《向量概念》同步练习
一、选择题
1.下列命题:(1)零向量没有方向;(2)单位向量都相等;(3)向量就是有向线段;(4)两向量相等,若起点相同,终点也相同;(5)若四边形为平行四边形,则.其中正确命题的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
2.下列说法正确的是（ ）
A.向量与向量是相等向量
B.与实数类似,对于两个向量,有三种关系
C.两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D.若两个向量是共线向量,则向量所在的直线可以平行,也可以重合
3.已知下列命题：
①若,则为零向量;②若,则;③共线的单位向量是相等向量;④两个有共同起点,而且相等的向量,其终点必相同.其中正确的有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题
4.在中,分别是的中点,则下列说法正确的是______.(填序号）
①与共线
②与共线
③与相等
④与相等
5.已知是不共线的三点,向量与向量是平行向量,与是共线向量,则______.
6.已知中,为的外心,则三个向量中,长度相等且共线的两个向量为______.
三、解答题
7.在如图所示的方格纸上,已知向量,每个小正方形的边长为1.
(1)试以为起点画一个向量,使;
(2)在图中画一个以为起点的向量,使,并说出向量的终点所构成的图形是什么.
8.点是正方形对角线的交点,四边形,都是正方形,在如图所示的向量中:
（1)分别找出与相等的向量;
（2）找出与共线的向量;
（3）找出与长度相等的向量;
（4）向量与是否相等
9.如图所示,已知四边形中,分别是的中点,又且,求证:.
参考答案
1.
答案：A
解析:(1)不正确,零向量不是没有方向,而是方向是任意的.(2)不正确,单位向量只是模均为单位1,而方向不相同.(3)不正确,有向线段只是向量的一种表示形式,不能把两者等同起来.(4)正确.(5)不正确,如图,,但.故选A.
2.
答案：D
解析:由相等向量和平行向量的定义知,D正确,A,C不正确.向量不能比较大小,故不正确.
3.
答案：B
解析:①正确.②错误.③共线的单位向量模相等,但方向有可能相同,也有可能相反,故③错误.④正确.
4.
答案：②
解析:如图所示,因为分别是的中点,由三角形的中位线定理可得,所以与共线.)
5.
答案：0
解析:因为三点不共线,所以与不共线,又因为且,所以.)
6.
答案：与
解析:如图所示,为的外心,所以,长度相等且共线的两个向量为
7.
答案：见解析
解析：(1)根据相等向量的定义,所画向量与向量平行,且长度相等,方向相同(作图略).
(2)由平面几何知识可知,所有这样的向量的终点所构成的图形是以点为圆心,为半径的圆(作图略).
8.
答案：见解析
解析：(1)(2)与共线的向量有.(3)与长度相等的向量有,(4)向量与不相等,因为它们的方向不相同.
9.
答案：见解析
解析：因为,所以且,所以四边形是平行四边形,所以且.又因为与的方向相同，所以.同理可证,四边形是平行四边形,所以.因为,所以.
又的方向相同，所以.
4/5《向量概念》智能提升
课时智能提升
一、选择题
10.下列说法正确的是（ ）
A.若向量共线,则向量的方向相同
B.若,则
C.有相同起点的两个非零向量不平行
D.若,则
11.若且,则四边形的形状为（ ）
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.等腰梯形
12.已知正边形有条边,它们对应的向量依次为,,则这个向量（ ）
A.都相等
B.都共线
C.都不共线
D.模都相等
二、填空题
13.有下列说法：
①向量和向量的长度相等;
②向量;
③向量大于向量;
④单位向量都相等.
其中,正确的说法是______.(填序号)
14.已知某人向正东方向行进后,再向正南方向行进,则此人位移的方向是______.
15.设数轴上有四个点,其中对应的实数分别是1和,且为单位向量,则点对应的实数为______;点对应的实数______; ______;
三、解答题
16.如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的,方格纸中有两个定点,点为小正方形的顶点,且.
(1)画出所有满足条件的向量;
(2)求的最大值与最小值.
17.一辆汽车从点出发向西行驶了到达点,然后又改变方向,向西偏北行驶了到达点,最后又改变方向,向东行驶了到达点.(1)作出向量;(2)求.
18.一个人从点出发沿东北方向走了到达点,然后改变方向,沿南偏东方向又走了到达点,求此人从点走回点的位移.
参考答案
10.
答案：D
点拔:对于,向量共线时,向量的方向相同或相反,故命题错误.对于B,时,则在时不一定成立,故命题错误.对于C,向量的平行只与方向有关,而与起点是否相同无关,故命题错误.对于D,当时,,命题正确.
