苏教版（2019）高中数学必修第一册 1.1 集合的概念与表示（解析版）

1.1集合的概念与表示
教材知识梳理
元素与集合的概念
集合：一般地一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合，通常用大写的拉丁字母来表示集合．
元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素．简称元．通常用小写的拉丁字母来表示．元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如a是集合A的元素，即a属于集合A a∈A “a属于A”
不属于 如a不是集合A的元素，即a不属于集合A a A或aA “a不属于A”
集合的表示法
列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{　}”内，元素之间用逗号分隔，称为列举法．
描述法：将集合的所有元素都具有的性质表示出来，写成{x|p(x)}的形式，称为描述法．
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来．
例题研究
元素与集合的概念
题型探究
例题1
用表示非空集合中的元素的个数，定义，已知集合有三个真子集，，若，设实数的所有可能取值构成集合，则（ ）
A． B． C． D．
例题2
下列说法正确的是
A．我校爱好足球的同学组成一个集合
B．是不大于3的自然数组成的集合
C．集合和表示同一集合
D．数1，0，5，，，， 组成的集合有7个元素
跟踪训练
训练1
下列关于集合的命题正确的有
①很小的整数可以构成集合 ②集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y) |y=2x2+1}是同一个集合;
③1，2，|-|，0.5，这些数组成的集合有5个元素 ④空集是任何集合的子集
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
训练2
下列四组对象中能构成集合的是（ ）.
A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数 D．倒数等于本身的数
元素与集合的关系
题型探究
例题1
下列关系中，正确的是　　
A． B． C． D．
例题2
下列描述正确的有（ ）
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合与集合是同一个集合；
（3）这些数组成的集合有5个元素；
（4）偶数集可以表示为.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
跟踪训练
训练1
下列说法正确的有（ ）
①联盟中所有优秀的篮球运动员可以构成集合；
②；
③集合与集合是同一个集合；
④空集是任何集合的真子集.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
训练2
已知四个关系式：，，，，其中正确的个数
A．个 B．个 C．个 D．个
三、集合的表示法
题型探究
例题1
方程组的解集不能表示为．
A． B．
C． D．
例题2
集合，用列举法可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
跟踪训练
训练1
以下说法中正确的个数是(　 　)
①0与表示同一个集合；
②集合与表示同一个集合；
③方程的所有解的集合可表示为；
④集合不能用列举法表示．
A．0 B．1 C．2 D．3
训练2
集合的另一种表示法是（ ）
A． B． C． D．
综合式测试
选择题
1．设，，为实数，记集合，，，.若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
2．已知非空集合满足以下两个条件：
（ⅰ），；
（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，
则有序集合对的个数为
A． B． C． D．
3．用表示非空集合中元素个数，定义，则，，且，则实数的值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．直角坐标平面中除去两点 可用集合表示为（ ）
A．
B．或
C．
D．
5．已知集合，，，且，，，若，则．
A． B．
C． D．且
6．下列选项中，表示同一集合的是
A．A={0，1}，B={（0，1）} B．A={2，3}，B={3，2}
C．A={x|–1填空题
7．设是4个互不相同的实数，且，则集合____________.
8．设是整数集的一个非空子集，对于，如果，，那么称是的一个“孤立元”.给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个.
解答题
9．设集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，求的非空真子集个数；
（3）当时，不存在元素使与同时成立，求实数的取值范围.
10．已知集合
（1）证明：若，则是偶数；
（2）设，且，求实数的值；
（3）设，求证：；并求满足不等式的的值.
11．已知集合，其中为常数，且.
（1）若A是单元素集合，求的取值范围；
（2）若A中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围.
12．已知由实数组成的集合，，又满足:若，则．
（1）设中含有3个元素，且求A；
（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
（3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．
1.1集合的概念与表示解析
教材知识梳理
元素与集合的概念
集合：一般地一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合，通常用大写的拉丁字母来表示集合．
元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素．简称元．通常用小写的拉丁字母来表示．
元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如a是集合A的元素，即a属于集合A a∈A “a属于A”
不属于 如a不是集合A的元素，即a不属于集合A a A或aA “a不属于A”
集合的表示法
列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{　}”内，元素之间用逗号分隔，称为列举法．
描述法：将集合的所有元素都具有的性质表示出来，写成{x|p(x)}的形式，称为描述法．
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来．
例题研究
元素与集合的概念
题型探究
例题1
用表示非空集合中的元素的个数，定义，已知集合有三个真子集，，若，设实数的所有可能取值构成集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件求得，可得出或，然后对实数的取值进行分类讨论，确定方程的解的个数，由此可求得实数的所有可能取值，即可得出的值.
【详解】
由题意可知，集合的真子集个数为，解得，
由题中定义可得，或.
由题意可知，为关于的方程的一根.
