圆锥曲线期末单元复习卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．抛物线的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知椭圆的弦的中点坐标为，则直线的方程为
A． B． C． D．
4．过抛物线的焦点的直线的倾斜角为，则抛物线顶点到该直线的距离为（ ）
A． B． C． D．1
5．已知双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段的中点，且，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
7．已知是双曲线的两个焦点，是上的一点，且，经过点，则的虚轴长为（ ）
A． B． C．4 D．2
8．已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为2，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的）
9．下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程是
B．若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是
C．双曲线与椭圆的焦点相同
D．M是双曲线上一点，点是双曲线的焦点，若，则
10．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．以为直径的圆与抛物线的准线相切
B．
C．
D．若直线的倾斜角为，且，则
11．已知等轴双曲线的左、右焦点分别为，，过双曲线C上的一点M作两条渐进线的垂线，垂足分别为P，Q，则（ ）
A．双曲线C的离心率为2
B．直线MP与直线MQ的斜率之积为定值
C．四边形OPMQ面积的最大值为（O为坐标原点）
D．
12．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在使得
B．的最小值为
C．，则的面积为
D．直线与直线斜率乘积为定值
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知椭圆（）的左顶点为，上顶点为，且（为坐标原点），则该椭圆的离心率为__________．
14．已知、为双曲线的两个焦点，、为上关于坐标原点对称的两点，且，若直线的倾斜角为，则的离心率为____．
15．已知的顶点，，顶点C在双曲线上，则的值为________.
16．已知 是椭圆的左 右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则______.
四、解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤）
17(本题10分)．已知椭圆：的短轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，求的最大值．
18(本题12分)．已知分别是双曲线的左、右焦点，点A是C的左顶点，，C的离心率为2.
(1)求C的方程；
(2)直线l与C交于M，N两点（M，N异于双曲线C的左、右顶点），若以为直径的圆经过点A，求证：直线l恒过定点.
19(本题12分)．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A、B，上顶点M与左右顶点连线MA，MB的斜率乘积为，焦距为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点P为椭圆上异于A，B的点，直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作交椭圆于N点，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
20(本题12分)．已知椭圆经过点，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与椭圆C相交于A，B两点，若以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上，求平行四边形OAPB的面积.
21(本题12分)．设、分别为双曲线的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知椭圆的焦点与双曲线的左右顶点重合，且离心率为．直线交椭圆于、两个不同的点，若原点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围．
22(本题12分)．已知抛物线：焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线的准线与轴交于点.
(1)请写出一组满足的点，的坐标；
(2)证明：；
(3)若过点的直线与抛物线交于，两点，点，若，求的面积.圆锥曲线期末单元复习卷参考答案：
1．D
【详解】抛物线的方程可变为，由，则其准线方程为.
故选：D.
2．B
【详解】抛物线的焦点为，
因为双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合，
所以，
故选：B
3．A
【详解】设两点的坐标分别为，
由得，
整理得，可得．
所以直线AB的方程为，即．选A．
4．A
【详解】抛物线的标准方程是，其顶点是，焦点是，
由直线的倾斜角得其斜率是，所以直线的方程是，
则抛物线的顶点到直线的距离为.
故选：.
5．A
【详解】双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为
可得： 可得 ，即
所以双曲线的离心率为： .
故选：A.
6．B
【详解】由题意可知，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，
A为线段的中点，当交点在轴上方或轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图.
根据双曲线可得，，，两条渐近线方程，
，为的中点，
，又A为线段BF1的中点，垂直平分，
可设直线为①，直线为②，直线为③，
由②③得，交点坐标，点还在直线上，，可得，
，所以双曲线C的离心率，
故选：B
7．C
【详解】设，由，得，
因为，则由余弦定理可得
，
解得，
则，即①，
又经过点，
所以②
联立①②，解得，则
所以的虚轴长为
故选:C
8．D
【详解】如图所示：
易知圆的圆心，半径，
抛物线焦点，准线方程，
由抛物线的定义可知：点P到y轴的距离，
所以，
由图可知：当共线，且在线段之间时，最短，
而，故有,
即，解得：.
