10．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
解析 依题意知，＝zi＋z＝4＋2i，
∴z(1＋i)＝4＋2i，
∴z＝＝(2＋i)(1－i)＝3－i.
答案 A
11．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是方程z2＝－3＋4i的一个根，则z等于( )
A．1±2i B．－1±2i
C．1＋2i或－1－2i D．2＋i或－2－i
解析 若按复数相等的条件去解方程组，计算很繁，本题可采用验证的方法．∵(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝－3＋4i，∴z＝1＋2i或－1－2i.
答案 C
12．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2
C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|
解析 ∵z＝x＋yi，(x，y∈R)，
则＝x－yi，∴z－＝2yi.
∴|z－|＝|2y|≥2y，故A、C错．
又z2＝x2－y2＋2xyi≠x2＋y2，故B错．因此，正确答案为D.
答案 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．复数的共轭复数是________．
解析 ＝＝＝－i，
∴共轭复数为＋i.
答案 ＋i
14．若z1＝1＋i，z1·2＝2，则z2＝__________.
解析 ∵z1＝1＋i，z1·2＝2，
∴2＝＝1－i.
∴z2＝1＋i.
答案 1＋i
15．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部是________．
解析 (z1－z2)i
＝[4＋29i－(6＋9i)]i
＝(－2＋20i)i
＝－20－2i.
∴(z1－z2)i的实部是－20.
答案 －20
16．若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，|z1－z2|＝2，则|z1＋z2|＝________.
解析 由复数及模的几何意义知，以z1，z2对应向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1＋z2|＝|z1－z2|＝2.
答案 2
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)要使复数z＝a2－a－6＋i为纯虚数，实数a是否存在？若存在求出a的值；若不存在说明理由．
解 若z为纯虚数，则
由①解得a＝3，或a＝－2，
分别代入②都不合题意，所以不存在使z为纯虚数的实数a.
18．(12分)已知复数z1满足(z1－2)i＝1＋i，复数z2的虚部为2，且z1·z2为实数，求z2.
解 由(z1－2)i＝1＋i，得
z1－2＝＝(1＋i)(－i)＝1－i，
∴z1＝3－i.
依题意可设z2＝x＋2i(x∈R)，
则z1·z2＝(3－i)(x＋2i)＝3x＋2＋(6－x)i为实数，
∴x＝6，∴z2＝6＋2i.
19．(12分)已知虚数z满足|z|＝，且(z－a)2＝a，求实数a.
解 设z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则(z－a)2＝(x＋yi－a)2
＝(x－a)2－y2＋2y(x－a)i.
又(z－a)2＝a，|z|＝，
∴
解得a＝－1.
20．(12分)已知1＋i是实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个根.
(1)求a，b的值；
(2)试判断1－i是否是方程的根．
解 (1)∵1＋i是方程x2＋ax＋b＝0的根，
∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝0，
即(a＋b)＋(a＋2)i＝0.
∴∴
∴a，b的值为a＝－2，b＝2.
(2)方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程
左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2
＝－2i－2＋2i＋2
＝0显然方程成立．
∴1－i也是方程的一个根．
21．(12分)设w＝－＋i，
(1)求证：1＋w＋w2＝0；
(2)计算：(1＋w－w2)(1－w＋w2)．
解 (1)证明：∵w＝－＋i，
∴w2＝(－＋i)2
＝＋2(－)(i)＋(i)2
＝－i－
＝－－i，
∴1＋w＋w2＝1－＋i－－i＝0.
(2)由1＋w＋w2＝0知，
(w－1)(1＋w＋w2)＝0，
∴w3－1＝0，∴w3＝1.
∴(1＋w－w2)(1－w＋w2)
＝(－2w2)(－2w)
＝4w3＝4.
22．(12分)设z1，z2∈C，
(1)求证：|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2；
(2)设|z1|＝3，|z2|＝5，|z1＋z2|＝6，求|z1－z2|.
解 (1)证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则|z1＋z2|2＋|z1－z2|2
＝|(a＋c)＋(b＋d)i|2＋|(a－c)＋(b－d)i|2
＝(a＋c)2＋(b＋d)2＋(a－c)2＋(b－d)2
＝2a2＋2c2＋2b2＋2d2
＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)，
又2|z1|2＋2|z2|2＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)，
故|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2.
