苏教版（2019）高中数学必修第二册 9.1 向量概念 练习（解析版）

第9.1节 向量概念
基础达标
一、选择题
1.下列说法错误的是(　　)
A.若a＝0，则|a|＝0
B.零向量是没有方向的
C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向是任意的
2.下列结论中，正确的是(　　)
A.2 020 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得，是单位向量
C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D.一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
3.在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　)
A.与共线 B.与共线
C.与相等 D.与相等
4.如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是(　　)
A.与
B.与
C.与
D.与
5.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是(　　)
A.与相等的向量只有1个(不含)
B.与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰为的模的倍
D.与不共线
二、填空题
6.如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________.
7.给出以下5个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是________(填序号).
8.在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为________.
三、解答题
9.中国象棋中规定：马走“日”字，如图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量与表示马走了“一步”，试在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况.
10.如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量.
能力提升
11.某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 m，则此人位移的方向是________.
12.如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有满足条件的向量；
(2)求||的最大值与最小值.
13.(多选题)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是(　　)
A.||＝||
B.与共线
C.与共线
D.＝
14.(多选题)给出下列说法正确的是(　　)
A.若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点
B.在平行四边形ABCD中，一定有＝
C.若a＝b，b＝c，则a＝c
D.若a∥b，b∥c，则a∥c
第9.1节 向量概念答案
基础达标
一、选择题
1.下列说法错误的是(　　)
A.若a＝0，则|a|＝0
B.零向量是没有方向的
C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向是任意的
【解析】　零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的.
【答案】　B
2.下列结论中，正确的是(　　)
A.2 020 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得，是单位向量
C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D.一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
【解析】　一个单位长度取作2 020 cm时，2 020 cm长的有向线段就表示单位向量，故A错误，B正确；C中两向量为平行向量，故C错误；D中表示从点A到点B的位移，故D错误.
【答案】　B
3.在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　)
A.与共线 B.与共线
C.与相等 D.与相等
【解析】　如图所示，因为D，E分别是AB，AC的中点，由三角形的中位线定理可得DE∥BC.所以与共线.
【答案】　B
4.如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是(　　)
A.与
B.与
C.与
D.与
【解析】　∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，则AO＝OC，即＝.
【答案】　D
5.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是(　　)
A.与相等的向量只有1个(不含)
B.与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰为的模的倍
D.与不共线
【解析】　由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项A，B正确.而Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，∴||＝||，故||＝||，因此选项C正确.由于＝，因此与是共线的，故选D.
【答案】　D
二、填空题
6.如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________.
【解析】　易知||＝CA＝×2＝.
【答案】　
7.给出以下5个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是________(填序号).
【解析】　相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立.
【答案】　①③④
8.在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为________.
【解析】　∵＝，∴AB＝DC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形.
【答案】　菱形
三、解答题
9.中国象棋中规定：马走“日”字，如图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量与表示马走了“一步”，试在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况.
解　根据规则，画出符合要求的所有向量，马在B处走了“一步”的情况如图所示，
马在C处走了“一步”的情况如图所示.
10.如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量.
解　(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF綉BC.所以与共线的向量有：
，，，，，，.
(2)由(1)知EF綉BC，又D是BC的中点，故与模相等的向量有：，，，，.
(3)与相等的向量有：与.
能力提升
11.某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 m，则此人位移的方向是________.
【解析】　如图所示，此人从点A出发， 经点B，到达点C，
则tan ∠BAC＝＝＝，
∵∠BAC是三角形的内角，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是南偏东30°.
【答案】　南偏东30°
12.如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有满足条件的向量；
(2)求||的最大值与最小值.
解　(1)画出所有满足条件的向量，即(i＝1，2，…，8)，如图所示.
(2)由(1)所画的图知，
当点C位于点C1或C2的位置时，||取得最小值＝；当点C位于点C5或C6的位置时，||取得最大值＝，
故||的最大值为，最小值为.
13.(多选题)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是(　　)
A.||＝||
B.与共线
C.与共线
D.＝
【解析】　由向量相等及共线的概念，结合图形可知C不一定正确.
【答案】　ABD
14.(多选题)给出下列说法正确的是(　　)
A.若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点
B.在平行四边形ABCD中，一定有＝
C.若a＝b，b＝c，则a＝c
D.若a∥b，b∥c，则a∥c
【解析】　＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故A不正确.在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故B正确.若a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；若b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，所以a＝c，故C正确.对于D，当b＝0时，a与c不一定平行，故D不正确.
【答案】　BC
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