3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 课件(共43张PPT)

(共43张PPT)
3.1 回归分析的基本思想
及其初步应用
课标要求:
1.了解残差平方和、相关指数R2的概念.
2.了解回归分析的基本步骤.
3.会用残差平方和与相关指数R2对回归模型拟合度进行评判.
4.了解简单的非线性回归分析方法.
素养达成:
通过残差分析的学习,使学生养成了建模能力、数据分析处理能力等.
问题一：线性回归模型 课本 例题1 练习册P58例1、训练1-1
问题二：线性回归分析：残差图与 练习册P58例2、训练2-1
问题三：非线性回归方程（与回归直线的联系） 课本P87例2 练习册P59例3、训练3-1
温故知新
两个变量的关系
不相关
相关关系
函数关系
线性相关
非线性相关
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系。
相关关系是一种非确定性关系。
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
1、定义：
1）：相关关系是一种不确定性关系；
注
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。
2）：
2、现实生活中存在着大量的相关关系。
如：人的身高与年龄；
产品的成本与生产数量；
商品的销售额与广告费；
家庭的支出与收入。等等
负相关
正相关
例1、某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。
根据最小二乘法估计 和 就是未知参数a和b的最好估计，
于是有
所以回归方程是
所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为
探究P4：
身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？
样本点呈条状分布，身高和体重有较好的线性相关关系，因此可以用回归方程来近似的刻画它们之间的关系.
解：散点图：
3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a简单描述它们关系。
我们可以用下面的线性回归模型来表示：
y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，
e称为随机误差。
思考P3
产生随机误差项e
的原因是什么？
思考P3
产生随机误差项e的原因是什么？
随机误差e的来源(可以推广到一般）：
1、其它因素的影响：影响体重 y 的因素不只是身高 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；
2、身高 x的观测误差。
线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y的变化。
在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y为预报变量。
残差
数据点和它在回归直线上相应位置的差异 称为相应于点（xi，yi ） 的残差。
例：编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）
残差平方和
把每一个残差所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：
称为残差平方和
在例1中，残差平方和约为128.361。
表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。
残差分析与残差图的定义：
我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，
判断原始数据中是否存在可疑数据，
这方面的分析工作称为残差分析。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
残差 -6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382
我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。
残若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；
对于远离横轴的点，要特别注意。
身高与体重残差图
异常点
错误数据
模型问题
几点说明：
第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。
另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是
显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。
R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）
如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。
总的来说：
相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。
在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。
一般地，建立回归模型的基本步骤为：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。
（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。
（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
例2、在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：
求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。
价格x 14 16 18 20 22
需求量Y 12 10 7 5 3
解：
例2、在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：
求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。
价格x 14 16 18 20 22
需求量Y 12 10 7 5 3
列出残差表为
0.994
因而，拟合效果较好。
0
0.3
-0.4
-0.1
0.2
4.6
2.6
-0.4
-2.4
-4.4
相关指数越大，效果越好
残差平方和越小，效果越好
探索无止境
小结
1.残差平方和与模型拟合效果关系：
2.相关指数与模型拟合效果关系
1.2.3循环语句
新课标高二数学 选修2-3
3.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）
复习回顾
1、线性回归模型：
y=bx+a+e， (3)
其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。
y=bx+a+e，
E(e)=0,D(e)= (4)
2、数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，称 为残差。
3、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：
称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。
4、两个指标：
（1）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作
为 的估计量， 越小，预报精度越高。
（2）我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其
计算公式是：
R2 1，说明回归方程拟合的越好；R2 0，说明回归方程拟合的越差。
表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。