当时，则，则方程只有一个实根，可得，
此时，方程无实根，则满足条件；
当时，则关于的方程有三个根，必有，
此时，关于的方程的两根分别为，，分以下两种情况讨论：
①若是方程的一根时，则，解得.
当时，则，合乎题意；
当时，则，合乎题意；
②当方程有两个相等的实根，则，解得.
当时，，合乎题意；
当时，，合乎题意.
因此，，即.
故选：D.
【考点】考查集合新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等
例题2
下列说法正确的是
A．我校爱好足球的同学组成一个集合
B．是不大于3的自然数组成的集合
C．集合和表示同一集合
D．数1，0，5，，，， 组成的集合有7个元素
【答案】C
【分析】根据集合的含义逐一分析判断即可得到答案
【详解】
选项A，不满足确定性，故错误
选项B，不大于3的自然数组成的集合是，故错误
选项C,满足集合的互异性，无序性和确定性，故正确
选项D，数1，0，5，，，， 组成的集合有5个元素，故错误
故选C
【考点】考查集合的含义，利用其确定性、无序性、互异性进行判断
跟踪训练
训练1
下列关于集合的命题正确的有
①很小的整数可以构成集合
②集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y) |y=2x2+1}是同一个集合;
③1，2，|-|，0.5，这些数组成的集合有5个元素
④空集是任何集合的子集
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】运用集合元素的性质和空集的知识来判断命题
【详解】
①很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素确定性，故错误
②集合为，需要求出函数的值域，而表示的集合为函数图象上的点，所以不是同一集合，故错误
③l，2，，0.5，这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故错误
④空集是任何集合的子集正确
综上只有1个命题正确，故选
【考点】考查集合元素的性质、集合相等和空集等知识
训练2
下列四组对象中能构成集合的是（ ）.
A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数 D．倒数等于本身的数
【答案】D
【分析】根据集合中元素具有确定性判断选项即可得到结果.
【详解】
集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；
对于，符合集合的定义，正确.
故选：.
【考点】考查集合的定义，关键是明确集合中的元素具有确定性
元素与集合的关系
题型探究
例题1
下列关系中，正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用元素与集合的关系依次对选项进行判断即可．
【详解】
选项A：，错误；
选项B，，错误；
选项C，，正确；
选项D， 与是元素与集合的关系，应该满足，故错误；
故选C．
【考点】考查元素与集合的关系
例题2
下列描述正确的有（ ）
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合与集合是同一个集合；
（3）这些数组成的集合有5个元素；
（4）偶数集可以表示为.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】利用集合的确定性判断（1）；集合的元素的属性判断（2）；集合的元素的互异性判断（3）；集合的含义判断（4），即可得出正确选项.
【详解】
对于（1），很小的实数可以构成集合；不满足集合的确定性，故不正确；
对于（2），集合中的元素为实数；
集合中的元素为点的坐标，
集合的属性不同，故不是同一个集合，故不正确；
对于（3），这些数组成的集合中，
由于，，由集合元素的互异性，
集合中的元素不是5个，故不正确；
对于（4），偶数集可以表示为，正确，符合集合的含义；
故选：B
【考点】考查集合的特征，需理解并掌握集合的特征
跟踪训练
训练1
下列说法正确的有（ ）
①联盟中所有优秀的篮球运动员可以构成集合；
②；
③集合与集合是同一个集合；
④空集是任何集合的真子集.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】根据集合的定义，元素与集合的关系，列举法和描述法的定义以及空集的性质分别判断命题真假．
【详解】
对于①，优秀的篮球队员概念不明确，不能构成集合，错误；
对于②，元素与集合的关系应为属于或不属于，即0 N*，错误；
对于③，集合是数集，集合{（x，y）|y=x2-1}表示的是满足等式的所有点，不是同一个集合，错误；
对于④，空集是任何非空集合的真子集，错误；
故选A．
【考点】考查集合的确定性，元素与集合的关系，列举法和描述法表示集合以及空集的有关性质
训练2
已知四个关系式：，，，，其中正确的个数
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据关系式，逐个判断相关元素是否属于相应的集合，即可得解.
【详解】
对，满足，正确；
对，是有理数，故错误；
对，是自然数，正确；
对，空集中没有元素，错误.
所以有两个正确，
故选：C.
【考点】考查元素和集合的关系，考查了等符号的含义
三、集合的表示法
题型探究
例题1
方程组的解集不能表示为．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由方程组，解得，得到解集中只含有一个元素，根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解．
【详解】
由题意，方程组，解得，其解集中只含有一个元素，根据集合的表示方法，其中A，B．D项表示都是正确的，其中选项C是表示由两个元素组成的熟记，不符合要求，所以不能表示为．
故选C．
【考点】考查集合的表示方法
方程组的解集不能表示为．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由方程组，解得，得到解集中只含有一个元素，根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解．
【详解】
由题意，方程组，解得，其解集中只含有一个元素，根据集合的表示方法，其中A，B．D项表示都是正确的，其中选项C是表示由两个元素组成的熟记，不符合要求，所以不能表示为．
故选C．
【考点】考查集合的表示方法
例题2
集合，用列举法可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】据题意可得是6的约数，然后逐一检验的各个取值是否是正自然数，从而确定的各个可能的取值，进而得到的各个可能的取值,即可得出的列举法表示.
