第一章　因式分解 期末复习学案 （含答案）

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第一章　因式分解
1　因式分解
知识梳理
1.因式分解的概念
把一个　　　　化成几个整式的　　　　的形式,这种变形叫做因式分解.
2.因式分解是否正确可用　　　　　　　来检验,因式分解和　　 _　　是互逆的变形.
3.因式分解必须分解到　　　　　　　为止.
考点梳理：
考点一、 因式分解的定义
[典例1]下列等式从左到右的变形是因式分解的是　(　　)
A.x3-x=x(x-1)
B.x2+6x+9=(x+3)2
C.(2x+3y)(2x-3y)=4x2-9y2
D.x2-y2=(x-y)2
[变式1]下面选项表示多项式4x2+8x+4因式分解结果的是(　　)
A.4x(x+2) B.4(x2+2x)+4
C.(2x+2)2 D.4(x+1)2
点睛：对于因式分解要把握四个要点:
(1)将多项式恒等变形,形式改变但值不改变;
(2)将多项式化为积的形式;
(3)积中的每个因式必须为整式;
(4)分解要彻底.
考点二、 因式分解与整式乘法的关系
[典例2]若关于x的三项式3x2+mx+n因式分解的结果为(3x+2)(x-1),求m,n的值.
[变式2]对于①(x-1)(x+2)=x2+x-2,②x2-2xy=x(x-2y),从左到右的变形,表述正确的是(　　)
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解,②是乘法运算
D.①是乘法运算,②是因式分解
[变式3]因式(m+2n)(m-2n)是下列哪个多项式分解因式的结果(　　)
A.m2+4n2 B.-m2+4n2
C.m2-4n2 D.-m2-4n2
考点三、 因式分解的简单应用
[典例3]21×3.12+62×3.12+17×3.12能被4整除吗 试说明理由.
[变式4]计算93-92-8×92的结果是　　　　.
[变式5]在一块边长为13.2 cm的正方形纸板的四个角上,各剪去一个边长为3.4 cm的正方形,则剩余部分的面积是　　　　cm2.
2　提公因式法
第1课时　用提公因式法因式分解(1)
知识梳理：
1.公因式的概念
多项式中各项都含有的　　　　　　叫做这个多项式各项的公因式.
2.找公因式时,系数取各项的　　　　　　;字母取　　　　　　　;指数取　　　　　　　　　　.
3.如果一个多项式的各项含有　　　　,那么就可以把这个　　 _　　提出来,从而将多项式化成两个因式　　　　的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法.
考点梳理：
公因式的确定
[典例1]9x3y2+12x2y2-6xy3中各项的公因式是　　　　.
[变式1]下列多项式中,公因式是5a2b的是(　　)
A.15a2b-20a2b2
B.30a2b3-15ab4-10a3b2
C.10a2b2-20a2b3+50a4b5
D.5a2b4-10a3b3+15a4b2
[变式2]多项式8x2myn-1-12xmyn中各项的公因式为　　　　.
点睛：
确定一个多项式各项的公因式的方法:①定系数,即确定各项系数的最大公约数;②定字母,即确定各项相同的字母因式;③定指数,即确定各项相同字母因式指数的最小值.
考点二、 提取单项式公因式因式分解
[典例2]确定下列多项式的公因式,并因式分解.
(1)ax+ay;　　　　(2)3mx-6nx2; (3)4a2b+2ab-6ab2.
[变式3]用提公因式法因式分解正确的是(　　)
A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)
B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)
C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)
D.x2y+5xy-y=y(x2+5x)
点睛：
提公因式法分解因式的一般步骤:第一步找出公因式,第二步确定另一个因式,第三步写成积的形式.
考点三、 因式分解的简单应用
[典例3]利用简便方法计算:
(1)5.78×12+47×5.78+5.78×41; (2)5×102 023-102 022.
[变式4]已知矩形的长为a,宽为b,它的周长为24,面积为32.求a2b+ab2的值.
第2课时　用提公因式法因式分解(2)
知识梳理：
1.公因式不仅可以是单项式,还可以是　　　　　.
2.当多项式第一项的系数是负数时,通常先提出　　　,使括号内第一项的系数成为　　　　数.
3.(x-y)2=　　(y-x)2;(x-y)3=　　(y-x)3.
考点梳理：
考点一、 首项系数为负数的多项式的因式分解
[典例1]因式分解:
(1)-24m2x-16n2x=　　　　　　　;
(2)-2x2+18x2y-4xy2=　　　　　　　　;
(3)-m2n+2m2n2-8mna=　　　　　　　　.
