第二章 平面解析几何 圆锥曲线基础练习一-2022-2023学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册（含解析）
文档属性
| 名称 | 第二章 平面解析几何 圆锥曲线基础练习一-2022-2023学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-07 08:04:16 | ||
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文档简介
圆锥曲线综合练习题一
一．单选题
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( )
A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线 C．两个点 D．以上答案都不对
2．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（ ）
A．2 B．2或4 C．1或2 D．1
3．焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是
A． B． C． D．
4．已知椭圆：的左 右焦点分别为，，为椭圆上的一个动点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如果是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，F是抛物线C的焦点，若，则
A． B．
C． D．
6．直线与双曲线的交点情况是（ ）
A．恒有一个交点 B．存在m有两个交点
C．至多有一个交点 D．存在m有三个交点
7．如图,在底面半径和高均为的圆锥中, 是底面圆的两条互相垂直的直径,是母线的中点.已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于
A． B． C． D．
8．已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二．多选题
9．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为右焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长 焦距分别为 ，下列结论正确的是（ ）
A．卫星向径的取值范围是
B．卫星运行速度在远地点时最小，在近地点时最大
C．卫星在左半椭圆弧的运行时间小于其在右半椭圆弧的运行时间
D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆
10．已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A． B．
C． D．的坐标为
11．已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（ ）
A． B．E的离心率等于
C．双曲线渐近线的方程为 D．的内切圆半径是
12．设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．|PF1|＋|PF2|＝2
B．离心率e＝
C．△PF1F2面积的最大值为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线相切
三．填空题
13．与点和点连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是______.
14．已知双曲线过点，且以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点能组成一个等边三角形，则双曲线的方程为___________.
15．斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于，两点，则______.
16．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则的最小值为________．
四．解答题
17．设双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程；
18．若点是双曲线上的点，试求该双曲线的实轴长 虚轴长 焦距 焦点坐标 顶点坐标 离心率 渐近线方程.
19．若抛物线的准线与圆相切，求抛物线的准线方程和标准方程．
20．已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，求的最小值．
21．已知椭圆的短轴长为，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是、，且的面积为
（1）求椭圆的方程
（2）若点为椭圆上的任意一点，则求的取值范围
22．已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
（1）求椭圆的方程；
（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线，若切线的斜率都存在，求证：两条切线斜率之积为定值.
圆锥曲线综合练习题一
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( )
A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线 C．两个点 D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】由题意，根据方程，解方程组，即可得到结论．
【详解】由题意，方程，可得，解得或，
所以方程表示的曲线是两个点或，故选C．
【点睛】本题主要考查了曲线与方程问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（ ）
A．2 B．2或4 C．1或2 D．1
【答案】B
【解析】由题意，得到，结合抛物线方程，即可求出结果.
【详解】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，
所以，即，代入抛物线方程可得，
整理得，解得或.
故选：B.
3．焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题目要求解的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且焦点在y轴上可知，设双曲线的方程为，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质，求解出的值，即可求出答案．
【详解】由题意知，设双曲线的方程为，化简得．
解得．
所以双曲线的方程为，故答案选A．
【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可设为，若，则双曲线的焦点在x轴上，若，则双曲线的焦点在y轴上．
4．已知椭圆：的左 右焦点分别为，，为椭圆上的一个动点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及椭圆的定义，结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解.
【详解】由，得，，即，
由椭圆的定义可知，,
在中，由余弦定理得，可得
，解得.
所以的面积为.
故选：B.
5．如果是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，F是抛物线C的焦点，若，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由抛物线性质得 由此能求出结果．
【详解】∵是抛物线上的点，
它们的横坐标依次为，F是抛物线C的焦点，
，
故选B．
【点睛】本题考查抛物线中一组线段和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用．
20．直线与双曲线的交点情况是（ ）
A．恒有一个交点 B．存在m有两个交点
C．至多有一个交点 D．存在m有三个交点
【答案】C
【分析】联立方程组得，当时，无解；当时，有一解．
【详解】将代入得
当时，无解；
当时，，所以至多有一个交点．
故选：C
7．如图,在底面半径和高均为的圆锥中, 是底面圆的两条互相垂直的直径,是母线的中点.已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆锥的性质,建立坐标系,确定抛物线的方程,计算出的长度,结合直角三角形的关系进行求解即可.
