苏教版高中数学必修1：1.2《子集、全集、补集》教学教案

1.2 子集、全集、补集(一)
教学目标：
使学生理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点。
教学重点：
子集的概念，真子集的概念。
教学难点：
元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算。
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
1.集合的表示方法 列举法、描述法
2.集合的分类 有限集、无限集
由集合元素的多少对集合进行分类，由集合元素的有限、无限选取表示集合的方法。故问题解决的关键主要在于寻求集合中的元素，进而判断其多少。
Ⅱ.讲授新课
［师］同学们从下面问题的特殊性，去寻找其一般规律。
幻灯片(A)：
我们共同观察下面几组集合
(1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
(2)A＝{x｜x＞3}，B＝{x｜3x－6＞0}；
(3)A＝{正方形}，B＝{四边形}；
(4)A＝，B＝{0}；
(5)A＝{直角三角形}，B＝{三角形}；
(6)A＝{a，b}，B＝{a，b，c，d，e}。
［生］通过观察，上述集合间具有如下特殊性
(1)集合A的元素1，2，3同时是集合B的元素；
(2)集合A中所有大于3的元素，也是集合B的元素；
(3)集合A中所有正方形都是集合B的元素；
(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素；
(5)所有直角三角形都是三角形，即A中元素都是B中元素；
(6)集合A中元素A、B都是集合B中的元素。
［师］由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分，从而有下述结论。
幻灯片(B)：
1.子集
定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。记作AB（或BA），这时我们也说集合A是集合B的子集。
［师］请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义。
［师］当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB（或B A）。
如：A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则AB。
［师］依规定，空集是任何集合子集。
请填空：_____A(A为任何集合)。
［生］A
［师］由A＝{正三角形}，B＝{等腰三角形}，C＝{三角形}，则从中可以看出什么规律？
［生］由题可知应有AB，BC。
这是因为正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形一定是三角形，那么正三角形也一定是三角形，故AC。
［师］从上可以看到，包含关系具有“传递性”。
(1)任何一个集合是它本身的子集。
［师］如A＝{9，11，13}，B＝{20，30，40}，那么有AA，BB。
师进一步指出：
如果AB，并且A≠B，则集合A是集合B的真子集。
这应理解为：若AB，且存在b∈B，但bA，称A是B的真子集。
A是B的真子集，记作AB(或BA)。真子集关系也具有传递性若AB，BC，则AC。
那么_______是任何非空集合的真子集。
［生］应填
2.例题解析
［例1］写出{a、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。
分析：寻求子集、真子集主要依据是定义。
解：依定义：{a，b}的所有子集是、{a}、{b}、{a，b}，其中真子集有、{a}、{b}。
注：如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n－1个。
［例2］解不等式x－3＞2，并把结果用集合表示。
解：由不等式x－3＞2知x＞5，所以原不等式解集是{x｜x＞5}。
［例3］（1）说出0，｛0｝和的区别；（2）｛｝的含义。
Ⅲ.课堂练习
1．已知A＝{x｜x＜－2或x＞3}，B＝{x｜4x＋m＜0}，当AB时，求实数m的取值范围。
分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系。需用数形结合。
解：将A及B两集合在数轴上表示出来。
要使AB，则B中的元素必须都是A中元素，即B中元素必须都位于阴影部分内。
那么由x＜－2或x＞3及x＜－知 －＜－2即m＞8，
故实数m取值范围是m＞8。
2．填空：
｛a｝ ｛a｝，a ｛a｝， ｛a｝，｛a，b｝ ｛a｝，0 ，｛0｝ ，1 ｛1,｛2｝｝，｛2｝ ｛1,｛2｝｝， ｛｝
Ⅳ.课时小结
1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集。
2.清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明。
Ⅴ.课后作业
课本P10习题1.2 1，2。
补充：
1.判断正误
(1)空集没有子集 （ ）
(2)空集是任何一个集合的真子集 （ ）
(3)任一集合必有两个或两个以上子集 （ ）
(4)若BA，那么凡不属于集合a的元素，则必不属于B （ ）
分析：关于判断题应确实把握好概念的实质。
解：该题的4个命题，只有(4)是正确的，其余全错。
对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集；
对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集；
对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则xA时也必有xB。
2.集合A＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集。
分析：区分子集与真子集的概念。集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的子集有2n，真子集有2n－1个，该题先找该集合元素，后找真子集。
解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0，1，2，
即a＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}＝{0，1，2}，
真子集：、{1}、{2}、{0}、{0，1}、{0，2}、{1，2}，共7个。
3.(1)下列命题正确的是（ ）
A.无限集的真子集是有限集 B.任何一个集合必定有两个子集
C.自然数集是整数集的真子集 D.{1}是质数集的真子集
(2)以下五个式子中，错误的个数为（ ）
①{1}∈{0，1，2} ②{1，－3}＝{－3，1} ③{0，1，2}{1，0，2}
④∈{0，1，2} ⑤∈{0}
A.5 B.2 C.3 D.4
(3)M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是（ ）