故选：D
9．ACD
【详解】对于A，抛物线的准线方程是，故A正确，
对于B，当即时，方程表示圆，故B错误，
对于C，双曲线即，与椭圆的焦点均为，故C正确，
对于D，双曲线，顶点为，焦点为，，
，而，则，故D正确，
故选：ACD
10．ACD
【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程是，
由题意知，直线的斜率一定存在，
设其方程为，联立
消去得，
设线段的中点，
所以，
所以点到准线的距离，
所以以为直径的圆与抛物线的准线相切，故A正确；
由韦达定理，得，故B错误；，
所以
，故C正确；
若直线的倾斜角为，且，则点在点左侧，
如图，直线与准线交于点，分别表示点到准线的距离，
则，设，则，
又，
所以，所以，故D正确.
故选:ACD.
11．BD
【详解】因为等轴双曲线，则，渐近线为.
对于A，，故A错误.
对于B，因双曲线C两条渐近线互相垂直，则直线MP与直线MQ互相垂直，故其斜率乘积为，为定值.故B正确.
对于C，由B选项分析可知，可知四边形OPMQ为矩形.又设，
则.
因在双曲线上，故，则，故C错误.
对于D选项，由C选项分析可知.
又.故D正确.
故选：BD
12．BC
【详解】设椭圆短轴上下顶点分别为，，
由题知椭圆：中，，，，
所以，，，，，，
对于A选项，由于，，，
所以的最大角为锐角，故不存在使得，A错误；
对于B选项，记，，则，
由余弦定理：
，
当且仅当时等号成立，B正确；
对于C选项，由于，
由焦点三角形面积公式得到，C正确；
对于D选项，设（），，
则，，，
于是，D错误.
故选：BC.
13．
【详解】因为，所以，，所以离心率为.
故答案为：
14．##
【详解】如图，
∵直线的倾斜角为，∴，
又，∴，可得为正三角形，
由对称性可得，四边形为矩形，得到，
由双曲线定义可得，，
∴，
故答案为：.
15．
【详解】顶点C在双曲线上，则，恰为其两焦点，
则，由正弦定理知
故答案为
16．3
【详解】解：连接,设椭圆的半焦距为，半虚轴为，
,
.
故答案为：3.
17．(1)
(2)
(1)
由题意可得，，解得，
所以，
所以椭圆的方程为；
(2)
设
，
由，得
，
所以当时，．
18．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设双曲线C的焦距为，则.
所以，
又C的离心率，所以，
所以C的方程是.
（2）证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
联立得.
由得
所以，
.
因为以为直径的圆经过点，所以，即
整理得，所以或.
当时，直线l的方程为，所以直线l过左顶点，不符合题意；
当时，直线l的方程为，所以直线l恒过定点.
当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为，
代入，得，所以.
因为，整理得，
解得（舍去），
此时直线l的方程为，直线l也过点.
综上所述，直线l恒过定点.
19．(1)
(2)为定值，定值是2
【详解】（1）已知，．又，
所以．又，解得，可得椭圆C的方程：
（2）设直线AP的方程为：，根据平行则直线ON的方程：
联立直线AP与椭圆C的方程得：，
由，得，
联立直线ON与椭圆C的方程得：，得
所以
，
即为定值，定值是2.
20．(1)；
(2).
【详解】（1）因为椭圆C经过点，代入椭圆方程，
可得，①
又因为椭圆C的离心率为，所以，
从而，②
联立①②，解得，
所以椭圆C的方程为
（2）把代入椭圆方程，得，
当，
即时，设，
则，
所以，
因为四边形是平行四边形，
所以，
所以P点坐标为.
又因为点P在椭圆上，
所以，即，满足.
因为
.
又点O到直线l的距离，
所以平行四边形的面积.
21．(1)
(2)或．
【详解】（1）解：由题意知，焦点坐标为，一条渐近线为，
即，
又因为焦点到渐近线的距离为1，
即，
双曲线的方程为；
（2）解：由（1）得双曲线的顶点，
椭圆的焦点与双曲线的顶点重合，
椭圆半焦距，．
椭圆的离心率为，
，
所以，
所以，
椭圆的方程为：．
设，、，，
由，得．
由
可得或．①
由韦达定理得：，．
原点在以线段为直径的圆的外部，则，
==
解得②
由①、②得实数的范围是或．
22．(1)，时满足；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）当直线轴，显然关于轴对称，此时，
由，若分别在一、四象限，则，满足.
（2）过分别作垂直准线于，如下图示，
所以，轴，
由平行线分线段等比例性质知：，又，
所以，故，
又，
所以.
（3）由题设，可设直线为，代入，令，
所以，则，又，即，
故，则，
所以.