【详解】如图所示,
过点作,垂足为.
∵ 是母线的中点,圆锥的底面半径和高均为,
∴ =.
∴ =.
在平面内建立直角坐标系如图.
设抛物线的方程为=.
,为抛物线的焦点.
,∴=.
解得=..
即,
∵ =,=,
∴ 该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为
故选：D
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，解题的关键是建立坐标系，属于中档题.
8．已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线定义得，则利用三角形任意两边之差小于第三边求出的最小值即为.
【详解】由题意得双曲线焦点在轴上，，，，
所以下焦点，设上焦点为，则，
根据双曲线定义：，在上支，
，,
在中两边之差小于第三边，，
,
.
故选：D.
9．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为右焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长 焦距分别为 ，下列结论正确的是（ ）
A．卫星向径的取值范围是
B．卫星运行速度在远地点时最小，在近地点时最大
C．卫星在左半椭圆弧的运行时间小于其在右半椭圆弧的运行时间
D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆
【答案】AB
【分析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案．
【详解】解：A选项，由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，卫星向径的取值范围是，，故A正确；
B选项，因为运行速度是变化的，速度的变化服从卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，故B正确；
C选项，当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的向径更大，根据面积守恒规律，速度更慢，所以卫星在左半椭圆弧的运行时间大于在右半椭圆弧的运行时间，故C不正确；
D选项，卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则越大，椭圆轨道越扁，故D不正确．
故选：AB．
10．已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A． B．
C． D．的坐标为
【答案】AC
【分析】根据抛物线的定义和几何性质求解即可.
【详解】由题可知,由，，
所以，.
故选：AC．
11．已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（ ）
A． B．E的离心率等于
C．双曲线渐近线的方程为 D．的内切圆半径是
【答案】AC
【分析】根据已知条件可得出轴，可判断A项；根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造齐次方程可求解离心率，故可判断B项；结合，得到，即可求得渐近线方程，可判断C项；利用三角形等面积法得到内切圆半径的表达式与有关，故内切圆的半径不是定值，可判断D项错误.
【详解】如图所示，
因为M，O分别是，的中点，所以中，，所以轴，
A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确；
B选项中，中，，，，
所以，得：，故B不正确；
C选项中，由，即，即，即，
所以双曲线的渐近线方程为：，故C正确；
D选项中，的周长为，设内切圆为r，根据三角形的等面积法，有，得：，是与c有关的式子，所以D错误.
故选：AC.
12．设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．|PF1|＋|PF2|＝2
B．离心率e＝
C．△PF1F2面积的最大值为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线相切
【答案】AD
【分析】由椭圆定义可判断A；求出离心率可判断B；当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，求出可判断C；求出圆心到直线距离可判断D.
【详解】对于A，由椭圆的定义可知，故A正确；
对于B，由椭圆方程知，所以离心率，故B错误；
对于C，，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，最大值为，故C错误；
对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为c＝1，圆心到直线的距离为＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线相切，故D正确.
故选：AD.
13．与点和点连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是______.
【答案】 ()
【分析】利用斜率的公式进行求解即可.
【详解】设，则，，
∵动点与定点、的连线的斜率之和为，
∴，∴，即，且，
综上点的轨迹方程是 ().
故答案为： ()
14．已知双曲线过点，且以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点能组成一个等边三角形，则双曲线的方程为___________.
【答案】
【分析】根据以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点能组成一个等边三角形，得到，再根据双曲线过点，代入双曲线方程得到，两者结合求解.
【详解】因为以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点能组成一个等边三角形，
所以，即，
又因为双曲线过点，
所以，
解得，，
所以双曲线方程为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线方程的求法以及双曲线的几何性质，属于基础题.
15．斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于，两点，则______.
【答案】8
【分析】求出直线的方程，设、，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，然后由焦点弦长公式可得结论．
【详解】抛物线的焦点坐标为，直线方程为，设、，则由抛物线焦点弦长公式得：，
又、是抛物线与直线的交点，由得，则，
∴.
故答案为：8.