(2)∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2，
∴62＋|z1－z2|2＝2×32＋2×52.
∴|z1－z2|2＝68－36＝32.
∴|z1－z2|＝4.
第二章测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若实数a，b满足b>a>0，且a＋b＝1，则下列四个数最大的是( )
A．a2＋b2 B．2ab
C. D．a
答案 A
2．下面用“三段论”形式写出的演练推理：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数，y＝()x是指数函数，所以y＝()x在(0，＋∞)上是增函数．
该结论显然是错误的，其原因是( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．以上都可能
解析 大前提是：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数，这是错误的．
答案 A
3．已知c>1，a＝－，b＝－，则正确的结论是( )
A．a>b B．aC．a＝b D．a，b大小不定
解析 a＝－＝，b＝－＝，∵＋>＋，∴a答案 B
4．下面使用类比推理正确的是( )
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)·c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)·c＝ac·bc”
C．“(a＋b)·c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
解析 由类比出的结果应正确知选C.
答案 C
5．函数y＝ax2＋1的图像与直线y＝x相切，则a＝( )
A. B.
C. D．1
解析 ∵y＝ax2＋1，∴y′＝2ax，设切点为(x0，y0)，则?a＝.
答案 B
6．已知f(x)＝sin(x＋1)－cos(x＋1)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2011)＝( )
A．2 B.
C．－ D．0
解析 f(x)＝2[sin(x＋1)－cos(x＋1)]＝2sinx，∴周期T＝6，且f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝2(＋＋0－－＋0)＝0，∴f(2011)＝f(6×335＋1)＝f(1)＝2sin＝.
答案 B
7．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数为( )
A．2k－1 B．2k＋1
C．2k－1 D．2k
解析 当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，所以增加的项数为(2k＋1－1)－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k.
答案 D
8．若数列{an}是等比数列，则数列{an＋an＋1}( )
A．一定是等比数列
B．一定是等差数列
C．可能是等比数列也可能是等差数列
D．一定不是等比数列
解析 设等比数列{an}的公比为q，则
an＋an＋1＝an(1＋q)．
∴当q≠－1时，{an＋an＋1}一定是等比数列；
当q＝－1时，an＋an＋1＝0，此时为等差数列．
答案 C
9．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为：an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数，且a>b)，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无穷多个
解析 假设存在相同的项是第n项，即an＋2＝bn＋1，∴(a－b)n＝－1(a>b，n∈N*)，矛盾．
答案 A
10．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是( )
A．平行四边形的对角线相等
B．正方形的对角线相等
C．正方形是平行四边形
D．以上都不是
解析 大前提②，小前提③，结论①.
答案 B
11．观察下表：
1 2 3 4……第一行
2 3 4 5……第二行
3 4 5 6……第三行
4 5 6 7……第四行
? ? ? ?
? ? ? ?
第一列 第二列 第三列 第四列
根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为( )
A．2n－1 B．2n＋1
C．n2－1 D．n2
解析 观察数表可知，第n行第n列交叉点上的数依次为1,3,5,7，…，2n－1.
答案 A
12．对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)当且仅当a＝c，b＝d；运算“?”为：(a，b)?(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“⊕”为：(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)．设p，q∈R，若(1,2)?(p，q)＝(5,0)，则(1,2)⊕(p，q)等于( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－4)
解析 由(1,2)?(p，q)＝(5,0)，得
?
所以(1,2)⊕(p，q)＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)．
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m，n的大小关系是________．
解析 ab>0?>0?a＋b＋2>a＋b?(＋)2>()2?＋>?>?lg>lg.
答案 m>n
14．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为________．
解析 等式左边从n项起共有(2n－1)项相加，右边为(2n－1)2，∴n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
15．若数列{an}是等差数列，则有数列
{bn}也是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{cn}为等比数列，且cn>0(n∈N*)，则dn＝________时，{dn}也是等比数列．
答案
16．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_______________________________________”．
答案 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知0证法1 (分析法)
要证＋≥9，
∵00，
∴只需证1－a＋4a≥9a(1－a)，
即证1＋3a≥9a(1－a)，
即证9a2－6a＋1≥0，
即证(3a－1)2≥0，
上式显然成立．
∴原命题成立．
证法2 (综合法)
∵(3a－1)2≥0，
即9a2－6a＋1≥0，
∴1＋3a≥9a(1－a)．
∵0∴≥9，
即≥9，
即＋≥9.
