苏教版（2019）高中数学必修第一册 1.1 集合的概念与表示 【能力提升】（含解析）

第1章　集合
1.1　集合的概念与表示
【能力提升】
题组一　集合中元素的特征
1.已知A={x|-1A.{k|2C.{k|22.已知a∈R,b∈R,若集合={a2,a+b,0},则a2 020+b2 019的值为(　　)
A.-2 B.1 C.-1 D.2
3.(多选)下列选项中的两个集合相等的有(　　)
A.P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n+1),n∈Z}
B.P={x|x=2n-1,n∈N*},Q={x|x=2n+1,n∈N*}
C.P={x|x2-x=0},Q=
D.P={x|y=x+1},Q={(x,y)|y=x+1}
4.集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为　　　　.
5.已知集合{x|(x-1)·(x2-x+a)=0,x∈R}中的所有元素之和为1,则实数a的取值范围为　　　　.
6.已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,求a的值.
题组二　元素与集合关系的应用
7.若集合A={x|ax≥1}是包含-2的无限集,则a的取值范围是(　　)
A.a>- B.a≥- C.a<- D.a≤-
8.已知集合A中元素满足2x+a>0,a∈R,若1 A,2∈A,则(　　)
A.a>-4 B.a≤-2 C.-49.(多选)已知x,y,z为非零实数,代数式的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是(　　)
A.0 M B.2∈M C.-4∈M D.4∈M
10.已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则2 020a的值为　　　　.
11.数集A满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1).
(1)若2∈A,试求出A中其他所有元素;
(2)自己设计一个数属于A,然后求出A中其他所有元素;
(3)从上面的解答过程中,你能悟出什么道理 并大胆证明你发现的道理.
12.已知集合A中的元素x满足x=m2-n2(m,n∈Z),求证:
(1)3∈A;
（2）偶数4k-2(k∈Z)不属于集合A.
答案全解全析
第1章　集合
1.1　集合的概念与表示
【能力提升】
1.C　因为A={x|-12.B　易知a≠0,∵={a2,a+b,0},∴=0,即b=0,∴{a,0,1}={a2,a,0}.∴a2=1,解得a=-1或a=1.
当a=1时,集合为{1,0,1},不符合集合中元素的互异性,故舍去;
当a=-1时,集合为{-1,0,1}.
综上,a=-1,b=0.
∴a2 020+b2 019=(-1)2 020+02 019=1.
3.AC　选项A中,集合P,Q都表示所有偶数组成的集合,所以P=Q;选项B中,P是由所有正奇数组成的集合,Q是由所有大于1的正奇数组成的集合,1 Q,所以P≠Q;
选项C中,P={0,1},对于Q,当n为奇数时,x==0,当n为偶数时,x==1,所以Q={0,1},P=Q;
选项D中,集合P是由直线y=x+1上点的横坐标构成的集合,而集合Q是由直线y=x+1上点的坐标构成的集合,所以P≠Q.
4.答案　0,1,2
解析　∵x∈N,∈N,
∴0≤x≤2且x∈N.
当x=0时,=2∈N;
当x=1时,=3∈N;
当x=2时,=6∈N.
∴集合A中的元素为0,1,2.
5.答案　∪{0}
解析　令x-1=0,解得x=1.
①若x2-x+a=0无实根,则Δ=1-4a<0,解得a>,
此时集合只有一个元素1,满足题意;
②若x2-x+a=0有两个相等实根,则Δ=1-4a=0,解得a=,
即x2-x+=0,解得x1=x2=.此时集合为,不满足元素之和为1;
③若x2-x+a=0有两个不等实根,则Δ=1-4a>0,解得a<,
设此时方程x2-x+a=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=1.
当x1≠1,x2≠1时,集合为{1,x1,x2},不满足元素之和为1;
当x1,x2中一个为1,另一个为0时,集合为{1,0},满足元素之和为1.
故a=x1x2=0.
综上所述,a∈∪{0}.
6.解析　由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a,
解得a=-1或a=-.
当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性;
当a=-时,a-2=-,2a2+5a=-3,符合题意.
综上,a=-.
7.D　因为集合A={x|ax≥1}是包含-2的无限集,所以-2∈A,所以-2a≥1,所以a≤-,经检验满足题意.
8.D　∵1 A,∴2×1+a≤0,∴a≤-2.
又∵2∈A,∴2×2+a>0,∴a>-4,
∴-49.CD　根据题意,分4种情况讨论:
①x,y,z全部为负数时,xyz为负数,则=-4;
②x,y,z中有一个为负数时,xyz为负数,则=0;
③x,y,z中有两个为负数时,xyz为正数,则=0;
④x,y,z全部为正数时,xyz也为正数,则=4,
则M={-4,0,4}.故选CD.
10.答案　1
解析　①若a+2=1,即a=-1,则(a+1)2=0,a2+3a+3=1,不满足集合中元素的互异性;
②若(a+1)2=1,则a=-2或a=0,
当a=-2时,a+2=0,a2+3a+3=1,不满足集合中元素的互异性,
当a=0时,a+2=2,a2+3a+3=3,满足题意;
③若a2+3a+3=1,则a=-1或a=-2,由①②可知均不满足集合中元素的互异性.
综上,实数a的值为0,故2 020a的值为1.
11.解析　(1)2∈A,则∈A,即-1∈A,
则∈A,即∈A,则∈A,
即2∈A,所以A中其他所有元素为-1,.
(2)如:若3∈A,则A中其他所有元素为-.(答案不唯一)
(3)分析以上结果可以得出:A中只能有3个元素,它们分别是a,,且三个数的乘积为-1.
证明如下:若a∈A,a≠1,
则有∈A且≠1,
所以∈A且≠1,
进而有=a∈A.
又因为a≠若a=,则a2-a+1=0,而方程a2-a+1=0无解,
所以≠,所以A中只能有3个元素,
它们分别是a,,且三个数的乘积为-1.
12.证明　(1)令m=2∈Z,n=1∈Z,
得x=m2-n2=4-1=3,
所以3∈A.
(2)假设4k-2∈A(k∈Z),则存在m,n∈Z,
使4k-2=m2-n2=(m+n)(m-n)(k∈Z)成立.
①当m,n同奇或同偶时,m+n,m-n均为偶数,
所以(m+n)(m-n)为4的倍数,与4k-2(k∈Z)不是4的倍数矛盾.
②当m,n一奇一偶时,m+n,m-n均为奇数,所以(m+n)(m-n)为奇数,与4k-2(k∈Z)是偶数矛盾.所以假设不成立.
综上所述,4k-2 A(k∈Z).
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