函数应用 重难点突破分类专练-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含解析）

高一函数应用重难点
考点一：求函数零点或个数
1．二次函数的零点是（ ）
A．， B．，1
C．， D．，
2．已知函数，则函数的零点为（ ）
A． B．，0 C． D．0
3．若在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，不存在实数，使得
B．若，存在且只存在一个实数，使得
C．若，不存在实数，使得
D．若，有可能存在实数，使得
4．函数的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知，则函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．、或
6．函数的零点的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
7．设函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知函数在上的图象如图所示. 给出下列四个命题：
①方程有且仅有6个根；②方程有且仅有3个根；
③方程有且仅有5个根；④方程有且仅有4个根.
其中正确的命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．设定义域为的函数则关于的函数的零点的个数为（ ）
A．3 B．7 C．5 D．6
10．函数则函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
考点二：零点所在区间的判断和求参数
11．函数零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
12．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B．
C． D．
13．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
14．函数在区间上单调，则“”是“在区间上有零点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．若函数在内有零点，则的取值范围为______.
16．若函数在区间上有零点，则___________.
17．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点三：已经函数零点个数求参数问题
18．若直线y=2a与函数的图象有且只有一个公共点，则a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
19．（多选题）设，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是（ ）
A． B．1 C． D．2
20．已知函数的图象与直线有三个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
22．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是___________.
23．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
24．（多选题）已知函数，若存在实数a，b，c，d满足，其中，以下说法正确的是( )
A． B． C． D．
25．函数，若，且互不相等，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点四：二分法求零点近试值
26．（多选题）以下每个图象表示的函数都有零点，但能用二分法求函数零点的是（　　）
A．B．C． D．
27．在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是（ ）
A． B． C． D．
28．若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．
A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5
29．（多选题）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确到0.01时，所需二分区间的次数可以为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
30．已知函数的零点分别为，则（ ）
A． B． C． D．
31．（多选题）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则或 D．若方程有两个不同的实数根，则
32．已知函数，且）在上的最大值为2.
（1）求a的值；
（2）若函数存在零点，求m的取值范围.
33．已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设．
（1）求的值；
（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围
参考答案
1．A
【分析】
函数的零点转化为方程的根，求解即可．
【详解】
解：二次函数的零点就是的解，
解得，或，
故选：A．
2．D
【分析】
函数的零点，即令分段求解即可.
【详解】
函数
当时，
令，解得
当时，
令，解得（舍去）
综上函数的零点为0.
故选：D.
3．D
【分析】
根据零点存在性定理可判断A；取函数，区间可判断B；取函数，区间可判断C、D；进而可得正确选项.
【详解】
对于A：若在区间上的图象为连续不断的一条曲线，由零点存在性定理可知在区间内有零点，即存在实数，使得，故选项A不正确；
对于B，取函数在区间上满足，但其存在三个零点：，，，可知不只存在一个实数，使得，故选项B不正确；
对于C、D：取函数在区间上满足，但其存在两个零点：，，故选项C不正确，选项D正确；
故选：D.
4．C
【分析】
由题意可知零点个数转化为的交点个数，作出图象即可求解
【详解】
函数，由，可得，作出和的图象，
由图象可得它们有2个交点，则的零点个数为2，
故选：C.
5．A
【分析】
作出函数与的图象，观察两个函数图象的交点个数，即可得解.
【详解】
函数的零点个数，等于函数和函数的图象的交点个数，如下图所示：
由图可知，当时，函数和函数的图象的交点个数为，
故时，函数的零点个数为．
故选：A．
6．C
【分析】
函数的零点的个数即为的交点的个数，在同一直角坐标系中画出两个函数图像，数形结合即得解.
【详解】
由题意，
即函数的零点的个数即为的交点的个数，在同一直角坐标系中画出两个函数图像
数形结合可知，两个函数有3个交点
故函数的零点的个数是3
故选：C
7．C
【分析】
画出函数的草图，分析函数的值域及的解，由解的个数，可得答案
【详解】
函数的图象如图所示，
由，得，
令，则，
当时，，得，
当时，，则，
所以当时，，由图象可知方程有两个实根，
当 时，，由图象可知，方程有1个实根，
综上，方程有3个实根，
所以函数的零点个数为3，
故选：C
8．C
【分析】
先根据图象判断和的范围和零点，再看满足外层函数为时内层函数有几个值与之对应，分别令内层函数等于这几个值，判断对应的的个数，结合图形具体分析即可判断①②③④，进而可得正确选项.