A.aM B.aM C.{a}∈M D.{a}M
解：(1)该题要在四个选择支中找到符合条件的选择支.必须对概念把握准确，并不是所有有限集都是无限集子集，如{1}不是{x｜x＝2k，k∈Z}的子集，排除A；由于只有一个子集，即它本身，排除B；由于1不是质数，排除D；故选C。
(2)该题涉及到的是元素与集合，集合与集合关系。
①应是{1}{0，1，2}，④应是{0，1，2}，⑤应是{0}，
故错误的有①④⑤，选C。
(3)M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π，
因3＜a＜4，故a是M的一个元素。
{a}是{x｜3＜x＜4}的子集，那么{a}M。
4.判断如下a与B之间有怎样的包含或相等关系：
(1)A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}；
(2)A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}。
解：(1)因A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，故A、B都是由奇数构成的，即A＝B；
(2)因A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}，
又x＝4n＝2·2n，
在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数。
故集合A、B的元素都是偶数，B中元素是由A中部分元素构成，则有BA。
评述：此题是集合中较抽象题目。意其元素的合理寻求。
5.已知集合P＝{x｜x2＋x－6＝0}，Q＝{x｜ax＋1＝0}满足QP，求a所取的一切值。
解：因P＝{x｜x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，
当a＝0时，Q={x｜ax＋1＝0}＝，QP成立；
又当a≠0时，Q＝{x｜ax＋1＝0}＝{－}，
要QP成立，则有－＝2或－＝－3，a＝－或a＝。
综上所述，a＝0或a＝－或a＝。
评述：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论。
本题易漏掉a＝0，ax＋1＝0无解，即Q为空集情况。而当Q＝时，满足QP。
6.已知集合A＝{x∈R｜x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R｜（x＋1）（x2＋3x－4＝0}，要使APB，求满足条件的集合P。
解：由题A＝{x∈R｜x2－3x＋4＝0}＝，
B＝{x∈R｜（x＋1）（x2＋3x－4）＝0}＝{－1，1，－4}，
由APB知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为：
{1}或{－1}或{－4}或{－1，1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1，1，－4}。
评述：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素。而做到这点，必须化简A、B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件。
7.已知AB，AC，B＝{0，1，2，3，4}，C＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？
解：因AB，AC，B＝{0，1，2，3，4}，C＝{0，2，4，8}，由此，满足AB，有，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0，1}，{0，2}，{2，3}，{2，4}，{0，3}，{0，4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{3，4}，{0，2，4}，{0，1，2}，{0，1，3}，{0，1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{2，3，4}，{0，3，4}，{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3}，{1，3，4}，{0，1，2，4}，{0，2，3，4}，{0，1，2，3，4}，共25＝32个。
又满足AC的集合A有
，{0}，{2}{4}，{8}，{0，2}，{0，4}，{0，8}{2，4}，{2，8}，{4，8}，{0，2，4}，{0，2，8}，{0，4，8}，{2，4，8}，{0，2，4，8}，共24＝8×2＝16个。
其中同时满足AB，AC的有8个：，{0}，{2}，{4}，{0，2}，{0，4}，{2，4}，{0，2，4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁，此得到解题途径。
有如下思路：
题目只要A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少。
显然公共元素有0、2、4，组成集合的子集有23＝8 (个)。
8.设A＝{0，1}，B＝{x｜xA}，则A与B应具有何种关系？
解：因A＝{0，1}，B＝{x｜xA}，
故x为，{0}，{1}，{0，1}，即{0，1}是B中一元素，故A∈B。
评注：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素。
9.集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，
(1)若BA，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；
(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围。
解：(1)当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝满足BA；
当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使B≤A成立，
需，可得2≤m≤3。
综上m≤3时有BA。
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，
所以，A的非空真子集个数为：28－2＝254。
(3)∵x∈R，且A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立。
则①若B＝即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件；
②若B＝，则要满足条件有：或解之m＞4。
综上有m＜2或m＞4。
评述：此问题解决：（1）不应忽略；（2）找A中的元素；（3）分类讨论思想的运用。
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