在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。
5、残差分析与残差图的定义：
然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
残差 -6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382
我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。
残差图的制作及作用
1、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；
2、若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；
3、对于远离横轴的点，要特别注意。
身高与体重残差图
异常点
错误数据
模型问题
几点说明：
第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。
另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。
6、注意回归模型的适用范围：
（1）回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。样本数据来自哪个总体的，预报时也仅适用于这个总体。
（2）模型的时效性。利用不同时间段的样本数据建立的模型，只有用来对那段时间范围的数据进行预报。
（3）建立模型时自变量的取值范围决定了预报时模型的适用范围，通常不能超出太多。
（4）在回归模型中，因变量的值不能由自变量的值完全确定。正如前面已经指出的，某个女大学生的身高为172cm，我们不能利用所建立的模型预测她的体重，只能给出身高为172cm的女大学生的平均体重的预测值。
7、一般地，建立回归模型的基本步骤为：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。
（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。
（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
例1 在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：
求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。
价格x 14 16 18 20 22
需求量Y 12 10 7 5 3
解：
例1 在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：
求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。
价格x 14 16 18 20 22
需求量Y 12 10 7 5 3
列出残差表为
0.994
因而，拟合效果较好。
0
0.3
-0.4
-0.1
0.2
4.6
2.6
-0.4
-2.4
-4.4
案例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：
（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。
（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？
温度xoC
21
23
25
27
29
32
35
产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
非线性回归问题
假设线性回归方程为 ： =bx+a
选 模 型
由计算器得：线性回归方程为y=19.87x-463.73
相关指数R2=r2≈0.8642=0.7464
估计参数
解：选取气温为解释变量x，产卵数
为预报变量y。
选变量
所以，一次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。
探索新知
画散点图
0
50
100
150
200
250
300
350
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
方案1
分析和预测
当x=28时，y =19.87×28-463.73≈ 93
一元线性模型
奇怪？
93>66
模型不好？
y=bx2+a 变换 y=bt+a
非线性关系 线性关系
方案2
问题１
选用y=bx2+a ，还是y=bx2+cx+a ？
问题3
产卵数
气温
问题2
如何求a、b ？
合作探究
t=x2
二次函数模型
方案2解答
平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a
温度
21
23
25
27
29
32
35
温度的平方t
441
529
625
729
841
1024
1225
产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.543，相关指数R2=0.802
将t=x2代入线性回归方程得：
y=0.367x2 -202.543
当x=28时，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，
所以，二次函数模型中温度解
释了80.2%的产卵数变化。
t
问题２
变换 y=bx+a
非线性关系 线性关系
问题１
如何选取指数函数的底
产卵数
气温
指数函数模型
方案3
合作探究
对数
方案3解答
温度xoC
21
23
25
27
29
32
35
z=lny
1.946
2.398
3.045
3.178
4.190
4.745
5.784
产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
x
z
当x=28oC 时，y ≈44 ，指数回归模型中温度解释了98.5%的产卵数的变化
由计算器得：z关于x的线性回归方程
为
对数变换：在 中两边取常用对数得
令 ，则
就转换为z=bx+a.
相关指数R2=0.98
最好的模型是哪个
产卵数
气温
产卵数
气温
线性模型
二次函数模型
指数函数模型
比一比
函数模型 相关指数R2
线性回归模型 0.7464
二次函数模型 0.80
指数函数模型 0.98
最好的模型是哪个
回归分析（二）
则回归方程的残差计算公式分别为：
由计算可得：
x 21 23 25 27 29 32 35
y 7 11 21 24 66 115 325
0.557 -0.101 1.875 -8.950 9.230 -13.381 34.675
47.696 19.400 -5.832 -41.000 -40.104 -58.265 77.968
因此模型（1）的拟合效果远远优于模型（2）。
下面模型(1)(2)分别是前面的指数和二次函数模型：
总 结
对于给定的样本点
两个含有未知参数的模型：
其中a和b都是未知参数。拟合效果比较的步骤为：
（1）分别建立对应于两个模型的回归方程
与 其中 和 分别是参数a和b的估计值；
（2）分别计算两个回归方程的残差平方和
与
（3）若 则 的效果比
的好；反之， 的效果不如 的好。
练习：为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：
天数x/天
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y/个
6
12
25
49
95
190
（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些
数据的散点图；
（2） 描述解释变量与预报变量
之间的关系；
（3） 计算残差、相关指数R2.
天数
繁殖个数
解：（1）散点图如右所示
（2）由散点图看出样本点分布在一条指数函数y= 的周围，于是令Z=lny,则
x
1
2
3
4
5
6
Z
1.79
2.48
3.22
3.89
4.55
5.25
由计数器算得 则有
6.06
12.09
24.09
48.04
95.77
190.9
y
6
12
25
49
95
190
（3）
即天数（解释变量）解释了99.99%的繁殖细菌（预报变量）的个数变化。