11.
答案：
解析:由知且,即四边形为平行四边形.又因为,所以四边形为菱形.
12.
答案：D
解析:因为是正边形,所以条边的边长都相等,即这个向量的模都相等.
13.
答案.①
解析:
14.
答案：南偏东
解析:如图所示,此人从点出发,经点,到达点,则.
∵是三角形的内角,
∴,即位移的方向是南偏东.
15.
答案： 或
解析:由相等向量的定义知,点对应的实数为.又,所以点对应的实数为或
16.
答案：见解析
解析：(1)画出所有满足条件的向量,即,,8),如图所示.
(2)由(1)所画的图知,当点位于点或的位置时,取得最小值;当点位于点或的位置时,取得最大值.故的最大值为,最小值为.
17.
答案：见解析
解析：(1)如图所示.
(2)由题意,易知与方向相反,所以与共线,又,所以在四边形中,且,所以四边形为平行四边形,所以|.
18.
答案：见解析
解析：如图,为等边三角形.
∴,即此人从点返回点所走的路程为.
∵,则此人行走的方向为北偏西.故此人从点走回点的位移为沿北偏西方向.
2 / 5《向量概念》核心素养专练
必备知识练
必备知识1向量的概念
1.下列说法中正确的个数是（ ）
①身高是一个向量;②的两条边都是向量;③温度含零上和零下温度,所以温度是向量;④物理学中的加速度是向量.
A.0
B.1
C.2
D.3
2.下列说法正确的是（ ）
A.方向相同或相反的向量是平行向量
B.零向量的长度是0
C.长度相等的向量叫相等向量
D.共线向量是在同一条直线上的向量
必备知识2向量的表示
3.四边形中,与相交于点,则必有（ ）
A.
C.
D.
4.在平面内已知点固定,且,则点构成的图形是( )
A.一个点
B.一条直线
C.一个圆
D.不能确定
5.若为任一非零向量,为单位向量,有下列各式:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)若是与同向的单位向量,则.
其中正确的是______.(填序号)
必备知识3向量的关系
6.设点为外接圆的圆心,则是( )
A.相等向量
B.平行向量
C.模相等的向量
D.起点相同的向量
7.如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了个向量,在这6个向量中:
(1)有两个向量的模相等,这两个向量是______,它们的模都等于______;
(2)存在共线向量,这些共线向量是______,它们的模的和等于______.
必备知识4向量的应用
8.已知四边形中,分别是的中点,,分别是的中点.求证:.
关键能力练
关键能力1向量的应用
9.如图,在梯形中,若分别为腰的三等分点,且,求.
10.如图,已知.求证:
(1);
(2)
关键能力2涉及向量的新定义问题
11.如图所示,已知四边形是矩形,为对角线与的交点,设点集,向量的集合,且不相等,则集合有______个元素.
参考答案
1.
答案：B
解析:身高只有大小,没有方向,故①不正确.同理③不正确.对于②,的两条边只有方向,没有大小,不是向量.对于④,加速度是向量,故选B.
2.
答案：B
解析:对于,由于0与任意向量平行,所以错误.对于B,零向量的长度是0,正确.对于,长度相等的向量方向不一定相同,故错误.对于D,共线向量不一定在同一条直线上,故错误.
3.
答案：D
解析:由于,所以,所以四边形为平行四边形,所
4.
答案：C
解析:由于,所以点构成一个以为圆心,半径为2的圆.
5.
答案：(3)
解析:对于(1),不一定有.对于的方向不一定相同或相反.对于(3),非零向量的模必大于0,即.对于,向量的模是非负数.对于与的方向不一定相同.综上可知(3)正确.
6.
答案：C
解析:根据外接圆的性质可知是模相等的向量.
7.
答案(1) (2)
解析:结合图形可知:(1).
(2)与共线,,故
8.
答案：见解析
解析：如图,在中,由三角形的中位线定理知,
同理,.
所以且与同向,故.
9.
答案：见解析
解析：如图,过作,分别交于点,∵,
∴.
又.
又分别为腰的三等分点,∴为的三等分点,∴且,
∴.
∴.
10.
答案：见解析
解析：(1)∵,且
又∵点不在上,∴,
∴四边形是平行四边形,
∴.
同理可得.
∴
(2)∵四边形是平行四边形,
∴与同向,且,∴.同理可证.
11.
答案：12
解析:以矩形的四个顶点及它的对角线交点这五点中的任一点为起点,其余四点中的一个点为终点的向量共有(个).但这20个向量不是各不相等的,它们有12个向量各不相等,即为
,由元素的互异性知中有12个元素.
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