苏教版高中数学必修1：1.3 《交集、并集》教学教案

1.3 交集、并集
教学目标：
使学生正确理解交集与并集的概念，会求两个已知集合交集、并集；通过概念教学，提高逻辑思维能力，通过文氏图的利用，提高运用数形结合解决问题的能力；通过本节教学，渗透认识由具体到抽象过程。
教学重点：
交集与并集概念，数形结合思想。
教学难点：
理解交集与并集概念、符号之间区别与联系。
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
集合的补集、全集都需考虑其元素，集合的元素是什么这一问题若解决了，涉及补集、全集的问题也就随着解决。
Ⅱ.讲授新课
［师］我们先观察下面五个图
幻灯片：
请回答各图的表示含义。
［生］图(1)给出了两个集合A、B；
图(2)阴影部分是A与B公共部分；
图(3)阴影部分是由A、B组成；
图(4)集合A是集合B的真子集；
图(5)集合B是集合A的真子集。
［师］进一步指出
图(2)阴影部分叫做集合A与B的交集，
图(3)阴影部分叫做集合A与B的并集。
由(2)、(3)图结合其元素的组成给出交集定义。
幻灯片：
1.交集
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集。
记作A∩B（读作“A交B”），
即A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}。
借此说法，结合图(3)，请同学给出并集定义。
幻灯片：
2.并集
一般地，由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集。
A与B的并集记作A∪B（读作“A并B”），
即A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}。
学生归纳以后，教师给予纠正。
那么图(4)、图(5)及交集、并集定义说明A∩B＝A{图（4）}，A∩B＝B{图（5)}。
3.例题解析(师生共同活动)
［例1］设A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x＜3}，求A∩B。
解析：此题涉及不等式问题，运用数轴即利用数形结合是最佳方案。
解：在数轴上作出A、B对应部分，如图A∩B为阴影部分：
A∩B＝{x｜x＞－2}∩{x｜x＜3}＝{x｜－2＜x＜3}。
［例2］设A＝{x｜x是等腰三角形}，B＝{x｜x是直角三角形}，求A∩B。
解析：此题运用文氏图，其公共部分即为A∩B。
解：如右图表示集合A、集合B，其阴影部分为A∩B。
A∩B＝{x｜x是等腰三角形}∩{x｜x是直角三角形}＝{x｜x是等腰直角三角形}。
［例3］设A＝{4，5，6，8},B＝{3，5，7，8}，求A∪B。
解析：运用文氏图解答该题。
解：如右图表示集合A、集合B，其阴影部分为A∪B。
则A∪B＝{4，5，6，8}∪{3，5，7，8}＝{3，4，5，6，7，8}。
［例4］设A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x是钝角三角形}，求A∪B。
解：A∪B＝{x｜x是锐角三角形}∪{x｜x是钝角三角形}＝{x｜x是斜三角形}。
{例5}设A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜1＜x＜3}，求A∪B。
解析：利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求。
解：将A＝{x｜－1＜x＜2}及B＝{x｜1＜x＜3}在数轴上表示出来。如图阴影部分即为所求。
A∪B＝{x｜－1＜x＜2}∪{x｜1＜x＜3}＝{x｜－1＜x＜3}。
［师］设a,b是两个实数，且a＜b，我们规定：
实数值R也可以用区间表示为（-∞, +∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们还可以把满足x≥a,x＞a,x≤b,x＜b的实数x的集合分别表示为[a，+∞]，(a，+∞)，(-∞，b)，(-∞，b)。
Ⅲ.课堂练习
1.设a＝{3，5，6，8}，B＝{4，5，7，8}。
(1)求A∩B，A∪B；
(2)用适当的符号(、)填空：
A∩B_____A，B_____A∩B，A∪B______A，A∪B______B，A∩B_____A∪B。
解：(1)因A、B的公共元素为5、8，
故两集合的公共部分为5、8，则A∩B＝{3，5，6，8}∩{4，5，7，8}＝{5，8}，
又A、B两集合的元素3、4、5、6、7、8，
故A∪B＝{3，4，5，6，7，8}；
(2)由文氏图可知
A∩BA，BA∩B，A∪BA，A∪BB，A∩BA∪B。
2.设A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x≥0}，求A∩B。