【点睛】结论点睛：焦点弦的一些性质：抛物线的焦点为，是其过焦点的弦，，则（1）．（2）．（3），．
16．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则的最小值为________．
【答案】6
【分析】可设，可求得与的坐标，利用向量的数量积的坐标公式，结合椭圆的方程即可求得其答案.
【详解】点P为椭圆上的任意一点，设，
依题意得左焦点，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
即，故最小值为6.
【点睛】该题考查的是有关向量数量积的最值的求解问题，涉及到的知识点有椭圆上点的坐标所满足的条件，向量数量积的坐标运算式，椭圆上点的坐标的范围，二次函数在给定区间上的最值问题，属于中档题目.
17．设双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程；
【答案】.
【分析】根据椭圆和双曲线的一个交点坐标，以及双曲线a、b、c的关系列式联立求解或者利用双曲线的定义，即椭圆和双曲线的交点到远焦点的长度减去到近焦点的长度为长轴的两倍，求解即可.
【详解】解法一（待定系数法）：由椭圆方程易知，，并且，椭圆与双曲线的一个交点坐标为，设双曲线方程为，则有双曲线方程为.
解法二（利用双曲线定义求解）；设双曲线方程为，，，，则.
，.故双曲线方程为.
18．若点是双曲线上的点，试求该双曲线的实轴长 虚轴长 焦距 焦点坐标 顶点坐标 离心率 渐近线方程.
【答案】实轴长，虚轴长，焦距为，焦点坐标为，顶点坐标为，离心率.渐近线方程为.
【分析】将点代入双曲线方程得，从而得双曲线的标准方程，得，从而可得解.
【详解】因为点在双曲线上，
所以，解得，
于是双曲线方程为，
即，
所以双曲线的焦点在x轴上，且.
因此实轴长，虚轴长，焦距为，
焦点坐标为，
顶点坐标为，
离心率.
渐近线方程为.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何意义，属于基础题.
19．若抛物线的准线与圆相切，求抛物线的准线方程和标准方程．
【答案】准线方程,标准方程或准线方程,标准方程
【分析】第一步求出圆的圆心与半径，画出切线即可求出抛物线的准线方程，由准线方程求抛物线方程.
【详解】由题意画图如下：
圆化为标准方程，得，
∴圆心为，半径．
当时，抛物线的准线方程为，当时，拋物线的准线方程为．
当时，由，得，解得，
∴抛物线的标准方程为；
当时，由，得，
解得，∴抛物线的标准方程为．
故答案为：准线方程,标准方程或准线方程,标准方程
20．已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，求的最小值．
【答案】
【分析】过点作垂直准线，垂足为，利用抛物线的定义、圆的几何性质结合三点共线可求得的最小值.
【详解】解：抛物线的焦点为，准线为．
圆的圆心为，半径．
过点作垂直准线，垂足为，由抛物线的定义可知，
则，
当、、三点共线时，取最小值，
所以，，因此，的最小值为．
21．已知椭圆的短轴长为，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是、，且的面积为
（1）求椭圆的方程
（2）若点为椭圆上的任意一点，则求的取值范围
【答案】
【分析】由已知条件得出，结合已知条件可得出关于、的方程组，解得的值，可求得椭圆的方程；由已知条件可得，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】由题意可知，，则，的面积为，
由题意可得，解得，所以，椭圆的标准方程为；
由题意可得，，
所以，，
，所以，.
故答案为：；.
【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了利用椭圆的定义求解代数式的取值范围，考查计算能力，属于中等题.
22．已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
（1）求椭圆的方程；
（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线，若切线的斜率都存在，求证：两条切线斜率之积为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由题意可得圆心到直线的距离，从而可得，再由离心率和可求出，进而可求出椭圆的方程；
（2）设点，过点的椭圆的切线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立方程组消去，则由直线与椭圆相切可得，再由判别式可判断此方程两个根，即可得过点的切线有两条，从而由根与系数的关系可得，结合可求得答案
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
圆心到直线的距离，
因为圆的半径为，
所以被圆截得的弦长为，所以.
由题意得，
又，所以，.所以椭圆的方程为.
（2）设点，过点的椭圆的切线的方程为，整理得.
联立，消去，得，
整理得.
