临沂市高三教学质量检测考试
数学试题参考答案及评分标准
说明：
一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要
考查内容参照评分标准酌情赋分．
二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可
视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如
果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题共 ８ 小题，每小题 ５ 分，共 ４０ 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
１．Ｄ ２．Ｃ ３．Ｂ ４．Ｃ ５．Ａ ６．Ｃ ７．Ｄ ８．Ｂ
二、选择题：本题共 ４ 小题，每小题 ５ 分，共 ２０ 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 ５ 分，部分选对的得 ２ 分，有选错的得 ０ 分．
９．ＢＣ １０．ＡＢＤ １１．ＢＣＤ １２．ＢＤ
三、填空题：本大题共 ４ 小题，每小题 ５ 分，共 ２０ 分．
１３．－６ １４． ５ １５．（－ １ ，０）∪（ １ ，＋∞） １６．ｈ（ｔ）＝ ６０ｓｉｎ（
π ｔ－ π ）＋６８，ｔ∈［０，＋ ） ３０
１３ ２ ２ １５ ２ ∞
（第一空 ３ 分，第二空 ２ 分）
四、解答题：本题共 ６ 小题，共 ７０ 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
１７．（１０ 分）
解：（１）∵ ｆ（ｘ）的图象过点（０，２），即 ｆ（０）＝ ２，∴ ｃ＝ ２．……………………………… １ 分
又 ｆ（－１）＝
－ ＋
ｆ（３），∴ ｆ（ｘ） １ ３图象的对称轴为 ｘ＝ ＝ １， …………………………… ２ 分
２
∴ － ｂ ＝ １，∴ ｂ＝ －２． …………………………………………………………………… ４ 分
２
故 ｆ（ｘ）＝ ｘ２－２ｘ＋２． …………………………………………………………………… ５ 分
（２）不等式 ｆ（ｘ）＜（２ａ－２）ｘ，可化为 ｘ２－２ａｘ＋２＜０． ………………………………… ６ 分
①当 Δ＝ ４ａ２－８≤０，即－ ２≤ａ≤ ２时，不等式 ｘ２－２ａｘ＋２≥０ 恒成立，
此时不等式 ｘ２－２ａｘ＋２＜０ 的解集为 ． ……………………………………………… ７ 分
②当 Δ＝ ４ａ２－８＞０，即 ａ＜－ ２或 ａ＞ ２时，
数学试题答案 第 １ 页（共 ６ 页）
方程 ｘ２－２ａｘ＋２＝ ０ 有两个根为
ｘ ＝ａ－ ａ２１ －２ ，ｘ２ ＝ａ＋ ａ２－２ ， ……………………………………………………… ８ 分
此时不等式 ｘ－２ａｘ＋２＜０ 的解集为｛ｘ ｜ ａ－ ａ２－２ ＜ｘ＜ａ＋ ａ２－２ ｝ ． ………………… ９ 分
综上，当－ ２≤ａ≤ ２时，不等式的解集为 ；
当 ａ＜－ ２或 ａ＞ ２时，不等式的解集为｛ｘ ｜ ａ－ ａ２－２ ＜ｘ＜ａ＋ ａ２－２ ｝ ． …………… １０ 分
１８．（１２ 分）
解：（１） ｆ（ｘ）＝ （ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ）（ｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ）＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ
＝ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ …………………………………………………………… ２ 分
