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九年级数学上册《25.3用频率估计概率》导学案
1、学会根据频率来估计概率
2、学会根据频率来计算球的个数
重点：根据频率来估计概率；
难点：根据频率来计算球的个数，有时需要用到分式方程
利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率。
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确。
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率。
1、（2021春 崇川区校级期末）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，这个球中只有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值大约为
A．10 B．12 C．16 D．20
2、（2021春 南京期末）一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是0.3、0.5．则可估计袋中白球的个数是
A．10 B．15 C．20 D．25
3、（2021 深圳模拟）某班学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球
C．抛一枚硬币，出现正面的概率
D．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
4、（2021春 成都期末）在一个不透明的口袋中有若干个白球和3个黑球，小颖进行如下试验：随机摸出1个球，记录下颜色后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25，则原来口袋中有白球 个．
5、（2021春 江宁区月考）给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是．
其中正确命题有 ．
6、（2020 呼和浩特）公司以3元的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为 （精确到；从而可大约估计每千克柑橘的实际售价为 元时（精确到，可获得12000元利润．
柑橘总质量 损坏柑橘质量 柑橘损坏的频率（精确到
250 24.75 0.099
300 30.93 0.103
350 35.12 0.100
450 44.54 0.099
500 50.62 0.101
1.（2021 衡水模拟）一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个红球和个黄球，随机从袋中摸出个球记录下颜色，再放回袋中摇匀大量重复试验后，发现摸出红球的频率稳定在0.2附近，则的值为
A．8 B．10 C．6 D．4
2.（2021 邵阳县模拟）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面有四个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.618；④若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．其中合理的是
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
3.（2021春 泰兴市月考）在一个不透明的布袋中装有45个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黑球的个数可能有
A．18 B．27 C．36 D．30
4.（2021 石家庄模拟）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是
A．0.82 B．0.84 C．0.85 D．0.90
5.（2020秋 吉水县期末）在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干个，某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，下表是活动中的一组数据，则摸到黑球的概率约是
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数 42 54 84 205 328 401
摸到黑球的频率 0.42 0.3 0.42 0.41 0.41 0.401
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
6.（2020秋 长春期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是
A．6个 B．14个 C．20个 D．40个
7.（2020秋 丹东期末）某班的一个数学兴趣小组为了考察本市某条斑马线上驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为
抽查车辆数 100 500 1000 2000 3000 4000
能礼让的驾驶员人数 95 486 968 1940 2907 3880
能礼让的频率 0.95 0.972 0.968 0.97 0.969 0.97
A．0.95 B．0.96 C．0.97 D．0.98
8.（2020 南充模拟）在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下面各个试验中哪个不能代替
A．两张扑克，“黑桃”代替“正面”，“红桃”代替“反面”
B．两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球
C．扔一枚图钉
D．人数均等的男生女生，以抽签的方式随机抽取一人
9.（2021 南开区一模）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在左右，则口袋中红色球可能有_____ 个
10.（2020 泰州）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 ．（精确到，由此估出红球有 个．
（2）现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．
本节课所学知识点
错题及错误原因
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九年级数学上册《25.3用频率估计概率》导学案
1、学会根据频率来估计概率
2、学会根据频率来计算球的个数
重点：根据频率来估计概率；
难点：根据频率来计算球的个数，有时需要用到分式方程
利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率。
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确。
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率。
1、（2021春 崇川区校级期末）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，这个球中只有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值大约为
A．10 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【解答】解：根据题意得：
，
解得：，
答：的值大约为16．
2、（2021春 南京期末）一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是0.3、0.5．则可估计袋中白球的个数是
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】A
【解答】解：摸到红球、黄球的频率分别是0.3、0.5，
摸到白球的频率为，
设袋子中，白球有个，
根据题意，得：，
解得：，
即布袋中白球可能有10个，
3、（2021 深圳模拟）某班学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球
C．抛一枚硬币，出现正面的概率
D．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
【答案】B
【解答】解：由表知，随着实验次数的逐渐增大，其频率逐渐稳定于0.33，即此结果发生的概率约为0.33，即
．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；
．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率为，符合题意；
．抛一枚硬币，出现正面的概率为0.5，不符合题意；
