苏教版（2019）高中数学必修第二册 9.1 《向量概念》课时同步详解（含答案）

《向量概念》课时同步详解
问题情境导入
老鼠由向西北逃窜,猫在处向东追去,猫能否追到老鼠(如图)
生活中还有许多既有大小又有方向的量,你能找出它们并指出其大小和方向吗 本节就来学习这方面的知识.
新课自主学习
自学导引
1.向量的定义:我们把既有______又有______的量叫作向量.向量不能比较大小.
2.向量的表示:向量常用一条______来表示,有向线段的长度表示向量的______,箭头所指的方向表示向量的______.以为起点、B为终点的向量记为______向量也可以用小写字母______来表示.
3.向量的模:向量的大小称为向量的______（或称为模),记作______.
4.零向量:长度为______的向量称为零向量,记作______,零向量的方向是任意的.
5.单位向量:长度等于______长度的向量. a，b
6.平行向量(共线向量):方向______的非零向量,向量a与向量b平行,记作.规定:零向量与任一向量______.
7.相等向量:长度_____且方向______的向量.向量a，b相等,记作.
8.相反向量:把与向量a长度______,方向______的向量叫作a的相反向量,记作，a与互为相反向量.规定零向量的相反向量仍是______.于是,对任意一个向量,总有______
9.向量的夹角:(1)如图,对于两个非零向量a和b,在平面内任取一点,作______叫作向量a与b的夹角.
(2)显然,当时, a与b ______;当时, a与b______;当时,则称向量a与b垂直,记作______.
答案
1.大小 方向
2.有向线段 大小 方向
3.长度
4. 0 0
个单位
6.相同或相反 平行
7.相等 相同
8.相等 相反 零向量 a
9.(1)（2）同向 反向
预习测评
1.判断对错
(1)如果,那么.( )
(2)若都是单位向量,则.( )
(3)若,且a与b的起点相同,则终点也相同. ( )
(4)零向量的大小为0,没有方向. ( )
(5)若,则.( )
2.下列各量:①密度;②浮力;③温度;④风速.其中向量有( )
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
3.下列关于向量的说法中,正确的是( )
A.长度相等的两向量必相等
B.两向量相等,其长度不一定相等
C.向量的大小与有向线段的起点无关
D.向量的大小与有向线段的起点有关
答案
1.
答案：(1)
解析:(1)向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小.(2)与都是单位向量,则,但与的方向可能不同.(3)若,则与的大小相等且方向相同,那么起点相同时,终点必相同.(4)任何向量都有方向,零向量的方向是任意的.(5)向量的平行不具有传递性.
2.
答案：C
解析:由向量的概念可知浮力与风速是向量,密度与温度是数量.
3.
答案：C
解析:长度相等,方向不同的向量并不是相等向量,故错误.两向量相等,必有两向量的长度相等,故错误.向量的大小与有向线段的起点无关,故C正确.D错误.
新知合作探究
探究点1向量的概念及表示知识详解
知识详解
1.向量:既有大小又有方向的量叫作向量.向量有两个要素:大小和方向.这样数学上的量就可以分为向量和数量(只有大小而没有方向的量).数量可以比较大小,但是向量不可以.
2.向量的表示.
(1)向量的几何表示:向量常用一条有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.以为起点、B为终点的向量记为,如图所示.向量可以用有向线段来表示,但是有向线段不等同于向量.
(2)向量的字母表示:向量可以用字母a，b，c表示(印刷用粗体a，b，c,书写用.
3.向量的长度(模):向量的大小称为向量的长度(或称为模),记作.向量的模可以比较大小.
4.零向量:长度为0的向量称为零向量,记作,零向量的方向是任意的.
5.单位向量:长度等于1个单位长度的向量.
典例探究
例1下列说法中正确的是（ ）
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
解析：本题主要考查向量的基本概念.不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故不正确.向量的大小即为向量的模,与方向无关,故不正确.向量的模是一个数量,可以比较大小,故正确.
答案：D
方法归纳:对于向量的相关概念问题,关键是把握好概念的内涵与外延,对于一些有关联的概念一定要分辨清楚,如有向线段与向量,有向线段是向量的表示形式,并不等同于向量.
变式训练1(多选题)下列说法正确的是（ ）
A.向量与向量的长度相等
B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同
C.所有的单位向量的模都相等
D.零向量没有大小,也没有方向
答案：
解析：两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的方向不一定相同,终点也不一定相同,故错误.零向量有大小,大小为0,故错误.向量与的长度相等,方向相反,故A正确.所有的单位向量的模都相等,都等于1,故正确.
探究点2向量的关系
知识详解
1.向量的夹角.
(1)定义:如图,对于两个非零向量和,在平面内任取一点,作叫作向量，与的夹角.
(2)显然,当时, 与同向;当时, 与反向;当时,则称向量与垂直,记作.
2.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量,向量与向量平行,记作.规定:零向量与任一向量平行.
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量,向量相等,记作.
4.相反向量:长度相等且方向相反的向量.向量互为相反向量,记作.
特别提示
1.求两个非零向量的夹角时,一定要注意同起点.
2.共线向量的夹角是或.
3.相等向量或者相反向量都需要满足模和方向两个方面的条件.