[变式1]下列因式分解正确的是(　　)
A.-2a2-3ab-a=-a(2a+3b)
B.-2πr+2πR=-2(πr-πR)
C.-x2-2x=-x(x-2)
D.-5x4+25x2=-5x2(x2-5)
点睛：当多项式第一项的系数是负数时,通常先提出“-”号,使括号内第一项的系数成为正数.在提出“-”号时,多项式的各项都要变号.
考点二、 提取多项式公因式因式分解
[典例2]因式分解:
(1)(x-2y)(2x+3y)-2(2y-x)(5x-y); (2)3x2(x-y)2+6x(y-x)3.
[变式2]因式分解2m(m-n)2-8m2(n-m)的结果为　　　　　 　　　.
点睛：若两个多项式互为相反数,则它们的偶次幂相等,奇次幂互为相反数.
考点三、 利用因式分解进行计算求值
[典例3]先因式分解,再计算求值:4x(m-2)-3x(m-2)2,其中x=1.5, m=6.
[变式3]先因式分解,再计算求值:(a-2)2-6(2-a),其中a=-2.
3　公式法
第1课时　用平方差公式因式分解
知识梳理：
1.a2-b2=　　　　　　.公式中a,b可以是一个数,也可以是一个单项式或者　　　　　.
2.当多项式的各项含有公因式时,通常先　　　 ,再进一步因式分解.
考点梳理：
考点一、 直接运用平方差公式因式分解
[典例1]把下列各式因式分解:
(1)9a2-16b2;　　　　(2)-4a2b2+1; (3)9(a+2b)2-4(a-b)2.
[变式1]下列多项式中能用平方差公式因式分解的是(　　)
A.-a2-b2 B.x2+(-y)2
C.(-x)2+(-y)2 D.-m2+1
点睛：应用平方差公式因式分解时,首先判断所给多项式是否符合(1)整体上为两项;(2)都是平方项;(3)符号相反,共三个条件,然后再“对号入座”套用平方差公式进行因式分解.若形式上不符合,则应通过变形和化简,再使用平方差公式分解因式.
考点二、 先提公因式再运用平方差公式因式分解
[典例2]因式分解:
-x2+2y2;(2)x3y-xy3;(3)(y-1)+x2(1-y).
[变式2]因式分解:3a2(x+y)3-27a4(x+y).
点睛：如果多项式的各项中含有公因式,那么先提取公因式,再运用公式,同时分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
考点三、 利用平方差公式进行简便计算或求值
[典例3]先因式分解,再求值:()2-()2,其中x=-,y=.
[变式3]简便计算:
(1)38.52-36.52; (2)2 0202+2 020-2 0212.
第2课时　用完全平方公式因式分解
知识梳理：
1.a2+2ab+b2=　　　　　　　,a2-2ab+b2=　　　　　　　　　.公式中a,b可以是一个数,也可以是一个单项式或者　　　　　　.
2.形如　　　　　　　　的式子称为完全平方式.
3.当多项式的各项含有公因式时,通常先　　　　 ,再进一步因式分解.
考点梳理：
考点一、 完全平方式　　
[典例1]多项式x2+mx+25是完全平方式,那么m=　　　　.
[变式1]下列二次三项式是完全平方式的是(　　)
A.x2+2x+y2 B.x2+8x+16
C.x2-8x-16 D.x2-4x+16
点睛：完全平方式a2±2ab+b2的特征是:①整体为三项之和;②满足首平方,尾平方,2倍乘积在中央.
考点二、 直接运用完全平方公式因式分解
[典例2]把下列多项式因式分解:
a2+4ab+4b2; (2)9x2-24xy+16y2
[变式2](岳阳)因式分解:
x2+2x+1=　　　　　　.
点睛：运用完全平方公式进行因式分解的关键是判断所需因式分解的多项式是否为完全平方式.若是,结果是“和”的平方,还是“差”的平方,应根据多项式中两数乘积的2倍那一项的系数符号来确定.
考点三、 先提公因式,再用完全平方公式因式分解
[典例3]因式分解:
(1)3x2+6x+3=　　　　　　;
(2)2a3b-4a2b2+2ab3=　　　　　　.
[变式3]因式分解:8a3-8a2+2a=　　　　　　.
点睛：对于三项式的因式分解,要先观察是否含有公因式,若有,一定要先提公因式,再观察能否用完全平方公式因式分解.
知识点四、 利用完全平方式配方求代数式的值
[典例4]已知x+y=1,xy=,求x3y+2x2y2+xy3的值.
[变式4]已知a2-4a+b2+2b+5=0,求a2b-ab2的值.