．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，此选项不符合题意；
4、（2021春 成都期末）在一个不透明的口袋中有若干个白球和3个黑球，小颖进行如下试验：随机摸出1个球，记录下颜色后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25，则原来口袋中有白球 个．
【答案】9
【解答】解：设口袋中白球的个数为，
根据题意，得：，
解得，
检验：当时，，
是分式方程的解，且符合题意，
原来口袋中有白球9个，
5、（2021春 江宁区月考）给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是．
其中正确命题有 ．
【答案】④
【解答】解：①由定义知出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，并不是一个确定的值，从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，故①错误；
②100次并不是无穷多次，只能说明100次试验出现正面朝上的频率为，故②错误；
③根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，故③错误；
④频率是重复试验是，出现的次数与重复试验的次数的比值，故出现1点的频率是，故④正确．
6、（2020 呼和浩特）公司以3元的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为 （精确到；从而可大约估计每千克柑橘的实际售价为 元时（精确到，可获得12000元利润．
柑橘总质量 损坏柑橘质量 柑橘损坏的频率（精确到
250 24.75 0.099
300 30.93 0.103
350 35.12 0.100
450 44.54 0.099
500 50.62 0.101
【答案】0.9，4.7
【解答】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以柑橘的完好率应是；
设每千克柑橘的销售价为元，则应有，
解得，
所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了获得12000元利润，完好柑橘每千克的售价应为4.7元，
1.（2021 衡水模拟）一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个红球和个黄球，随机从袋中摸出个球记录下颜色，再放回袋中摇匀大量重复试验后，发现摸出红球的频率稳定在0.2附近，则的值为
A．8 B．10 C．6 D．4
【答案】A
【解答】解：依题意有：，
解得：，
经检验是原方程的解．
2.（2021 邵阳县模拟）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面有四个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.618；④若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．其中合理的是
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【解答】解：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误，不符合题意，
随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确，符合题意，
③当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.618，正确，符合题意，
若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故④错误，不符合题意．
合理的有②③
3.（2021春 泰兴市月考）在一个不透明的布袋中装有45个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黑球的个数可能有
A．18 B．27 C．36 D．30
【答案】D
【解答】解：设袋子中黑球的个数为，
根据题意，得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
所以袋子中黑球的个数为30，
4.（2021 石家庄模拟）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是
A．0.82 B．0.84 C．0.85 D．0.90
【答案】A
【解答】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．
5.（2020秋 吉水县期末）在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干个，某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，下表是活动中的一组数据，则摸到黑球的概率约是
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数 42 54 84 205 328 401
摸到黑球的频率 0.42 0.3 0.42 0.41 0.41 0.401
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】A
【解答】解：观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.4左右，
所以摸到黑球的概率约是0.4，
6.（2020秋 长春期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是
A．6个 B．14个 C．20个 D．40个
【答案】C
【解答】解：摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，
摸到白球的频率为，
故口袋中白色球的个数可能是（个．
7.（2020秋 丹东期末）某班的一个数学兴趣小组为了考察本市某条斑马线上驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为
抽查车辆数 100 500 1000 2000 3000 4000
能礼让的驾驶员人数 95 486 968 1940 2907 3880
能礼让的频率 0.95 0.972 0.968 0.97 0.969 0.97
A．0.95 B．0.96 C．0.97 D．0.98
【答案】C
【解答】解：抽取车辆为4000时，能礼让车辆的频率趋近于0.97，
可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为0.97．
8.（2020 南充模拟）在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下面各个试验中哪个不能代替
A．两张扑克，“黑桃”代替“正面”，“红桃”代替“反面”
B．两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球
C．扔一枚图钉
D．人数均等的男生女生，以抽签的方式随机抽取一人
【答案】C
【解答】解：、两张扑克，质地均匀，可以用“黑桃”代替“正面”，“红桃”代替“反面；
、两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球可以代替；
、因为图钉有大小头，所以不能代替．
、人数均等的男生女生，以抽签的方式随机抽取一人，可以代替．
9.（2021 南开区一模）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在左右，则口袋中红色球可能有_____ 个
【答案】6
【解答】解：红球个数为：个．
10.（2020 泰州）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 ．（精确到，由此估出红球有 个．
（2）现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．
【解答】解：（1）观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近，由此估出红球有2个．
故答案为：0.33，2；
（2）将2个红球分别记为红1、红2，画树状图如图：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，
则个白球，1个红球）；
所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为．
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