【详解】
∵是6的约数，
，
,得
,得
,得
,得
,得,与已知矛盾，故；
,得；
,得, 与已知矛盾，故
得.
故的值只能是，
对应的值依次为即.
故选：.
【考点】考查集合的描述法与列举法的转化
跟踪训练
训练1
以下说法中正确的个数是(　 　)
①0与表示同一个集合；
②集合与表示同一个集合；
③方程的所有解的集合可表示为；
④集合不能用列举法表示．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据集合的表示方法，以及集合中元素的特征.
【详解】
由题意，可知①中，0不是一个集合，所以0与集合表示同一个集合是不正确的；
②中，集合是表示含有两个元素的集合，而集合表示仅含有一个运算的集合，所以集合表示不同的集合，所以不正确；
③中，方程的解构成的集合为，所以不正确；
④中，集合表示一个无限数集，所以不能用列举法表示，所以是正确的，
故选B.
【考点】考查集合表示的方法，以及集合中元素的特征
训练2
集合的另一种表示法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题中所给集合中元素为小于5的正自然数，改用列举法表示即可.
【详解】
集合中元素为小于5的正自然数，可用列举法表示为.
故选：B
【考点】考查集合的表示方法
综合式测试
选择题
1．设，，为实数，记集合，，，.若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】D
【分析】要发现与 与的解的关系，同时考虑，以及判别式对方程的根的个数的影响，通过假设最高次含参数的方程有一个解，有两个解，逆推集合的解的情况即可.
【详解】
令，则方程至少有个实数根，
当时，方程还有一个根，
只要，方程就有个实数根，
，方程只有个实数根，
当时，方程只有个实数根，
当时，方程有个或个实数根，
当时，且，
当时，且，
当时，且，
若时，有一个解，有两个解，
且的解不是的解，
，即，
的解不是的解，
又有两个解，故，
有两个不等的根，
有3个解，即，
故不可能成立，
故选：.
【考点】考查集合的元素个数
2．已知非空集合满足以下两个条件：
（ⅰ），；
（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，
则有序集合对的个数为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，分别讨论集合A、B中元素的个数，列举所有可能，即可得到结果．
【详解】
根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素
1、当集合A只有一个元素时，集合B中有5个元素，且，此时仅有一种结果，；
2、当集合A有两个元素时，集合B中有4个元素，且，此时集合A中必有一个元素为4，集合B中必有一个元素为2，故有如下可能结果：
（1），；（2），；（3），；（4），．共计4种可能．
3、可以推测集合A中不可能有3个元素；
4、当集合A中的4个元素时，集合B中的2个元素，此情况与2情况相同，只需A、B互换即可．共计4种可能．
5、当集合A中的5个元素时，集合B中的1个元素，此情况与1情况相同，只需A、B互换即可．共1种可能．
综上所述，有序集合对（A，B）的个数为10．答案选A．
【考点】考查元素关系
3．用表示非空集合中元素个数，定义，则，，且，则实数的值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】先由方程，根据判别式判定；再由题中条件，得到或4，再由时，方程一定有根，推出集合中的方程有4个不同的根，得出方程以及必须都有两不同的根，进而可求出结果.
【详解】
集合中的方程，其，
所以
因为定义，且，
所以或4，
即集合中的方程，有0个根或者4个根，
而当时，方程一定有根，
所以集合中的方程，有4个不同的根，
则需方程以及必须都有两不同的根，
从而得到，
所以或.
故选：D.
【考点】考查集合的新定义问题，考查由集合中元素个数求参数的问题，属于中档题型.
4．直角坐标平面中除去两点 可用集合表示为（ ）
A．
B．或
C．
D．
【答案】C
【分析】直角坐标平面中除去两点 ，其余的点全部在集合中，逐一排除法．
【详解】
直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，
选项中除去的是四条线；
选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；
选项，则且，即除去两点 ，符合题意；
选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点．
故选：C
【考点】考查集合的基本概念，属于中档题．
5．已知集合，，，且，，，若，则．
A． B．
C． D．且
【答案】B
【分析】设，得到，结合集合的表示，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，设，，，，，，
则，
令，则，且，，
则，故选B．
【考点】考查集合的表示方法及其应用
6．下列选项中，表示同一集合的是
A．A={0，1}，B={（0，1）} B．A={2，3}，B={3，2}
C．A={x|–1【答案】B
【分析】利用集合相等的定义直接求解．
【详解】
在A中，A={0，1}是数集，B={（0，1）}是点集，二者不表示同一集合，故A错误；在B中，A={2，3}，B={3，2}，集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等，表示同一集合，故B正确；在C中，A={x|–1【考点】考查集合相等的判断，考查集合相等的定义等基础知识
填空题
7．设是4个互不相同的实数，且，则集合____________.