解：因x＜5及x≥0的公共部分为 0≤x＜5，
故A∩B＝{x｜x＜5}∩{x｜x≥0}＝{x｜0≤x＜5}。
3.设A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x是钝角三角形}，求A∩B。
解：因三角形按角分类时，锐角三角形和钝角三角形彼此孤立。故A、B两集合没有公共部分。
A∩B＝{x｜x是锐角三角形}∩{x｜x是钝角三角形}=。
4.设A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≥3}，求A∪B。
解：在数轴上将A、B分别表示出来，阴影部分即为A∪B，故A∪B＝{x｜x＞－2}。
5.设A＝{x｜x是平行四边形}，B＝{x｜x是矩形}，求A∪B。
解：因矩形是平行四边形，故由A及B的元素组成的集合为A∪B，
A∪B＝{x｜x是平行四边形}。
6.已知M＝{1}，N＝{1，2}，设A＝{（x，y）｜x∈M，y∈N}，B＝{（x，y）｜x∈N， y∈M}，求A∩B，A∪B。
解析：M、N中元素是数.A、B中元素是平面内点集，关键是找其元素。
解：∵M＝{1}，N＝{1，2}，则A＝{（1，1），（1，2）}，B＝{（1，1），（2，1）}，
故A∩B＝{（1，1）}，A∪B＝{（1，1），（1，2），（2，1）}。
Ⅳ.课时小结
在求解问题过程中要充分利用数轴、文氏图，无论求解交集问题，还是求解并集问题，关键还是寻求元素。
Ⅴ.课后作业
课本P13习题1.3 2～7
参考练习题：
1.设A＝{x｜x＝2n，n∈N*}，B＝{x｜x＝2n，n∈N}，则A∩B＝_______，A∪B＝_______。
解：对任意m∈A，则有m＝2n＝2·2n－1，n∈N*，因n∈N*，故n－1∈N，有2n－1∈N，那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，所以AB，而10∈B但10A，即AB，那么A∩B＝A，A∪B＝B。
评述：问题的求解需要分析各集合元素的特征，以及它们之间关系，利用真子集的定义证明A是B的真子集，这是一个难点，只要突破该点其他一切都好求解。
2.求满足{1，2}∪B＝{1，2，3}的集合B的个数。
解：满足{1，2}∪B＝{1，2，3}的集合B一定含有元素3，B＝{3}还可含1或2，其中一个有{1，3}，{2，3}，还可含1、2，即{1，2，3}，那么共有4个满足条件的集合B。
评述：问题解决的关键在于集合B的元素可以是什么数，分类讨论在解题中作用不可忽视。以集合B元素多少进行分类。
3.A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＞0}，C＝{x｜x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么？
解：因A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＞0}，C＝{x｜x≥10}，在数轴上作图，则A∩B＝{x｜0＜x＜5}，B∪C＝{x｜0＜x}，A∩B∩C＝。
评述：将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行。
4.设A＝{－4，2，a－1，a2}，B＝{9，a－5，1－a}，已知A∩B＝{9}，求A。
解：因A∩B＝{9}，则a－1＝9或a2＝9，a＝10或a＝±3。
当a＝10时，a－5＝5，1－a＝－9；
当a＝3时，a－1＝2不合题意；
a＝－3时，a－1＝－4不合题意。
故a＝10，此时A＝{－4，2，9，100}，B＝{9，5，－9}，满足A∩B＝{9}，那么a＝10。
评述：合理利用元素的特征——互异性找A、B元素。
5.已知A＝{y｜y＝x2－4x＋6，x∈R , y∈N}，B＝{y｜y＝－x2－2x＋7，x∈R ,y∈N}，求A∩B，并分别用描述法，列举法表示它。
解：y＝x2－4x＋6＝（x－2）2＋2≥2，A＝{y｜y≥2，y∈N}，
又y＝－x2－2x＋7＝－（x＋1）2＋8≤8，
∴B＝{y｜y≤8，y∈N}，
故A∩B＝{y｜2≤y≤8}＝{2，3，4，5，6，7，8}。
评述：此题注意组成集合的元素有限，还是无限.集合的运算结果，应还是一个集合。
6.已知非空集合A＝{x｜2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x｜3≤x≤22}，则能使A(A∩B)成立的所有a值的集合是什么？
解：由题有：AA∩B，即AB， A非空，用数轴表示为：
那么，用不等式表示为：6≤a≤9。
评述：要使AA∩B，需AA且AB，又AA恒成立，故AB，由数轴得不等式。注意A是非空，若去掉这一条件效果如何，求解过程及结果是否会变化，请思考。
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