4.由于零向量方向的特殊性, 向量的平行不具有传递性,而非零向量的平行具有传递性.
典例探究
例2如图所示,是正六边形的中心,且.
(1)与的长度相等、方向相反的向量有哪些
(2)与共线的向量有哪些
(3)请一一列出与相等的向量.
解析：首先在图中确定已知的三个向量的大小和方向,再根据共线向量、相等向量的概念来找对应的向量.
答案：(1)与的长度相等、方向相反的向量有,.
(2)与共线的向量有,.
(3)与相等的向量有;与相等的向量有;与相等的向量有.
方法归纳
1.两个向量共线不一定同向,但同向一定共线,同时相等向量的起点也不一定相同.
2.相等向量与共线向量的探求方法.
(1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
(2)寻找共线向量:找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
变式训练2给出以下5个条件:①b;②;③与的方向相反;④或;⑤与都是单位向量.其中能使成立的是（ ）(填序号)
答案①③④
解析：相等向量一定是共线向量,①能使.方向相同或相反的向量一定是共线向量,③能使.零向量与任一向量平行,④能使.
探究点3向量的应用
知识详解:向量除了在我们熟悉的物理学科中有所应用外,在实际生活中的应用也是十分广泛的.比如确定车辆、船舶的行驶方向,根据风速和水速确定最快渡河的方向等.在解决这类问题时,一定要根据题意画出正确的示意图,并把相关向量正确地在图形中标示出来,这样才能顺利解题.
题典例探究
例3在大海上,有一艘巡逻艇在执行巡逻任务.它首先从点出发向西航行了到达点,然后改变航行方向,向西偏北航行了到达点,最后又改变航行方向,向东航行了到达点.此时,它完成了此片海域的巡逻任务.
(1)作出;
(2)求.
解析（1）根据题意描述作出正确的示意图,确定A,各点的位置,作出对应的向量.(2)求时,要借助平面几何的知识来解题.
答案:(1)如图所示,作出.
(2)由题意知,
所以四边形是平行四边形,所以,所以.
方法归纳生活中很多问题可以归结为向量的问题,如力、速度、位移等,因此运用向量的知识进行解答可使问题简化,易于求解.解答时,一般先把实际问题用图示表示出来,然后围绕线段的长度(即向量的模)和方向（求某个角)进行求解.
变式列练3一辆消防车从地去地执行任务,先从地向北偏东方向行驶到地,然后从地沿北偏东方向行驶到达地,从地又向南偏西方向行驶才到达地.
（1）作出;
(2)求地相对于地的位置.
答案:(1)向量如图所示.
（2）由题意知,∴,则四边形为平行四边形,∴,则地相对于地的位置为北偏东,长度为.
易错易混解读
例给出下列六个命题：
①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;
②若 , 则 ;
③在四边形 中, 若 , 则四边形是平行四边形;
④平行四边形 中, 一定有 ;
⑤若 , 则 ;
⑥若 , 则 .
其中不正确的命题的序号是______
错解：①②
错因分析：该题容易漏选⑥,向量的平行不具有传递性.
正解：①②⑥
有向线段的要素有三个,起点、大小、方向,而向量有两个要素:大小和方向,所以①不正确.向量的相等有两个方面的要求,模相等只是其一,还有方向的要求,所以②不正确.向量的平行不具有传递性,所以⑥不正确.
纠错心得：解这种关于向量的相关概念的判断正误题,一定要熟练掌握向量的相关性质, 尤其要注意向量的平行是不具有传递性的.
课堂快速检测
1.下列说法错误的是（ ）
A.若 ,则
B.零向量是没有方向的
C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向是任意的
2.下列结论中,正确的是（ ）
A.2长的有向线段不可能表示单位向量
B.若是直线上的一点,单位长度已选定,则上有且仅有两个点,使得 是单位向量
C.方向为北偏西的向量与南偏东的向量不可能是平行向量
D.一人从点向东走到达点,则向量不能表示这个人从点到点的位移
3.如图,在四边形中,若 , 则图中相等的向量是（ ）
A.与
B.与
C.与
4.如图,在菱形中,,则以下说法错误的是( )
A.与相等的向量只有1个不含
B.与的模相等的向量有9个不含
C.的模恰为的模的倍
D.与不共线
5.中国象棋中规定:“马”走“日”字,如图是中国象棋的半个棋盘,若“马”在处,可跳到处,也可跳到处,用向量与表示“马”走了“一步”,试在图中画出“马”在 处走了“一步”的所有情况.
答案
1.B
解析:零向量的长度为0,方向是任意的,它与任何向量都平行,所以是错误的.
2.B
解析:一个单位长度取作时,2长的有向线段就表示单位向量,故错误.B 正确.C中两向量为平行向量,故错误.D 中,表示从点到点的位移,故错误.
3.D
解析:∵ 四边形是平行四边形,则,即
4.D
解析:由于, 因此与相等的向量只有,而与的模相等的向量有,,因此选项正确.在中,因为, 所以, 故,因此选项正确.由于,因此与是共线向量,故选D.
5.“马”在处走了“一步”的情况如图所示.
“马”在处走了“一步”的情况如图所示.
要点概括整合
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