《集合的概念与表示》同步练习
一、选择题
1.下列各组对象：
①高二（1）班个子高的学生；
②《高中数学》（必修第一册）中的所有难题；
③所有奇数；
④平面上到定点O的距离等于6的点的全体；
⑤全体著名的物理学家.
其中能构成集合的有（ ）
A.2组
B.3组
C.4组
D.5组
2.已知集合，则集合A中元素的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
3.下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.以方程和方程的解为元素构成的集合为M，则M中元素的个数为_________.
5.将集合用列举法表示为_________.
6.若集合P含有两个元素1，2，集合Q含有两个元素1，，且P与Q相等，则________.
三、解答题
7.设集合A是由为元素组成的集合，求实数k的取值范围.
8.若集合又可表示为，求的值.
9.用适当的方法表示下列对象构成的集合：
（1）绝对值不大于2的所有整数；
（2）方程组的解；
（3）函数图象上的所有点.
参考答案
1.
答案：A
解析：只有③④符合集合的含义，满足确定性.
2.
答案：B
解析：
3.
答案：B
解析：B中，，D中，.
4.
答案：3
解析：方程的解为2和3，方程的解为2和，由元素的互异性知集合M有3个元素.
5.
答案：
解析：
6.
答案：
解析：由两个集合相等得，故，经检验都符合题意.
7.
答案：见解析
解析：由集合元素的互异性特征知：，且，且，
解得：.
所以所求实数k的取值范围是：.
8.
答案：见解析
解析：由题知，故.
.
又，故,
.
9.
答案：见解析
解析：（1）由于，且，所以x的值可以为，0，1，2所以绝对值不大于2的所有整数构成的集合用列举法表示为，或用描述法表示为.
（2）解方程组得
所以用列举法表示方程组的解集为.
（3）函数图象上的点可以用坐标表示，其满足的条件是，所以用描述法可表示为.
2 / 4《集合的概念与表示》核心素养专练
必备知识练
必备知识1 集合的含义
一、选择题
1.下面给出的四个选项中，能构成集合的是（ ）
A.速度特别快的汽车
B.聪明的人
C.12的近似值
D.倒数等于它本身的实数
2.若，则（ ）
A.1
B.
C.0或1
D.0或1或
3.方程与方程的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
必备知识2 元素与集合的关系
一、选择题
4.已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
5.用“”或“”填空.
（1）设集合A是正整数的集合，则0_________A，_________A，_________ A；
（2）设集合D是由满足的有序实数对组成的，则________D，________D.
二、解答题
6.设，集合A中含有三个元素.求实数x应满足的条件.
必备知识3 集合的表示方法
一、选择题
7.集合用列举法表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.集合用描述法可表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
必备知识4 集合的分类
一、选择题
9.下列集合是有限集的是（ ）
A.是能被3整除的数}
B.
C.
D.是面积为1的菱形}
关键能力练
关键能力1 涉及两个集合的新定义问题
一、选择题
10.已知，定义，则集合等于（ ）
A.
B.
C.
D.
11.设P，Q为两个非空数集，定义集合，若，则中元素的个数为（ ）
A.9
B.8
C.7
D.6
12.定义集合，设集合，则集合的所有元素之和为（ ）
A.0
B.6
C.12
D.18
关键能力2 利用元素与集合的关系求参数的值或范围
一、填空题
13.已知.若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围___________.
二、解答题
14.已知集合，若，试求实数a的值.
15.已知集合.若A中至少有一个元素，求a的取值范围.
关键能力3 集合中元素的个数问题
一、选择题
16.已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A.9
B.8
C.5
D.4
17.已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A.1
B.3
C.5
D.9
18.已知集合，则B中所含元素的个数为（ ）
A.3
B.6
C.8
D.10
参考答案
1.
答案：D
解析：易知，A，B，C中所指的对象都不确定，故不能构成集合；D中倒数等于它本身的实数为，是确定的，故能构成集合，故选D.
2.
答案：B
解析：若，则有或.①当时，，不符合集合中元素的互异性；②当时,或（舍）.当时，，符合题意. ，选B.
3.
答案：C
解析：这两个方程的实数解分别是2，，3，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合含有3个元素.
4.
答案：B
解析：由，可得，由，可得，故选B.
5.
答案：（1）（2）
解析：（1）0不是正整数，不是正整数，是正整数；（2）不是有序实数对，所以是实数对，且，故.
6.
答案：见解析
解析：根据集合中元素的互异性，可知得即且且.
7.
答案：B
解析：由，得.又x∈N，.故选B.
8.
答案：D
解析：通过观察发现中的第项的分母为n，分子为，所以集合用描述法可表示为.
9.
答案：C
解析：对于选项C，该集合可表示为，为有限集，易知选项A，B，D中的集合都为无限集.故选C.
10.
答案：C
解析：由定义知，中的元素是把A中的元素1，2，3除去B中的元素2而得到的1，3，即.
11.
答案：B
解析：集合中的元素为，而a在集合P中取，b在集合Q中取，故集合共由1，2，3，4，6，7，8，11这8个元素组成.
12.
答案：D
解析：根据题意，应先写出新集合中的元素，因为,所以，故所有元素之和为0+6+12=18.
13.
答案：
解析：由题意可得x只能取3，4，5，故.
14.
答案：见解析
解析：因为，且，所以a的取值为1，3或.当时，，这与集合中元素的互异性矛盾，故舍去；当时，，符合题意；当时，，此时，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去综上知.
15.
答案：见解析
解析：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素.
①当时，方程为一元二次方程，由，得，即当时，A中有一个或两个元素；
②当时，方程化为显然只有一个根，故A中有一个元素.
综上可知，a的取值范围为.
16.
答案：A
解析：由知，.又，所以，，所以，所以A中元素的个数为9.
17.
答案：C
解析：当时，可取；当时，可取1，0，；当时，可取2，1，0.根据集合中元素的互异性可知集合B中的元素为，0，1，2，共5个.
18.
答案：D
解析：由题意可得集合，，共含有10个元素.
1 / 7《集合的概念与表示》智能提升
一、选择题
1.集合表示（ ）
A.方程
B.点
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.函数图象上的所有点组成的集合
2.若,用列举法将集合表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.定义集合运算：.设，则集合的所有元素之和为（ ）
A.0
B.2
C.3
D.6
二、填空题
4.一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形构成的集合中元素的个数为________.
5.若集合，则集合B用列举法可表示为________.
6.已知，则集合中所有元素之和为__________.
三、解答题
7.集合，若点，且，试求m，n的取值范围.
8.若，集合，求的值.
9.若集合中至多有一个元素，求实数a的取值范围.
参考答案
1.
答案：D
解析：集合一定为点集.
2.
答案：D
解析：注意此题中x可以取1或2，y也可以取1或2，故有四个点.
3.
答案：D
解析：由题意，故元素之和为6.
4.
答案：4
解析：（1）顶角为40°，腰长为1；（2）顶角为40°，底边长为1；（3）底角为40°，腰长为1；（4）底角为40°，底边长为1.
5.
答案：
解析：.注意互异性.
6.
答案：2
解析：本题应先转化已知条件，解出a的值，然后代入求解由，得，所以，所以集合，答案可求.
7.
答案：见解析
解析：，
满足不等式,
即，即.
，
满足不等式,
即，即.
故m，n的取值范围分别为.
8.
答案：见解析
解析：由，可知，则只能,
则有对应关系①或②
由①得符合题意；
②无解；
故.
9.
答案：见解析
解析：当时，方程有实数解，符合题意；
当时，由，解得.
综上a取值的范围是或.
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