【答案】
【分析】不妨设，集合中至多有6个数，确定中的最小和最大的数，再确定次小与次大的数，然后还有两个相等为中间的数，由此可得解．
【详解】
不妨设，则在集合中，最小，最大，即，，第二小的数是，第二大的数是，即，，从而有，
由，，，，，可解得，，，，
故答案为：
【考点】考查求集合中的元素，解题时根据集合的定义，把排列，再根据集合的定义得出结论后可求解
8．设是整数集的一个非空子集，对于，如果，，那么称是的一个“孤立元”.给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个.
【答案】
【分析】由题意可知，不含“孤立元”的个元素的集合中，集合中的个元素一定是连续的个自然数，列举出符合条件的集合，即可得出结果.
【详解】
由题意可知，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数，
故这样的集合有：、、、、、，共个.
故答案为：.
【考点】考查集合中的新定义，列举出符合条件的集合是解题的关键，属于中等题.
解答题
9．设集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，求的非空真子集个数；
（3）当时，不存在元素使与同时成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）254 （3）
【分析】
（1）对集合B分空集和非空集两种情况讨论得解；（2）当时，，再求的非空真子集个数；（3）分和两种情况讨论得解.
【详解】
（1）当，即时，，满足.
当，即时，要使成立，
只需即.
综上，当时，的取值范围是.
（2）当时，，
∴集合的非空真子集个数为.
（3）∵，且，，
又不存在元素使与同时成立，
∴当，即，得时，符合题意；
当，即，得时，
或解得.
综上，所求的取值范围是.
【考点】考查集合的关系和真子集的个数的计算，考查集合的元素和集合的关系
10．已知集合
（1）证明：若，则是偶数；
（2）设，且，求实数的值；
（3）设，求证：；并求满足不等式的的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析；.
【分析】（1）将代入化简即可判断；
（2）设，.由（1）可知，即,或.再分别代入，验证是否符合题意即可；
（3）设且则代入 化简可得结论，等式同时除以可得,得，可得结果.
【详解】
（1）证明：若，则且.
所以
因为所以原式.
因为.所以偶数.原式得证
（2）因为，且则，所以
设，.
由（1）可知，即
所以或.
当时，代入可得
此时，满足，所以成立
当时，代入解得，
不满足，所以不成立；
综上，可知
（3）证明：因为，所以可设且
则
代入得：
即成立，
原式得证
对于，不等式同时除以可得
由（2）可知，在范围内，
所以，即.
【考点】考查集合与元素之间的关系
11．已知集合，其中为常数，且.
（1）若A是单元素集合，求的取值范围；
（2）若A中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）0或；（2）；（3）或
【分析】
（1）分和两种情况，分别讨论方程的解的情况，可求出答案；
（2）分A中只有一个元素和A中有两个元素两种情况，分别讨论方程的解的情况，可求出答案；
（3）分A中只有一个元素和A中没有元素两种情况，分别讨论方程的解的情况，可求出答案；
【详解】
（1）若A是单元素集合，则方程只有一个实数根，
当时，原方程为，解得，满足题意；
当时，一元二次方程只有一个实数根，则，解得.
所以a的值为0或.
（2）若A中只有一个元素，由（1）知或；
若A中有两个元素，则，且，解得.
综上，时，A中至少有一个元素.
（3）若A中只有一个元素，由（1）知或；
若A中没有元素，则，且，解得，此时方程没有实数根.
综上，或时，A中至多有一个元素.
【考点】考查的是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程的根的情况，是解答本题的关键．
12．已知由实数组成的集合，，又满足:若，则．
（1）设中含有3个元素，且求A；
（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
（3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．
【答案】（1）；（2）不存在这样的，理由见解析；（3）是，证明见解析.
【分析】
（1）根据题意得，，，故；
（2）假设集合是单元数集合，则，根据矛盾即可得答案；
（3）根据已知条件证明，，是集合的元素即可.
【详解】
解：（1）因为若，则，，
所以，，，
所以.
（2）假设集合是仅含一个元素的单元素集合，
则，即：， 由于，故该方程无解，
所以不能是仅含一个元素的单元素集.
（3）因为，，则，则，
所以，故该集合有三个元素，下证，，互不相等即可.
假设，则，该方程无解，故，不相等，
假设，则，该方程无解，故，不相等，
假设，则，该方程无解，故，不相等.
所以集合中含元素个数一定是个.
【考点】考查集合与元素的关系
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