第一章 1.1.1 空间向量及其线性运算
人教A版（2019）选择性必修一
1.给出下列命题：
①若将空间中所有的表示单位向量的有向线段的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向．
其中假命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【详解】①假命题．若将空间中所有表示单位向量的有向线段的起点移到同一个点，则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆．②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同．③真命题．向量的相等具有传递性．④假命题．空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等．⑤假命题．零向量的方向是任意的．
2.(多选)下列说法中正确的是( )
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝
D．“模为0”是“一个向量的方向是任意的”的充要条件
【答案】CD
【详解】A不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同．B不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．C正确．D正确．
3．(多选)[福建泉州2021高二期中]已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则与向量相等的向量有( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【详解】如图，
在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，与向量相等的向量有，，，故选BC.
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋＝( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋＝(＋)＋＝＋＝.故选D.
5．(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则下列各式运算结果是的为( )
A.＋＋AA1 B．AA1＋＋
C.＋＋CC1 D.＋＋CC1
【答案】ABC
【详解】选项A中，＋＋＝＋＝；选项B中，＋＋＝＋(＋)＝＋＝；选项C中，＋＋＝＋＝；选项D中，＋＋＝＋(＋)＝＋≠.故选ABC.
6．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
【答案】A
【详解】∵＋＝＋，∴＝.
∴∥且||＝||.
∴四边形ABCD为平行四边形．
7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝( )
A．0 B．3 C．2＋ D．2
【答案】D
【详解】利用向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质，可得|a＋b＋c|＝2||＝2 .
8．已知在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝( )
A．2 B．3
C．3 D．2
【答案】B
【详解】－＋＝＋＝＋2＝3.
9．已知A，B，C，D为空间中任意四点，化简(－)－(－)＝ ．
【答案】0
【详解】方法一(利用相反向量的关系转化为加法运算)：
(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.
方法二(利用向量的减法运算法则求解)：
(－)－(－)＝(－)＋－＝＋－＝－＝0.
10．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝ .
【答案】a－b＋c
【详解】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝＋＝－＋1＝a－b＋c.故答案为a－b＋c.
11．如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点．请化简以下式子，并在图中标出化简结果的向量．
(1)＋－；
(2)－－.
【答案】见详解
【详解】(1)＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量.
(2)－－＝＋＋＝＋＋＝＋＝，如图中向量.
12．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为 ．
【答案】0
【详解】如图，
取BC的中点F，连接DF，则＝.故＋－－＝＋－＋＝＋＋＝0.
【栏目：归纳总结】 对空间向量进行线性运算时，要尽可能地使其转化为平行四边形或三角形中的向量，运用向量加法的平行四边形法则、三角形法则，以及利用三角形的中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量．
13．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，G为BD上一点，BG＝3GD，＝a，＝b，＝c，则＝ ．(用a，b，c表示向量)
【答案】a－b＋c
【详解】＝＋＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝－＋＝a－b＋c.
故答案为a－b＋c.
14．如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则＋(－)＝( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】因为－＝，(－)＝＝，所以＋(－)＝＋＝.故选C.
15．如图，四棱锥P－OABC的底面是矩形，PO⊥底面OABC.设＝a，＝b，＝c，E是PC的中点，则( )
A.＝－a－b＋c
B.＝－a－b＋c
C.＝－a＋b＋c
D.＝－a－b－c
【答案】B
【详解】＝－＝(＋)－(＋)＝－－＋＝－a－b＋c.故选B.
16．下面关于空间向量的说法正确的是( )
A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行
B．若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面
C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面
D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面
【答案】D
【详解】我们可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C都不正确．由向量平行与直线平行的区别，可知A不正确．因为AB，AC，AD是空间中共端点A但不共面的三条线段，所以向量，，不共面．
17．已知非零空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【详解】∵＝＋＝2a＋4b＝2，∴A，B，D三点共线．
18．下列条件中，能说明空间中不重合的A，B，C三点共线的是( )
A.＋＝
B.－＝
C.＝
D．||＝||
【答案】C
【详解】对于空间中的任意向量，都有＋＝，选项A不符合要求；若－＝，则＋＝，而＋＝，据此可知＝，即B，C两点重合，选项B不符合要求；＝，则A，B，C三点共线，选项C符合要求；||＝||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D不符合要求．
19．在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ.若点M，A，B，C共面，则λ＝( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为点M，A，B，C共面，所以＋＋λ＝1，得λ＝.