＝ ２ ｓｉｎ（２ｘ＋ π ） ………………………………………………………… ４ 分
４
∴ Ｔ＝ ２π最小正周期 ＝π． …………………………………………………………… ５ 分
２
（２）ｇ（ｘ）＝ ２ ｓｉｎ［２（ｘ－ π ）＋ π ］， …………………………………………………… ７ 分
４ ４
即 ｇ（ｘ）＝ ２ ｓｉｎ（２ｘ－ π ）， …………………………………………………………… ８ 分
４
∵ ０≤ｘ≤ｍ，
∴ －
π≤２ｘ－ π≤２ｍ－ π ． ……………………………………………………………… ９ 分
４ ４ ４
由 ｇ（ｘ）在［０，ｍ］上最小值为 ｇ（０），
∴ ２ｍ－ π≤５π．∴ ｍ≤３π． …………………………………………………………… １０ 分
４ ４ ４
∴ ０＜ｍ≤３π． ………………………………………………………………………… １１ 分
４
３π
即 ｍ 的最大值为 ． ………………………………………………………………… １２ 分
４
１９．（１２ 分）
解：（１）由已知：ｆ ′（ｘ）＝ ａｅｘ＋ｂｃｏｓｘ－２， ……………………………………………… １ 分
∵ 曲线 ｙ＝ ｆ（ｘ）在点（０，ｆ（０））处的切线方程为 ｙ＝ １，
{ ｆ（０）＝ １， ａ＝ １， ａ＝ １，∴ 即 ∴ ……………………………………………… ５ 分ｆ ′（０）＝ ０， { ａ＋ｂ－２＝ ０， { ｂ＝ １．
（２）由（１）知，ｆ ′（ｘ）＝ ｅｘ＋ｃｏｓｘ－２， …………………………………………………… ６ 分
当 ｘ＜０ 时，∵ ｅｘ＜１，ｃｏｓｘ＜１，∴ ｆ ′（ｘ）≤０，∴ ｆ（ｘ）单调递减． ………………………… ８ 分
当 ｘ＞０ 时，令 ｇ（ｘ）＝ ｆ ′（ｘ），则 ｇ ′（ｘ）＝ ｅｘ－ｓｉｎｘ，
∵ ｅｘ＞１，ｓｉｎｘ≤１∴ ｇ ′（ｘ）＞０，
∴ ｆ ′（ｘ）单调递增，∴ ｆ ′（ｘ）＞ｆ ′（０）＝ ０． …………………………………………… １０ 分
∴ 当 ｘ＞０ 时，ｆ（ｘ）单调递增．………………………………………………………… １１ 分
数学试题答案 第 ２ 页（共 ６ 页）
∴ ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｆ（０）＝ １．
∴ ｆ（ｘ）的最小值为 １． ……………………………………………………………… １２ 分
２０．（１２ 分）
１
解：（１）证明：∵ ａｎ＋ ＝ ２Ｓ ，ａ ｎｎ
∴ ｎ≥２ ，Ｓ －Ｓ １当 时 ｎ ｎ－１＋ ＝－ ２Ｓｎ， ……………………………………………… １ 分Ｓｎ Ｓｎ－１
∴ １ ＝－ Ｓｎ
＋Ｓ
Ｓ Ｓ ｎ－１
），
ｎ ｎ－１
∴ Ｓ ２ｎ －Ｓ ２ｎ－１ ＝ １． ……………………………………………………………………… ３ 分
ｎ＝ １ ，ａ ＋ １当 时 １ ＝ ２ａ１，∴ ａ ２１ ＝ １，即 Ｓ ２１ ＝ １， ……………………………………… ４ 分ａ１
故｛Ｓ ２ｎ ｝是首项为 １，公差为 １ 的等差数列， ………………………………………… ５ 分
（２）证明：由（１）知 Ｓ ２ｎ ＝ｎ，Ｓｎ ＝ ｎ ； ………………………………………………… ７ 分
１ ＝ １ ＝ ２ ＜ ２ ＝ ２（ ｎ － ｎ－１ ），…………………………………………… ９ 分
Ｓｎ ｎ ２ ｎ ｎ ＋ ｎ－１
∴ Ｔ ＝ １ ＋ １ ＋ １ ＋…＋ １ｎ ＜２（１－０＋ ２ －１＋ ３ － ２ ＋…＋ ｎ － ｎ－１ ）＝ ２ ｎ ． ……… １１ 分Ｓ１ Ｓ２ Ｓ３ Ｓｎ
即 Ｔｎ＜２ ｎ ．…………………………………………………………………………… １２ 分
２１．（１２ 分）
