苏教版高中数学必修1：1.1 《集合的含义及其表示（第1课时）》教学教案

1.1 集合的含义及其表示
第一课时 集合的含义
教学目标：
使学生掌握集合的概念和性质，集合的元素特征，有关数的集合；培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力；培养学生认识事物的能力，引导学生爱班、爱校、爱国。
教学重点：
集合的概念，集合元素的三个特征。
教学难点：
集合元素的三个特征，数集与数集关系。
教学方法：
尝试指导法
学生依集合概念的要求、集合元素的特征，在教师指导下，能自己举出符合要求的实例，加深对概念的理解、特征的掌握。
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
师生共同回顾初中代数中涉及“集合”的提法。
［师］同学们回忆一下，在初中代数第六章不等式的解法一节中提到：
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
不等式解集的定义中涉及到“集合”。
Ⅱ.讲授新课
下面我们再看一组实例
幻灯片：
观察下列实例
(1)数组 1，3，5，7；
(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点；
(3)满足 3x－2＞x＋3 的全体实数；
(4)所有直角三角形；
(5)高一(3)班全体男同学；
(6)所有绝对值等于6的数的集合；
(7)所有绝对值小于3的整数的集合；
(8)中国足球男队的队员；
(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员；
(10)参与中国加入WTO谈判的中方成员。
通过以上实例，教师指出：
1.定义
一般地，某些指定对象集在一起就成为一个集合(集)。
［师］进一步指出：
集合中每个对象叫做这个集合的元素。
［师］上述各例中集合的元素是什么？
［生］例(1)的元素为1，3，5，7；
例(2)的元素为到两定点距离的和等于两定点间距离的点；
例(3)的元素为满足不等式3x－2＞x＋3的实数x；
例(4)的元素为所有直角三角形；
例(5)为高一(3)班全体男同学；
例(6)的元素为－6，6；
例(7)的元素为－2，－1，0，1，2；
例(8)的元素为中国足球男队的队员；
例(9)的元素为参加2008年奥运会的中国代表团成员；
例(10)的元素为参与WTO谈判的中方成员。
［师］请同学们另外举出三个例子，并指出其元素。
［生］(1)高一年级所有女同学；
(2)学校学生会所有成员；
(3)我国公民基本道德规范。
其中例(1)的元素为高一年级所有女同学；
例(2)的元素为学生会所有成员；
例(3)的元素为爱国守法、明礼诚信、团结友爱、勤俭自强、敬业奉献。
［师］一般地来讲，用大括号表示集合。
师生共同完成上述例题集合的表示。
如：例(1){1，3，5，7}；
例(2){到两定点距离的和等于两定点间距离的点}；
例(3){3x－2＞x＋3的解}；
例(4){直角三角形}；
例(5){高一(3)班全体男同学}；
例(6){－6，6}；
例(7){－2，－1，0，1，2}；
例(8){中国足球男队队员}；
例(9){参加2008年奥运会的中国代表团成员}；
例(10){参与WTO谈判的中方成员}。
2.集合元素的三个特征
幻灯片：
问题及解释
(1)A＝{1，3}，问3，5哪个是a的元素？
(2)A＝{所有素质好的人}能否表示为集合？
(3)A＝{2，2，4}表示是否准确？
(4)A＝{太平洋，大西洋}，B＝{大西洋，太平洋}是否表示为同一集合？
生在师的指导下回答问题：
例(1)3是集合A的元素，5不是集合A的元素；
例(2)由于素质好的人标准不可量化，故A不能表示为集合；
例(3)的表示不准确，应表示为A＝{2，4}；
例(4)的A与B表示同一集合，因其元素相同。
由此从所给问题可知，集合元素具有以下三个特征：
(1)确定性
集合中的元素必须是确定的，也就是说，对于一个给定的集合，其元素的意义是明确的。
如上例(1)、例(2)，再如{参加学校运动会的年龄较小的人}也不能表示为一个集合。
(2)互异性
集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的。
如上例(3)，再如A＝{1，1，1，2，4，6}应表示为A＝{1，2，4，6}。
(3)无序性
集合中的元素是无先后顺序，也就是说，对于一个给定集合，它的任何两个元素都是可以交换的。
如上例(1)。
［师］元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于”（也可表示为）两种。
如 A＝{2，4，8，16}，4∈A，8∈A ，32A。
请同学们考虑：
A＝{2，4}，B＝{{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}，A与B的关系如何？
虽然A本身是一个集合，
但相对B来讲，A是B的一个元素，
故A∈B。
幻灯片：
3.常见数集的专用符号