因为切线与椭圆相切，
所以，
整理得，，因为，所以.
设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为，，
则.
因为点在圆上，所以，所以.
所以两条切线斜率之积为定值.
一．单选题
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( )
A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线 C．两个点 D．以上答案都不对
2．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（ ）
A．2 B．2或4 C．1或2 D．1
3．焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是
A． B． C． D．
4．已知椭圆：的左 右焦点分别为，，为椭圆上的一个动点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如果是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，F是抛物线C的焦点，若，则
A． B．
C． D．
6．直线与双曲线的交点情况是（ ）
A．恒有一个交点 B．存在m有两个交点
C．至多有一个交点 D．存在m有三个交点
7．如图,在底面半径和高均为的圆锥中, 是底面圆的两条互相垂直的直径,是母线的中点.已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于
A． B． C． D．
8．已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二．多选题
9．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为右焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长 焦距分别为 ，下列结论正确的是（ ）
A．卫星向径的取值范围是
B．卫星运行速度在远地点时最小，在近地点时最大
C．卫星在左半椭圆弧的运行时间小于其在右半椭圆弧的运行时间
D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆
10．已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A． B．
C． D．的坐标为
11．已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（ ）
A． B．E的离心率等于
C．双曲线渐近线的方程为 D．的内切圆半径是
12．设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．|PF1|＋|PF2|＝2
B．离心率e＝
C．△PF1F2面积的最大值为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线相切
三．填空题
13．与点和点连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是______.
14．已知双曲线过点，且以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点能组成一个等边三角形，则双曲线的方程为___________.
15．斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于，两点，则______.
16．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则的最小值为________．
四．解答题
17．设双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程；
18．若点是双曲线上的点，试求该双曲线的实轴长 虚轴长 焦距 焦点坐标 顶点坐标 离心率 渐近线方程.
19．若抛物线的准线与圆相切，求抛物线的准线方程和标准方程．
20．已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，求的最小值．
21．已知椭圆的短轴长为，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是、，且的面积为
（1）求椭圆的方程
（2）若点为椭圆上的任意一点，则求的取值范围
22．已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
（1）求椭圆的方程；
（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线，若切线的斜率都存在，求证：两条切线斜率之积为定值.
圆锥曲线综合练习题一
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( )
A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线 C．两个点 D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】由题意，根据方程，解方程组，即可得到结论．
【详解】由题意，方程，可得，解得或，
所以方程表示的曲线是两个点或，故选C．
【点睛】本题主要考查了曲线与方程问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（ ）
A．2 B．2或4 C．1或2 D．1
【答案】B
【解析】由题意，得到，结合抛物线方程，即可求出结果.
【详解】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，
所以，即，代入抛物线方程可得，
整理得，解得或.
故选：B.
3．焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题目要求解的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且焦点在y轴上可知，设双曲线的方程为，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质，求解出的值，即可求出答案．
【详解】由题意知，设双曲线的方程为，化简得．
解得．
所以双曲线的方程为，故答案选A．
【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可设为，若，则双曲线的焦点在x轴上，若，则双曲线的焦点在y轴上．
4．已知椭圆：的左 右焦点分别为，，为椭圆上的一个动点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及椭圆的定义，结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解.
【详解】由，得，，即，
由椭圆的定义可知，,
在中，由余弦定理得，可得
，解得.
所以的面积为.
故选：B.
5．如果是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，F是抛物线C的焦点，若，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由抛物线性质得 由此能求出结果．
【详解】∵是抛物线上的点，
它们的横坐标依次为，F是抛物线C的焦点，
，
故选B．
【点睛】本题考查抛物线中一组线段和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用．
20．直线与双曲线的交点情况是（ ）
A．恒有一个交点 B．存在m有两个交点
C．至多有一个交点 D．存在m有三个交点
【答案】C
【分析】联立方程组得，当时，无解；当时，有一解．
【详解】将代入得
当时，无解；
当时，，所以至多有一个交点．
故选：C
7．如图,在底面半径和高均为的圆锥中, 是底面圆的两条互相垂直的直径,是母线的中点.已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆锥的性质,建立坐标系,确定抛物线的方程,计算出的长度,结合直角三角形的关系进行求解即可.