解：（１）∵ Ａ→Ｂ·Ｂ→Ｃ＝Ａ→Ｂ·（Ａ→Ｃ－Ａ→Ｂ）＝ Ａ→Ｂ·Ａ→Ｃ－ ｜Ａ→Ｂ ｜ ２…………………………………… １ 分
＝ ｜Ａ→Ｂ ｜·｜Ａ→Ｃ ｜·ｃｏｓＡ－４２
＝ ４×ＡＣ× ７ －１６
８
＝ ７ ＡＣ－１６， ………………………………………………………… ２ 分
２
７
由 ＡＣ－１６＝ １２，得 ＡＣ＝ ８． …………………………………………………………… ３ 分
２
∴ ＢＣ２ ＝ＡＢ２＋ＡＣ２－２ＡＢ·ＡＣｃｏｓＡ＝ ２４，………………………………………………… ４ 分
∴ ＢＣ＝ ２ ６ ． …………………………………………………………………………… ５ 分
（２）法一：∵ ｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）＝ １ ，∴ π ＜Ｂ－Ｃ＜ π ，２π＜２（Ｂ－Ｃ）＜π， …………………… ６ 分
４ ３ ２ ３
又 ｃｏｓ２（Ｂ－Ｃ）＝ ２ｃｏｓ２（Ｂ－Ｃ）－１＝ － ７ ，
８
又 ｃｏｓＡ＝ ７ ，０＜Ａ＜ π ，
８ ３
∴ ２（Ｂ－Ｃ）＝ π－Ａ，
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∴ ２（Ｂ－Ｃ）＝ Ｂ＋Ｃ，∴ Ｂ＝ ３Ｃ， ………………………………………………………… ７ 分
∴ Ａ＝π－４Ｃ，
∴ ｃｏｓＡ＝ｃｏｓ（π－４Ｃ）＝ ７ ，
８
∴ ｃｏｓ４Ｃ＝ － ７ ，∴ ２ｃｏｓ２２Ｃ－１＝ － ７ ， ………………………………………………… ８ 分
８ ８
∴ ｃｏｓ２Ｃ＝ １ ，
４
∴ １－２ｓｉｎ２Ｃ＝ １ ，∴ ｓｉｎＣ＝ ６ ，………………………………………………………… ９ 分
４ ４
ＡＢ ＢＣ
由正弦定理得， ＝ ，
ｓｉｎＣ ｓｉｎＡ
又 ｓｉｎＡ＝ １－ｃｏｓ２Ａ ＝ １５ ，ＡＢ＝ ４，
８
∴ ＢＣ＝ ４× １５ × ４ ＝ １０ ， ………………………………………………………… １０ 分
８ ６
又 ｓｉｎ２Ｃ＝ １５ ，ｃｏｓＣ＝ １０ ，
４ ４
∴ ｓｉｎＢ ＝ｓｉｎ３Ｃ＝ｓｉｎ（Ｃ＋２Ｃ）
＝ ｓｉｎＣｃｏｓ２Ｃ＋ｃｏｓＣｓｉｎ２Ｃ
＝ ６ × １ ＋ １０ × １５
４ ４ ４ ４
＝ ３ ６ ， ……………………………………………………………………… １１ 分
８
∴ Ｓ△ＡＢＣ ＝
１ ＡＢ·ＢＣｓｉｎＢ＝ １ ×４× １０ ×３ ６ ＝ ３ １５ ． ……………………………… １２ 分
２ ２ ８ ２
法二：在 ＡＣ 上取点 Ｄ，使得∠ＣＢＤ＝∠Ｃ，
∵ ｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）＝ １ ，∴ ｃｏｓ∠ＡＢＤ＝ １ ， ………………………………………………… ６ 分
４ ４
∴ ｓｉｎ∠ＡＢＤ＝ １－ｃｏｓ２∠ＡＢＤ ＝ １５ ，又 ｓｉｎＡ＝ １－ｃｏｓ２Ａ ＝ １５ ， ………………… ７ 分
４ ８
∴ ｃｏｓ∠ＡＤＢ ＝ｃｏｓ［π－（∠Ａ＋∠ＡＢＤ）］ ＝ －ｃｏｓ（∠Ａ＋∠ＡＢＤ）
＝ ｓｉｎＡ·ｓｉｎ∠ＡＢＤ－ｃｏｓＡｃｏｓ∠ＡＢＤ
＝ １５ × １５ － ７ × １ ＝ １ ， ……………………………………………… ８ 分
８ ４ ８ ４ ４
∴ ｃｏｓ∠ＡＤＢ＝ｃｏｓ∠ＡＢＤ，
∴ ∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ．
数学试题答案 第 ４ 页（共 ６ 页）
∴ ＡＤ＝ＡＢ＝ ４． ………………………………………………………………………… ９ 分
又 ＢＤ２ ＝ＡＢ２＋ＡＤ２－２ＡＢ·ＡＤ·ｃｏｓＡ＝ １６＋１６－２×４×４× ７ ＝ ４，
８
∴ ＢＤ＝ ２， …………………………………………………………………………… １０ 分