第3课时　综合运用提公因式法与公式法因式分解
知识梳理：
多项式因式分解的一般步骤
(1)判断多项式有无　　　　,能否运用　　　　法因式分解;
(2)根据多项式的特点选择　　　　　　公式或者　　　　　　公式;
(3)不能直接提公因式或者运用公式时,可将多项式进行　　　　;
(4)因式分解必须分解到　　　　　　　为止.
考点梳理：
考点一、 综合运用提公因式法、公式法因式分解
[典例1]因式分解:
(1)-2a3+12a2-18a; (2)9a2(x-y)+4b2(y-x).
[变式1](桦甸期末)一次课堂练习,小红做了如下四道因式分
解题:
①x2-y2=(x-y)(x+y);②a3-a=a(a2-1);③x2y-xy2=xy(x-y);④2m2+4mn+ 2n2=(2m+2n)2.
(1)小红做错的或不完整的题目是　　　　;(填序号)
(2)把(1)中题目的正确答案写在下面.
点睛：因式分解的一般步骤:首先看有无公因式可提,然后考虑是否可用公式法分解,若是两项可考虑平方差公式,若是三项可考虑完全平方公式,每个因式都要分解到不能再分解为止.即因式分解三步:一提(公因式)、二套(公式)、三看(是否分解彻底).
考点二、 连续运用公式法因式分解
[典例2]因式分解:-4x(x2+1)+4x2.
[变式2]因式分解:x4-y4.
点睛：用公式法分解因式,要注意观察分解后,能否继续运用公式法或提公因式法分解,若能,一定要继续分解,直至分解彻底为止.
考点三、 先进行整式乘法,再因式分解
[典例3]因式分解:(x-1)2+2(x-5).
[变式3](龙凤期中)因式分解:
(1)a2(m-2)+b2(2-m); (2)(x2+2x)(x2+2x+2)+1.
点睛：若代数式不能直接因式分解,需先观察代数式的特点,若有乘法运算,先进行乘法运算,合并同类项后,再进行因式分解.
参考答案
第一章　因式分解
1　因式分解
知识梳理：
1.多项式　积
2.整式的乘法　整式的乘法
3.不能再分解
考点梳理：
[典例1] B
[变式1] D
[典例2] 解:∵(3x+2)(x-1)=3x2-x-2,
∴3x2+mx+n=3x2-x-2,
即m=-1,n=-2.
[变式2] D　
[变式3] C
[典例3] 解:能.理由如下:
　21×3.12+62×3.12+17×3.12
=3.12×(21+62+17)
=312
=78×4.
∴原式能被4整除.
[变式4] 0　
[变式5] 128
2　提公因式法
第1课时　用提公因式法因式分解(1)
知识梳理：
1.相同因式
2.最大公约数　各项都含有的字母　相同字母的最小指数
3.公因式　公因式　乘积
考点梳理：
[典例1] 3xy2
[变式1] A　
[变式2] 4xmyn-1
[典例2] 解:(1)∵ax,ay的公因式为a,
∴ax+ay=a(x+y).
(2)∵3mx,-6nx2的公因式为3x,
∴3mx-6nx2=3x(m-2nx).
(3)∵4a2b,2ab,-6ab2的公因式为2ab,
∴4a2b+2ab-6ab2=2ab(2a+1-3b).
[变式3] C
[典例3] 解:(1)5.78×12+47×5.78+5.78×41
=5.78×(12+47+41)
=5.78×100
=578.
(2)5×102 023-102 022
=50×102 022-102 022
=(50-1)×102 022
=49×102 022
=4.9×102 023.
[变式4] 解:由题意,得2(a+b)=24,ab=32,
则a+b=12,
∴a2b+ab2=ab(a+b)=32×12=384.
第2课时　用提公因式法因式分解(2)
知识梳理：
1.多项式　2.“-”号　正　3.+　-
考点梳理：
[典例1] (1)-8x(3m2+2n2)
(2)-2x(x-9xy+2y2)
(3)-mn(m-2mn+8a)
[变式1] D
[典例2] 解:(1)(x-2y)(2x+3y)-2(2y-x)(5x-y)
=(x-2y)(2x+3y)+2(x-2y)(5x-y)
=(x-2y)[2x+3y+2(5x-y)]
=(x-2y)(2x+3y+10x-2y)
=(x-2y)(12x+y).
(2)3x2(x-y)2+6x(y-x)3
=3x2(x-y)2-6x(x-y)3
=3x(x-y)2(x-2x+2y)
=3x(x-y)2(2y-x).