【详解】如图所示,
过点作,垂足为.
∵ 是母线的中点,圆锥的底面半径和高均为,
∴ =.
∴ =.
在平面内建立直角坐标系如图.
设抛物线的方程为=.
,为抛物线的焦点.
,∴=.
解得=..
即,
∵ =,=,
∴ 该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为
故选：D
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，解题的关键是建立坐标系，属于中档题.
8．已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线定义得，则利用三角形任意两边之差小于第三边求出的最小值即为.
【详解】由题意得双曲线焦点在轴上，，，，
所以下焦点，设上焦点为，则，
根据双曲线定义：，在上支，
，,
在中两边之差小于第三边，，
,
.
故选：D.
9．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为右焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长 焦距分别为 ，下列结论正确的是（ ）
A．卫星向径的取值范围是
B．卫星运行速度在远地点时最小，在近地点时最大
C．卫星在左半椭圆弧的运行时间小于其在右半椭圆弧的运行时间
D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆
【答案】AB
【分析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案．
【详解】解：A选项，由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，卫星向径的取值范围是，，故A正确；
B选项，因为运行速度是变化的，速度的变化服从卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，故B正确；
C选项，当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的向径更大，根据面积守恒规律，速度更慢，所以卫星在左半椭圆弧的运行时间大于在右半椭圆弧的运行时间，故C不正确；
D选项，卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则越大，椭圆轨道越扁，故D不正确．
故选：AB．
10．已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A． B．
C． D．的坐标为
【答案】AC
【分析】根据抛物线的定义和几何性质求解即可.
【详解】由题可知,由，，
所以，.
故选：AC．
11．已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（ ）
A． B．E的离心率等于
C．双曲线渐近线的方程为 D．的内切圆半径是
【答案】AC
【分析】根据已知条件可得出轴，可判断A项；根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造齐次方程可求解离心率，故可判断B项；结合，得到，即可求得渐近线方程，可判断C项；利用三角形等面积法得到内切圆半径的表达式与有关，故内切圆的半径不是定值，可判断D项错误.
【详解】如图所示，
因为M，O分别是，的中点，所以中，，所以轴，
A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确；
B选项中，中，，，，
所以，得：，故B不正确；
C选项中，由，即，即，即，
所以双曲线的渐近线方程为：，故C正确；
D选项中，的周长为，设内切圆为r，根据三角形的等面积法，有，得：，是与c有关的式子，所以D错误.
故选：AC.
12．设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．|PF1|＋|PF2|＝2
B．离心率e＝
C．△PF1F2面积的最大值为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线相切
【答案】AD
【分析】由椭圆定义可判断A；求出离心率可判断B；当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，求出可判断C；求出圆心到直线距离可判断D.
【详解】对于A，由椭圆的定义可知，故A正确；
对于B，由椭圆方程知，所以离心率，故B错误；
对于C，，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，最大值为，故C错误；
对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为c＝1，圆心到直线的距离为＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线相切，故D正确.
故选：AD.
13．与点和点连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是______.
【答案】 ()
【分析】利用斜率的公式进行求解即可.
【详解】设，则，，
∵动点与定点、的连线的斜率之和为，
∴，∴，即，且，
综上点的轨迹方程是 ().
故答案为： ()
14．已知双曲线过点，且以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点能组成一个等边三角形，则双曲线的方程为___________.
【答案】
【分析】根据以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点能组成一个等边三角形，得到，再根据双曲线过点，代入双曲线方程得到，两者结合求解.
【详解】因为以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点能组成一个等边三角形，
所以，即，
又因为双曲线过点，
所以，
解得，，
所以双曲线方程为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线方程的求法以及双曲线的几何性质，属于基础题.
15．斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于，两点，则______.
【答案】8
【分析】求出直线的方程，设、，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，然后由焦点弦长公式可得结论．
【详解】抛物线的焦点坐标为，直线方程为，设、，则由抛物线焦点弦长公式得：，
又、是抛物线与直线的交点，由得，则，
∴.
故答案为：8.
【点睛】结论点睛：焦点弦的一些性质：抛物线的焦点为，是其过焦点的弦，，则（1）．（2）．（3），．
16．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则的最小值为________．
【答案】6
【分析】可设，可求得与的坐标，利用向量的数量积的坐标公式，结合椭圆的方程即可求得其答案.