∴ ＤＣ＝ＢＤ＝ ２，ＡＣ＝ＡＤ＋ＤＣ＝ ６， …………………………………………………… １１ 分
∴ Ｓ １△ＡＢＣ ＝ ＡＢ·ＡＣ·ｓｉｎＡ＝
１ ×４×６× １５ ＝ ３ １５ ． ………………………………… １２ 分
２ ２ ８ ２
２２．（１２ 分）
解：（１） ｆ ′（ｘ）＝ １
－ｌｎｘ
２ ，………………………………………………………………… １ 分ｘ
当 ｘ∈（０，ｅ）时，ｆ ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增；
当 ｘ∈（ｅ，＋∞ ）时，ｆ ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减，
∴ ｘ＝ｅ 时，ｆ（ｘ） １取得最大值．即 ｆ（ｘ）ｍａｘ ＝ ｆ（ｅ）＝ ． ………………………………… ２ 分ｅ
－
ｇ ′（ｘ）＝ ａ（１ ｘ），
ｅｘ
当 ａ＞０ 时，
ｘ∈（－∞ ，１）时，ｇ ′（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增；
ｘ∈（１，＋∞ ）时，ｇ ′（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减，
∴ ｇ（ｘ）ｍａｘ ＝ｇ（１）＝
ａ ．………………………………………………………………… ３ 分
ｅ
当 ａ＝ ０ 时，ｇ（ｘ）＝ ０，不合题意；
当 ａ＜０ 时，可知 ｇ（ｘ）ｍｉｎ ＝ｇ（１），不合题意．
ａ
故 ＝ １ ，即 ａ＝ １． …………………………………………………………………… ４ 分
ｅ ｅ
∴ ｈ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝ ｌｎｘ－ ｘ ． ……………………………………………………… ５ 分
ｘ ｅｘ
－ －
∵ ｈ ′（ｘ）＝ １ ｌｎｘ－１ ｘ，
ｘ２ ｅｘ
当 １＜ｘ＜ｅ 时，１－ｌｎｘ＞０，１－ｘ＜０，
∴ ｈ ′（ｘ）＞０，∴ ｈ（ｘ）在［１，ｅ］上单调递增，
ｅ－１
又 ｈ（１）＝ － １ ＜０，ｈ（ｅ）＝ １ － ｅ ＝ １ｅ －
１ ｅ －ｅ
ｅ ｅ ｅ ｅ ｅｅ－１
＝
ｅｅ
＞０，
∴ ｈ（ｘ）在（１，ｅ）上有且仅有一个零点． ……………………………………………… ６ 分
（２）由（１）知，ｙ＝ ｆ（ｘ），ｙ＝ｇ（ｘ）的图象大致如下图：
数学试题答案 第 ５ 页（共 ６ 页）
Z
H Y
Z G Y
Z C
0 Y Y F Y Y
………………………………… ７ 分
直线 ｙ＝ ｂ 与曲线 ｙ＝ ｆ（ｘ），ｙ＝ｇ（ｘ）三个交点的横坐标从左至右依次为 ｘ１，ｘ２，ｘ３，
且 ０＜ｘ１＜１＜ｘ２＜ｅ＜ｘ３， ………………………………………………………………… ８ 分
ｌｎｘ ｌｎｘ ｘ
∴ ０＜ｌｎｘ２＜１＜ｌｎｘ
３ ＝ ２ ＝ １３ 且 ｘ ＝ ｂ． ……………………………………………… ９ 分ｘ ｘ ｅ １３ ２
ｘ１ ｌｎｘ２ ｌｎｘ２
由 ｘ ＝ ＝ ｌｎｘ 即 ｇ（ｘ１）＝ ｇ（ｌｎｘ２），ｘ１，ｌｎｘ２∈（０，１），∴ ｘ１ ＝ ｌｎｘｅ １ ｘ ｅ ２ ２２
即 ｘ２ ＝ｅｘ１ ． …………………………………………………………………… ①……１０ 分
ｘ２ ｌｎｘ３ ｌｎｘ３
由
ｅｘ
＝ ＝ 即 ｇ（ｘ ）＝ ｇ（ｌｎｘ ），
２ ｘ ｅｌｎｘ３ ２ ３３
∴ ｘ２ ＝ ｌｎｘ３ ． …………………………………………………………………… ②……１１ 分
由①，②，ｘ２ ｘ
ｌｎｘ ｘ
２ ＝ｅ １ ｌｎｘ３，
３
又 ＝ １ 即 ｅｘ１ｘ ｌｎｘ３ ＝ ｘ１ｘｘ ｅ １ ３
，
３
∴ ｘ２２ ＝ ｘ１ｘ３ ． …………………………………………………………………………… １２ 分
