指数函数.对数函数单元训练卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列函数中，既是偶函数，又是上的严格增函数的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．设 ，则 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
3．设，，，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
5．已知幂函数在上单调递减，则的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
6．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
7．世界人口在过去 年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（ ）（参考数据 ， ）
A． B． C． D．
8．是定义在上的偶函数，在任取且，恒有，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的）
9．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．
10．若，则（ ）
A． B． C． D．
11．给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．的否定“”
B．函数（其中，且）的图象过定点
C．当时，幂函数的图象是一条直线
D．若函数，则
12．已知函数（ ）
A．当时，的最小值为
B．当时，的单调递增区间为，
C．若在上单调递增，则的取值范围是
D．若恰有两个零点，则的取值范围是
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知函数是定义在上的奇函数，则____________．
14．若函数且的图象恒过点，则_______．
15．已知函数的值域为，则实数的取值范围是_____．
16．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数x满足，则实数x的取值范围是____________．
四、解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤）
17(本题10分)．（1）计算：；
（2）计算：.
18(本题12分)．已知函数，且．
(1)求函数的定义域和零点；
(2)若，且，求实数的取值范围．
19(本题12分)．已知定义在上的奇函数，当时的解析式为.
(1)求在上的解析式；
(2)求在上的最大值．
20(本题12分)．已知函数.
(1)若函数的最小值为，求实数的值；
(2)若函数，用定义证明函数在上单调递减.
21(本题12分)．已知函数．
(1)求在区间上的最大值；
(2)设函数，其中，若对任意，在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
22(本题12分)．已知函数的表达式为.
(1)若，求函数的值域；
(2)当时，求函数的最小值；
(3)对于（2）中的函数，是否存在实数，同时满足下列两个条件：（i）；（ii）当的定义域为，其值域为；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.指数函数.对数函数单元训练卷参考答案：
1．A
【详解】根据奇偶函数的定义域关于原点对称，故D错；
根据偶函数，则C错；
最后根据上的严格增函数，故B错；
故选：A.
2．B
【详解】因为在定义域上为增函数，且，所以 在区间上有唯一的零点.
故选：B
3．D
【详解】由题意知，，
所以，
故选：D.
4．D
【详解】令，则有或，即函数的定义域为，在上单调递减，在上单调递增，函数在定义域内单调递增，故的单调递增区间为.
故选：D．
5．C
【详解】因为幂函数在上单调递减，
所以且，解得，所以，
则，
令，解得，，
可得的图象过定点.
故选：C.
6．C
【详解】由题知， ，
所以，解得
所以
所以定义域为，
故选：C
7．A
【详解】设40年前人口数为，则现在人口数为，
假设每年的增长率为，
则经过40年增长人口数为 ，即，
， ，
， .
故选::A.
8．C
【详解】由题可知，为偶函数，且当时，单调递增，
则
又，
故，即.
故选：C.
9．AC
【详解】对于A：，故为奇函数，在均为增函数，故在区间上单调递增，所以A正确；
对于B：，，故在区间上不是单调递增，故B错误；
对于C：故为奇函数，在均为增函数，故在区间上单调递增，所以C正确；
对于D：，在区间上单调递减，所以也是递减，故D错误；
故选：AC.
10．BD
【详解】若，则，
令，因为、都为增函数，所以为增函数，所以，
对于A，取，，则，故A错误；
对于B，因为函数为减函数，所以，故B正确；
对于C，因为函数为减函数，所以，故C错误；
对于D，因为函数，所以函数为增函数，
因为，所以，故D正确.
故选：BD.
11．BD
【详解】对于A，的否定“”，故A错误；
对于B，函数（其中，且），当，即时，的图象过定点；故B正确；
对于C，当时，因为无意义，所以幂函数的图象不是是一条直线；故C错误；
对于D，因为函数，
令，
所以，
所以
所以，故D正确.
故选：BD
12．ABD
【详解】解：当时，，则当时，函数在上单调递增，则，
当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
综上，当时，的最小值为，的单调递增区间为，，故A正确，B正确；
在同一坐标系中画出函数与函数的图象，如下图
根据图象可知，要使在上单调递增，则的取值范围是或，故C不正确；
根据上述图象可知，有一个零点0，有两个零点1和3，
所以当时，函数在上没有零点，在上有两个零点1和3；
当时，函数在上有一个零点0，在上有两个零点1和3；
当时，函数在上有一个零点0，在上有一个零点3；
当时，函数在上有一个零点0，在没有零点；
综上，恰有两个零点，则的取值范围是，故D正确.
故选：ABD.
13．
【详解】根据题意，，解得；
当时，，其定义域为，
且，满足为奇函数，故.
故答案为：.
14．1
【详解】因为函数且恒过定点
即即所以.
故答案为：1
15．
【详解】解：若，则，则当时，函数，
当时，，
，的值域是，满足条件.
若，则当时，函数，
要使的值域为，则要求当时，是减函数，
且满足，即，得，此时，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
16．
【详解】解：因为是上的偶函数且在上递增，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
所以.
所以实数x的取值范围是.
故答案为：.
17．（1）4；（2）－
【详解】（1）
（2）
＝－.
18．(1)定义域是，函数的零点是2；
(2)
【详解】（1）函数的定义域是，
令，则，解得：，
∴函数的零点是2；
（2）∵，∴，
∴，∴函数在是增函数，
∵，
∴，解得：．
故m的范围为.
19．(1)；
(2)0.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，
所以，即，
所以，时，，
设，则，
，
又，
，
所以，在上的解析式为；
（2）当，，
令，由，可得，
所以，在上单调递减，
当，即时，，
所以，函数在上的最大值为0.
20．(1)
(2)见解析
【详解】（1）要使函数有意义，则，解得,
,
二次函数的对称轴为，且，
所以函数在单调递增，在单调递减，
又因为，所以在单调递减，在单调递增，
所以，解得.
（2）由(1)得，
所以，
，
单调性证明如下，
且，
=，
因为且，所以
且，即，所以，
即，所以函数在上单调递减.
21．(1)3
(2)
【详解】（1）∵，
又在上单调递增，∴当时，有最大值3．
（2）由题意得，.
因为，，所以在上单调递增，
所以，当时，取得最小值；当时，取得最大值.
所以原题可转化为任意，成立，
即，即，
∴，∴恒成立，
又，则，
∴，即a的取值范围为．
22．(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）当时，由，得，
因为，所以，，
所以函数的值域为.
（2）令，因为，故，函数可转化为
，
①当时，；
②当时，；
③当时，．
综上所述，.
（3）假设满足题意的，存在，
因为，，
所以在上是严格减函数，
所以在上的值域为，
又在上的值域为，所以，即，
两式相减，得，
因为，所以，
而由，可得，与矛盾．
所以，不存在满足条件的实数，．
