4.2.1指数函数的概念 能力提升-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含解析）

4.2.1 指数函数的概念 能力提升
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
未命名
一、单选题
1．若函数（，且），则（ ）
A．1010 B．1011 C．2022 D．2023
2．定义在上的奇函数满足， 当时， ，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．设函数，则（ ）
A． B．1 C． D．2
4．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若，则（ ）
A． B． C．3 D．2
6．已知定义域为R的奇函数，满足，且当时，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、多选题
7．以下命题中是真命题的有（ ）
A．若定义在上的函数在是增函数，在也是增函数，则在为增函数
B．若函数是定义在上的单调递增函数，则一定在上单调递增
C．函数，则直线与的图像有1个交点
D．，都有函数在上是单调函数
8．函数，，若，则实数的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
9．已知是定义在上的奇函数且满足为偶函数，当时，且．若，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（ ）
A．4 B．3 C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
11．已知函数，则的值为_____________．
12．已知指数函数的图象经过点，则______．
13．已知是定义在上的奇函数且为偶函数，当时，且．若，则____．
14．函数是上的偶函数，当时，，则________．
四、解答题
15．已知函数.
(1)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减；
(2)若函数是奇函数，求实数a的值.
16．已知函数
(1)求和的函数解析式；
(2)设，判断的奇偶性，并加以证明；
(3)若，请直接写出x的取值范围
17．已知函数的图像过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交．
(1)求该函数的解析式；
(2)若不等式对任意的恒成立，求m的取值范围．
18．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，
(1)求函数的解析式
(2)若，求实数的值.
参考答案：
1．B
【分析】由函数式计算出，因此对所求和采取倒序相加法求解．
【详解】由，得，
设，
则.
两式相加，得，所以.
故选：B
2．C
【分析】通过奇偶性和直接赋值计算即可.
【详解】，
令，得，又函数是定义在上的奇函数，
则
则
故选：C
3．A
【分析】先求出，进而求出.
【详解】因为，所以，
因为，所以.
故选：A
4．C
【分析】先利用换元求出的值域，进而求得的值域.
【详解】令 ，
则，
由二次函数的图像和性质可知，当时，
，
所以.
故选：C.
5．B
【分析】由求得正确答案.
【详解】，
，
所以，
所以，
因为，所以.
故选：B
6．A
【分析】利用函数的奇偶性和周期性即可求解.
【详解】由题可知即，
由奇函数性质可知，所以,
所以，所以是以4为周期的周期函数，
则
当时，所以，
所以
故选：A
7．BD
【分析】举出特例可判断A项；可用定义法判断B项；举例说明存在实数不在的定义域内，即可判断C项错误；对与0的关系讨论，然后结合一次函数和二次函数的性质，即可判断D项.
【详解】，显然在是增函数，在也是增函数，而在上不是增函数，所以A项错误；
因为函数是定义在上的单调递增函数，
所以，有，则，
则，
所以一定在上单调递增，B项正确；
显然0不在的定义域内，所以，与的图像没有交点，C项错误；
当时，函数在上单调递增，所以在上是单调函数；
当时，函数对称轴为，当且仅当，即时等号成立，此时可得函数在上是单调递增函数；
当时，函数对称轴为，当且仅当，即时等号成立，此时可得函数在上是单调递增函数.
综上所述，，都有函数在上是单调函数，D项正确.
故选：BD.
8．BD
【分析】首先求出，再代入中，解指数方程即可.
【详解】依题意得，，则，即，解得或者.
故选：BD
9．ACD
【分析】先判断出的周期，然后结合奇偶性、周期性、解析式求得正确答案.
【详解】因为为奇函数，所以的图象关于点中心对称，因为为偶函数，
所以的图象关于直线对称．
根据条件可知，则，
即4为的一个周期，则，
所以，所以C正确；
又因为，
所以解得或（舍去），所以A正确，B错误；
所以当时，，所以，所以D正确．
故选：ACD
10．CD
【分析】由已知结合指数函数，一次函数及分段函数单调性要求建立关于的不等式组，解不等式可求.
【详解】解：因为是上的增函数，
所以，
解得.
故选：CD.
11．8
【分析】利用分段函数求值的方法求解.
【详解】因为，所以，所以.
故答案为：8.
12．
【分析】设（且），根据函数过点，求出的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得.
【详解】解：设（且），则，所以，
即，所以.
故答案为：
13．8
【分析】根据已知条件可得的对称中心，对称轴，可得为的一个周期，由、以及列关于的方程组，进而可得时，的解析式，再利用周期性即可求解.
【详解】解：因为为奇函数，所以的图象关于点中心对称，
因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，
根据条件可知，则，
即为的一个周期，则，
又因为，，
所以，解得或 （舍），
所以当时，，
所以，
故答案为：.
14．9
【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.
【详解】是偶函数，所以.
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设任意且，然后计算，通过化简变形从而确定符号，根据函数的单调性的定义可得结论；
（2）先求函数的定义域，然后根据奇函数的定义建立等式关系，即可求出实数a的值.
【详解】（1）证明：设任意且，
则，
因为且，所以，
则，也即，所以，
又因为，所以函数在区间上单调递减，
（2）要使函数有意义，则有，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
若函数是奇函数，则，
即，解得：，
所以实数a的值为.
16．(1)
(2)是偶函数，证明详见解析
(3)
【分析】（1）根据的值求得，从而求得正确答案.
（2）根据函数的奇偶性的知识证得的奇偶性.
（3）根据函数的单调性求得的取值范围.
【详解】（1）由于，所以，
所以.
（2），是偶函数，证明如下：
的定义域为，
，所以是偶函数.
（3），即，
由于在上递增，所以，
所以的取值范围是.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数过原点得到，根据函数接近直线得到，得到函数解析式.
（2）设，将函数代入不等式得到，函数，根据函数的单调性结合定义域计算最大值即可.
【详解】（1）函数的图像过原点，则，
函数无限接近直线但又不与该直线相交，则，故，.
（2），即，设，，
则，即，
函数在上单调递减，在上单调递增，
故，故，即
18．(1)
(2)或
【分析】（1）设，利用可求得在上的解析式，再由可得出函数的解析式；
（2）分、解方程，综合可得出的值.
（1）
解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
又当时，，
设，则，所以，又是奇函数，所以，
即，所以，
综上可得；
（2）
解：因为，
又，显然，
所以或，
解得或.