N：非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合)
N*或N＋：正整数集（非负整数集N内排除0的集合）
Ｚ：整数集（全体整数的集合）
Q：有理数集（全体有理数的集合）
R：实数集（全体实数的集合）
［师］请同学们熟记上述符号及其意义。
Ⅲ.课堂练习
1.(口答)说出下面集合中的元素
(1){大于3小于11的偶数}； 其元素为 4，6，8，10
(2){平方等于1的数}； 其元素为－1，1
(3){15的正约数}。 其元素为1，3，5，15
2.用符号∈或填空
1∈N 0∈N －3N 0.5N N
1∈Z 0∈Z －3∈Z 0.5Ｚ Ｚ
1∈Q 0∈Q －3∈Q 0.5∈Q Q
1∈R 0∈R －3∈R 0.5∈R ∈R
3.判断正误：
(1)所有在N中的元素都在N*中(×)
(2)所有在N中的元素都在Z中(√)
(3)所有不在N*中的数都不在Z中(×)
(4)所有不在Q中的实数都在R中(√)
(5)由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0(×)
(6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立(√)
Ⅳ.课时小结
1.集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是任意的具体确定的事物，例如数、式、点、形、物等。
2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性，要能熟练运用之。
Ⅴ.课后作业
1.用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：
(1)所有绝对值等于8的数的集合A；
(2)所有绝对值小于8的整数的集合B。
分析：由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在。
解：(1)A＝{绝对值等于8的数}，其元素为：－8，8；
(2)B＝{绝对值小于8的整数}，其元素为：－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7。
2.下列各组对象不能形成集合的是（ ）
A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数 D.函数y＝图象上所有的点
解：综观四个选项，A、C、D的对象是确定的，惟有B中的对象不确定，故不能形成集合的是B。
3.下列条件能形成集合的是（ ）
A.充分小的负数全体 B.爱好飞机的一些人
C.某班本学期视力较差的同学 D.某校某班某一天所有课程
解：综观该题的四个选项，A、B、C的对象不确定，惟有D某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是D.
4.集合A的元素由kx2－3x＋2＝0的解构成，其中k∈R，若A中的元素至多有一个，求k值的范围。
解：由题A中元素即方程kx2－3x＋2＝0(k∈R)的根。
若k＝0，则x＝，知A中有一个元素，符合题设；
若k≠0，则方程为一元二次方程。
当Δ＝9－8k＝0即k＝时，kx2－3x＋2＝0有两相等的实数根，此时A中有一个元素；又当9－8k＜0即k＞时，kx2－3x＋2＝0无解，此时A中无任何元素，即A＝也符合条件。
综上所述 k＝0或k≥。
评述：解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论。其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况。
5.若x∈R，则{3，x，x2－2x}中的元素x应满足什么条件？
解：集合元素的特征说明{3，x，x2－2x}中元素应满足关系式
，即，也就是，
即x≠－1，0，3满足条件。
6.方程 ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，则a＝_______，c＝_______。
解：方程ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，那么、是方程两根，
即有，那么 a＝－6，c＝－1。
7.集合A的元素是由x＝a＋b（a∈Z，b∈Z）组成，判断下列元素x与集合A之间的关系：0，，。
解：因x＝a＋b，a∈Z ，b∈Z，
则当a＝b＝0时，x＝0；
又＝＋1＝1＋，
当a＝b＝1时，x＝1＋；
又＝＋，
当a＝，b＝1时，a＋b＝＋，
而此时Z，故有：A。
故0∈A，∈A，A。
8.小于或等于x的最大整数与不小于x的最小整数之和是15，则x∈____________。
解：若x是整数，则有x＋x＝15，x＝与x是整数相矛盾，若x不是整数，则x必在两个连续整数之间。
设n＜x＜n＋1
则有n＋（n＋1）＝15，2n＝14，n＝7，即7＜x＜8 ∴x∈（7，8）。
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