数学试题答案 第 ６ 页（共 ６ 页）临沂市2022-2023学年高三上学期期中教学质量检测考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,则
A. B. C. D.
2.若,则
A. B. C. D.1-2i
3.若扇形的弧长与面积都是6,则这个扇形的圆心角的弧度数是
4.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表:
若某户居民上月交纳的水费为66元,则该户居民上月用水量为
A. B. C. D.
5.已知,若是的必要不充分条件,则
A. B. C. D.
6.已知向量,若点是直线上的一个动点,则的最小值为
A. B. C. D.
7.已知,则
8.函数是定义在上的单调函数,且对定义域内的任意,均有2,则
A.e+1 B.e C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.欧拉公式(其中为虚数单位,)将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论中占有非常重要的地位,被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式,则
A. B.为纯虚数 C. D.复数对应的点位于第三象限 10.函数的部分图象如图所示,则
A.
B.
C.的图象关于点对称
D.在上单调递增
11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状,后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,,以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列,则
A. B.
C. D.
12.若,且,则
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量在方向上的投影向量是是与同方向的单位向量),,则________.
14.已知,则________.
15.设函数,若,则的取值范围是_______.
16.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,某摩天轮最高点距离地面高度128米,转盘直径为120米,设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周需要30分钟.若游客甲坐上摩天轮的座舱,开始旋转分钟后距离地面的高度为米,则关于的函数解析式为________;若游客甲在，时刻距离地面的高度相等,则的最小值为_________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
已知函数的图象过点,且满足.
(1)求的解析式;
(2)解关于的不等式.
18.(12分)
已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)将的图象向右平移个单位,得到函数的图象,若在上的最小值为,求的最大值.
19.(12分)
已知函数,曲线在点处的切线为.
(1)求;
(2)求的最小值.
20.(12分)
已知正项数列的前项和,且.
(1)证明:数列为等差数列;
(2)记,证明.
21.(12分)
中,.
(1)若,求;
(2)若,求的面积.
22.(12分)
已知函数和有相同的最大值.
(1)求,并说明函数在(1,e)上有且仅有一个零点;
(2)证明:存在直线,其与两条曲线和共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