【详解】点P为椭圆上的任意一点，设，
依题意得左焦点，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
即，故最小值为6.
【点睛】该题考查的是有关向量数量积的最值的求解问题，涉及到的知识点有椭圆上点的坐标所满足的条件，向量数量积的坐标运算式，椭圆上点的坐标的范围，二次函数在给定区间上的最值问题，属于中档题目.
17．设双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程；
【答案】.
【分析】根据椭圆和双曲线的一个交点坐标，以及双曲线a、b、c的关系列式联立求解或者利用双曲线的定义，即椭圆和双曲线的交点到远焦点的长度减去到近焦点的长度为长轴的两倍，求解即可.
【详解】解法一（待定系数法）：由椭圆方程易知，，并且，椭圆与双曲线的一个交点坐标为，设双曲线方程为，则有双曲线方程为.
解法二（利用双曲线定义求解）；设双曲线方程为，，，，则.
，.故双曲线方程为.
18．若点是双曲线上的点，试求该双曲线的实轴长 虚轴长 焦距 焦点坐标 顶点坐标 离心率 渐近线方程.
【答案】实轴长，虚轴长，焦距为，焦点坐标为，顶点坐标为，离心率.渐近线方程为.
【分析】将点代入双曲线方程得，从而得双曲线的标准方程，得，从而可得解.
【详解】因为点在双曲线上，
所以，解得，
于是双曲线方程为，
即，
所以双曲线的焦点在x轴上，且.
因此实轴长，虚轴长，焦距为，
焦点坐标为，
顶点坐标为，
离心率.
渐近线方程为.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何意义，属于基础题.
19．若抛物线的准线与圆相切，求抛物线的准线方程和标准方程．
【答案】准线方程,标准方程或准线方程,标准方程
【分析】第一步求出圆的圆心与半径，画出切线即可求出抛物线的准线方程，由准线方程求抛物线方程.
【详解】由题意画图如下：
圆化为标准方程，得，
∴圆心为，半径．
当时，抛物线的准线方程为，当时，拋物线的准线方程为．
当时，由，得，解得，
∴抛物线的标准方程为；
当时，由，得，
解得，∴抛物线的标准方程为．
故答案为：准线方程,标准方程或准线方程,标准方程
20．已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，求的最小值．
【答案】
【分析】过点作垂直准线，垂足为，利用抛物线的定义、圆的几何性质结合三点共线可求得的最小值.
【详解】解：抛物线的焦点为，准线为．
圆的圆心为，半径．
过点作垂直准线，垂足为，由抛物线的定义可知，
则，
当、、三点共线时，取最小值，
所以，，因此，的最小值为．
21．已知椭圆的短轴长为，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是、，且的面积为
（1）求椭圆的方程
（2）若点为椭圆上的任意一点，则求的取值范围
【答案】
【分析】由已知条件得出，结合已知条件可得出关于、的方程组，解得的值，可求得椭圆的方程；由已知条件可得，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】由题意可知，，则，的面积为，
由题意可得，解得，所以，椭圆的标准方程为；
由题意可得，，
所以，，
，所以，.
故答案为：；.
【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了利用椭圆的定义求解代数式的取值范围，考查计算能力，属于中等题.
22．已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
（1）求椭圆的方程；
（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线，若切线的斜率都存在，求证：两条切线斜率之积为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由题意可得圆心到直线的距离，从而可得，再由离心率和可求出，进而可求出椭圆的方程；
（2）设点，过点的椭圆的切线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立方程组消去，则由直线与椭圆相切可得，再由判别式可判断此方程两个根，即可得过点的切线有两条，从而由根与系数的关系可得，结合可求得答案
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
圆心到直线的距离，
因为圆的半径为，
所以被圆截得的弦长为，所以.
由题意得，
又，所以，.所以椭圆的方程为.
（2）设点，过点的椭圆的切线的方程为，整理得.
联立，消去，得，
整理得.
因为切线与椭圆相切，
所以，
整理得，，因为，所以.
设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为，，
则.
因为点在圆上，所以，所以.
所以两条切线斜率之积为定值.