故选A.
20．已知A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断是否共面
【答案】B
【详解】因为＝＋＋，
所以8＝6＋＋，
6(－)＝(－)＋(－)，
6＝＋，
即＝＋.
故P，A，B，C四点共面，
故选B.
21．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝ ．
【答案】－8
【详解】由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.∵A，B，D三点共线，∴与共线，即存在λ∈R使得＝λ.∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.∵e1，e2不共线，∴得k＝－8.
22．如图所示，M，N分别是空间四边形ABCD的边AB，CD的中点．试判断向量与向量，是否共面．
【答案】见详解
【详解】由题图可得＝＋＋，①
＝＋＋，②
＝－，＝－.因此，①＋②得2＝＋，
即＝＋，故向量与向量，共面．
23．给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b；
③不相等的两个空间向量的模必不相等；
④对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
其中正确命题的序号为 ．
【答案】④
【详解】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；对于②，向量是不能比较大小的，故②错误；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错误；只有④正确．
【栏目：易错警示】
易错把向量类同于数量，导致错误的结论．
24．对于空间中的非零向量，，，有下列各式：
①＋＝；
②－＝；
③||＋||＝||；
④||－||＝||.
其中一定不成立的是 ．(填序号)
【答案】②
【详解】根据空间向量的加减运算法则可知，对于①：＋＝恒成立；对于③：当，，方向相同时，有||＋||＝||；对于④：当，方向相同且与，方向相反时，有||－||＝||.只有②一定不成立．
【栏目：易错警示】
易忽略向量共线时的特殊情形．第一章 1.1.1 空间向量及其线性运算
人教A版（2019）选择性必修一（学生版）
1.给出下列命题：
①若将空间中所有的表示单位向量的有向线段的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向．
其中假命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2.(多选)下列说法中正确的是( )
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝
D．“模为0”是“一个向量的方向是任意的”的充要条件
3．(多选)[福建泉州2021高二期中]已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则与向量相等的向量有( )
A. B.
C. D.
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋＝( )
A. B.
C. D.
5．(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则下列各式运算结果是的为( )
A.＋＋AA1 B．AA1＋＋
C.＋＋CC1 D.＋＋CC1
6．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝( )
A．0 B．3 C．2＋ D．2
8．已知在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝( )
A．2 B．3
C．3 D．2
9．已知A，B，C，D为空间中任意四点，化简(－)－(－)＝ ．
10．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝ .
11．如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点．请化简以下式子，并在图中标出化简结果的向量．
(1)＋－；
(2)－－.
12．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为 ．
13．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，G为BD上一点，BG＝3GD，＝a，＝b，＝c，则＝ ．(用a，b，c表示向量)
14．如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则＋(－)＝( )
A. B.
C. D.
15．如图，四棱锥P－OABC的底面是矩形，PO⊥底面OABC.设＝a，＝b，＝c，E是PC的中点，则( )
A.＝－a－b＋c
B.＝－a－b＋c
C.＝－a＋b＋c
D.＝－a－b－c
16．下面关于空间向量的说法正确的是( )
A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行
B．若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面
C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面
D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面
17．已知非零空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
18．下列条件中，能说明空间中不重合的A，B，C三点共线的是( )
A.＋＝
B.－＝
C.＝
D．||＝||
19．在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ.若点M，A，B，C共面，则λ＝( )
A. B. C. D.
20．已知A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断是否共面
21．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝ ．
22．如图所示，M，N分别是空间四边形ABCD的边AB，CD的中点．试判断向量与向量，是否共面．
23．给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b；
③不相等的两个空间向量的模必不相等；
④对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
其中正确命题的序号为 ．
24．对于空间中的非零向量，，，有下列各式：
①＋＝；
②－＝；
③||＋||＝||；
④||－||＝||.
其中一定不成立的是 ．(填序号)