[变式2] 2m(m-n)(5m-n)
[典例3] 解:原式=x(m-2)[4-3(m-2)]
=x(m-2)(10-3m)=1.5×4×(10-3×6)=-48.
[变式3] 解:(a-2)2-6(2-a)
=(a-2)2+6(a-2)
=(a-2)(a-2+6)
=(a-2)(a+4).
当a=-2时,
原式=(a-2)(a+4)=(-2-2)(-2+4)=-8.
3　公式法
第1课时　用平方差公式因式分解
知识梳理：
1.(a+b)(a-b)　多项式
2.提取公因式
考点梳理：
[典例1] 解:(1)9a2-16b2
　　=(3a)2-(4b)2
　　=(3a+4b)(3a-4b).
(2)-4a2b2+1
=1-4a2b2
=(1+2ab)(1-2ab).
(3)9(a+2b)2-4(a-b)2
=[3(a+2b)]2-[2(a-b)]2
=[3(a+2b)+2(a-b)][3(a+2b)-2(a-b)]
=(3a+6b+2a-2b)(3a+6b-2a+2b)
=(5a+4b)(a+8b).
[变式1] D
[典例2] 解:(1)-x2+2y2
　　=-(x2-4y2)
　　=-[x2-(2y)2]
　　=-(x+2y)(x-2y).
(2)x3y-xy3=xy(x2-y2)=xy(x+y)(x-y).
(3)(y-1)+x2(1-y)
=(y-1)-x2(y-1)
=(y-1)(1-x2)
=(y-1)(1+x)(1-x).
[变式2] 解:3a2(x+y)3-27a4(x+y)
=3a2(x+y)[(x+y)2-9a2]
=3a2(x+y)(x+y-3a)(x+y+3a).
[典例3] 解:()2-()2
=(+)(-)
=xy.
当x=-,y=时,
()2-()2=xy=(-)×=-.
[变式3] 解:(1)38.52-36.52
=(38.5+36.5)(38.5-36.5)
=75×2
=150.
(2)2 0202+2 020-2 0212
=(2 0202-2 0212)+2 020
=(2 020-2 021)×(2 020+2 021)+2 020
=-4 041+2 020
=-2 021.
第2课时　用完全平方公式因式分解
知识梳理：
1.(a+b)2　(a-b)2　多项式
2.a2±2ab+b2　3.提取公因式
考点梳理：
[典例1] ±10　
[变式1] B
[典例2] 解:(1)a2+4ab+4b2
　=a2+2a·2b+(2b)2
　=(a+2b)2.
(2)9x2-24xy+16y2
=(3x)2-2·3x·4y+(4y)2
=(3x-4y)2.
[变式2] (x+1)2
[典例3] (1)3(x+1)2　(2)2ab(a-b)2　
[变式3] 2a(2a-1)2
[典例4] 解:x3y+2x2y2+xy3
=xy(x2+2xy+y2)
=xy(x+y)2.
当x+y=1,xy=时,
x3y+2x2y2+xy3=xy(x+y)2=×12=.
[变式4] 解:∵a2-4a+b2+2b+5=0,
∴(a-2)2+(b+1)2=0,
∴a-2=0,b+1=0,∴a=2,b=-1,
∴a2b-ab2=ab(a-b)=2×(-1)×(2+1)=-6,
∴a2b-ab2的值为-6.
第3课时　综合运用提公因式法
与公式法因式分解
知识梳理：
(1)公因式　提公因式　(2)平方差　完全平方
(3)变形　(4)不能再分解
考点梳理：
[典例1] 解:(1)-2a3+12a2-18a
=-2a(a2-6a+9)
=-2a(a-3)2.
(2)9a2(x-y)+4b2(y-x)
=(x-y)(9a2-4b2)
=(x-y)(3a+2b)(3a-2b).
[变式1] 解:(1)②④
(2)a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1);
2m2+4mn+2n2=2(m2+2mn+n2)=2(m+n)2.
[典例2] 解:-4x(x2+1)+4x2
=[(x2+1)-2x]2
=
=[(x-1)2]2
=(x-1)4.
[变式2] 解:x4-y4
=(x2+y2)(x2-y2)
=(x2+y2)(x+y)(x-y).
[典例3] 解:(x-1)2+2(x-5)
=x2-2x+1+2x-10
=x2-9
=(x+3)(x-3).
[变式3] 解:(1)a2(m-2)+b2(2-m)
=(m-2)(a2-b2)
=(m-2)(a+b)(a-b).
(2)(x2+2x)(x2+2x+2)+1
=(x2+2x)2+2(x2+2x)+1
=(x2+2x+1)2
=(x+1)4.
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