(共27张PPT)
九下数学同步优质课件
人教版九年级下册
27.2.5 相似三角形的应用列举
学习目标
情景导入
问题引入
知识精讲
典例解析
总结提升
针对练习
达标检测
小结梳理
1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度. (重点)
2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力. (难点)
1.相似三角形的判定：
2.相似三角形的性质：
(1) 通过平行线；
(2) 三边成比例；
(3) 两边成比例且夹角相等；
(4) 两角分别相等.
(1) 对应边成比例，对应角相等；
(2) 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
(3) 相似三角形周长的比等于相似比；
(4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
例1.据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.
例1.据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.
解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF.
又 ∠AOB =∠DFE = 90°
∴△ABO ∽△DEF
∴
∴
因此金字塔的高度为134m.
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
利用相似三角形测量高度
在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，这栋楼的高度是多少？
解：在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，设这栋楼的高度是xm，
依题意得
解得 x=54
答：这栋楼的高度是54m.
例2.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ.
PQ×90=(PQ+45)×60
解得 PQ=90
因此，河宽大约为90m.
解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P
∴△PQR∽△PST
即 ，
如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB.
解：∵ AB⊥BC，CE⊥BC
∴ ∠B=∠C=90° 又 ∠ADB=∠EDC
∴ △ABD∽△ECD
∴
即
解得，AB=100 因此，河宽AB为100m.
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
利用相似三角形测量河宽
例3.如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了
分析：如图，设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB、CD于点H、K.视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角.由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ，观察者都看不到.
解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的
位置点E与两树的顶端A、C恰在一条直线上.
∵ AB⊥l，CD⊥l，
∴ AB∥CD
∴ △AEH∽△CEK
∴
即 ，
解得 EH=8(m)
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C.
1.某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为( )
A.6米 B.7米 C.8.5米 D.9米
D
2.如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则拍击球的高度应h为( )
A.2.7米 B.1.8米 C.0.9米 D.0.6米
A
3.如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高______m.
8
4.如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD，CD⊥BD.且测得AB=1.4m，BP=2.1m，PD=12m.那么该古城墙CD的高度是_____m.
8
5.如图，路灯距离地面8m，身高1.6m的小明站在距离灯的底部(点O)20m的A处，则小明的影子AM长_____m
5
6.如图，一高1m的油桶内有一定量的油，为了测出桶内油的深度，用一根长1.2m的木棒从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.45m，则桶内油的深度为________m.
0.375
7.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,如图，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛到地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求旗杆AB的高度.
解:过点E作EH∥FB，分别交CD、AB于点G、H.根据题意可得，EG=FD=2m，GH=BD=15m，DG= =BH=EF=1.6m.
∴CG=CD-DG=3-1.6=1.4m
EH=EG+GH=2+15=17m
∵CD∥AB
∴△ECG∽△EAH
∴ 即
解得，AH=11.9(m) 因此，旗杆AB的高度为: 11.9+1.6=13.5(m)
8.教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组在阳光下，测得一根长为1m的竹竿的影长为0.9m,但他们马上测树的影长时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图所示.经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面.上的影长为2.7m，落在墙璧上影长为1.2m，请你和他们一起计算一下， 树高为多少
解:根据题意，画出示意图，延长AD、BE相交于C,则CE是无墙壁遮挡时树影长的一部分.
∴ ,即
∴CE=1.08(m)
∴BC=BE+CE=2.7+1.08=3.78(m)
又∵△PQR∽△ABC
∴ ,即
∴AB=4.2(m),即树高为4.2m.
9.李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河,不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子.第一次把镜子放在C点(如图所示)，人在F点正好在镜中看到树尖A;第二次他把镜子放在C′处，人在F′处正好看到树尖A.已知李师傅眼睛距地面的高度为1.7m,量得CC′为12m， CF为1.8m， C′ F′为3.84m,，求树高.
解:由反射定律可推出∠ACB=∠ECF，∠AC′B=∠E′C′F′
又∵∠ABC=∠EFC=90°，∠ABC′=∠E′F′C′=90°
∴△ABC∽△EFC，△ABC′∽△E′F′C′
∴ ,
设AB=xm，BC=ym
这颗古树的高为10m.
解得
谢谢
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