证法3 (反证法)
假设＋<9，
即＋－9<0，
即<0，
即<0，
即<0，
而00，
∴(3a－1)2<0，与(3a－1)2≥0相矛盾，
∴原命题成立．
18．(12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．
(1) 求证：四边形的内角和等于360°.
证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.
(2) 已知和都是无理数，试证：＋也是无理数．
证明：依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以＋必是无理数．
(3) 已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实数．
证明：假设方程x2＋2x＋5－m2＝0有实根．由已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，解得－2解 (1) 犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．
(2) 使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．
(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．
19．(12分)已知数列{an}和{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn.
求证：数列{cn}不是等比数列．
证明 假设{cn}是等比数列，则c1，c2，c3成等比数列．设{an}，{bn}的公比分别为p和q，且p≠q，则a2＝a1p，a3＝a1p2，b2＝b1q，b3＝b1q2.
∵c1，c2，c3成等比数列，
∴c22＝c1·c3，
即(a2＋b2)2＝(a1＋b1)(a3＋b3)．
∴(a1p＋b1q)2＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)．
∴2a1b1pq＝a1b1p2＋a1b1q2.
∴2pq＝p2＋q2，∴(p－q)2＝0.
∴p＝q与已知p≠q矛盾．
∴数列{cn}不是等比数列．
20．(12分)证明：若a>0，则 －≥a＋－2.
证明 ∵a>0，要证 －≥a＋－2，
只需证 ＋2≥a＋＋，
只需证( ＋2)2≥(a＋＋)2，
即证a2＋＋4＋4 ≥a2＋＋4＋2(a＋)，
即证 ≥(a＋)，
即证a2＋≥(a2＋＋2)，
即证a2＋≥2，
即证(a－)2≥0，
该不等式显然成立．
∴ －≥a＋－2.
21．(12分)如右图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
(1)证明：PQ∥平面ACD；
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．
解 (1)证明：∵P，Q分别为AE，AB的中点，
∴PQ∥EB，又DC∥EB.
∴PQ∥DC，而PQ?平面ACD，
DC?平面ACD，∴PQ∥平面ACD.
(2)如图，连接CQ，DP，
∵Q为AB的中点，且AC＝BC，
∴CQ⊥AB.
∵DC⊥平面ABC，EB∥DC，∴EB⊥平面ABC.
∴CQ⊥EB，故CQ⊥平面ABE.
由(1)知，PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，
∴四边形CQPD为平行四边形．
∴DP⊥平面ABE.
故∠DAP为AD与平面ABE所成角．
在Rt△DAP中，AD＝，DP＝1，
∴sin∠DAP＝.
因此AD与平面ABE所成角的正弦值为.
22．(12分)已知f(x)＝(x≠－，a>0)，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)已知数列{xn}的项满足xn＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(n))，试求x1，x2，x3，x4；
(3)猜想{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明．
解 (1) 把f(1)＝log162＝，f(－2)＝1，代入函数表达式得
即
解得(舍去a＝－<0)，
∴f(x)＝(x≠－1)．
(2) x1＝1－f(1)＝1－＝，
x2＝(1－f(1))(1－f(2))
＝×(1－)＝，
x3＝(1－f(3))＝×(1－)＝，
x4＝×(1－)＝.
(3) 由(2)知，x1＝，x2＝＝，x3＝，x4＝＝，…，由此可以猜想xn＝.
证明：①当n＝1时，∵x1＝，而＝，∴猜想成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，xn＝成立，
即xk＝，则n＝k＋1时，
xk＋1＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(k))·
(1－f(k＋1))
＝xk·(1－f(k＋1))
＝·[1－]
＝·
＝·＝.
∴当n＝k＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n∈N*，猜想xn＝都成立．