【详解】
对于①，令，
结合图象可得有三个不同的解，
从图象上看有两个不同的解，有两个不同的解，
有两个不同的解，故有6个不同解，故①正确；
对于②，令，
结合图象可得有两个不同的解，
从图象上看的有一个解，有三个不同的解，
故有4个不同解，故②错误；
对于③，令，
结合图象可得有三个不同的解，
从图象上看有一个解，有三个不同的解，
有一个解，故有5个不同解，故③正确；
对于④，令，
结合图象可得有两个不同的解，
从图象上看有两个不同的解，有两个不同的解，
故有4个不同解，故④正确；
所以正确的有个，
故选：C.
9．B
【分析】
问题转化为要求方程的解的个数，对应于函数或的解的个数．故先根据题意作出的简图，由图可知，函数或的解的个数，可以得出答案．
【详解】
解：根据题意，令，
得或．
作出的简图：
由图象可得当或时，分别有3个和4个交点，
故关于的函数的零点的个数为 7．
故选：．
10．A
【分析】
令可得或，根据分段函数的性质画出图象，应用数形结合的方法判断的零点个数.
【详解】
由题设，令，
∴或，
根据的解析式：时递增且值域为；时递减且值域为；时递增且值域为；
函数图象如下：
∴当时，有3个零点；当时，有2个零点.
∴共有5个零点.
故选：A
11．A
【分析】
由函数的单调性及零点存在性定理即得.
【详解】
由题意，函数在R上单调递增，
且，，
所以函数的零点所在的区间是.
故选：A.
12．B
【分析】
根据函数解析式，判断、等函数值的符号，由零点存在性定理即可确定零点所在的区间.
【详解】
，，且函数为增函数，
由函数零点存在定理，的零点所在的区间是．
故选：B.
13．B
【分析】
根据函数的单调性和零点的存在性定理，即可求得函数的零点所在的区间.
【详解】
由题意，函数，可知函数为定义域上的单调递减函数，
又由，即，
根据零点的存在性定理，可得函数的零点所在的区间是.
故选：B.
14．A
【分析】
根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义分析判断即可作答.
【详解】
解：因为函数在区间上单调，则由“”能得出“在区间上有零点” ；
由“在区间上有零点”不能推出“”，如函数在区间上单调递增，时，则，则，
所以 “”是“在区间上有零点”的充分不必要条件.
故选：A.
15．
【分析】
判断出在上单调递减，有零点可得，解不等式组可得答案.
【详解】
因为、在上单调递减，
所以在上单调递减，函数在内有零点，
则，即，解得.
故答案为：.
16．4
【分析】
判断函数在上的单调性，进而结合零点存在性定理得到，解不等式即可求出结果.
【详解】
解：在上单调递增，在上单调递增，
函数在区间上单调递增，
，，
根据零点的存在性定理，
，即，
，
，且，
.
故答案为：4.
17．D
【分析】
先判断出在上是增函数，利用零点存在定理列不等式，即可求a的范围.
【详解】
∵和在上是增函数，
∴在上是增函数，
∴只需即可，即，解得.
故选：D.
18．D
【分析】
画出两个函数在同一坐标系下的图象，数形结合分析即得解.
【详解】
画出两个函数在同一坐标系下的图象，
若两个函数图象有且只有一个公共点，
则或，或.
故选：D．
19．AB
【分析】
先作出函数的图像，有三个不同的实数根，化为函数与直线有三个交点，结合图像，即可得出结果.
【详解】
解：作出函数图像如下：
又有三个不同的实数根，
所以函数与直线有三个交点，
由图像可得：.
故选：AB
20．D
【分析】
作出函数的图象，结合图象即可求出的取值范围.
【详解】
作函数和的图象，如图所示，可知的取值范围是，
故选D．
21．C
【分析】
转化为两个函数交点问题分析
【详解】
即
分别画出和的函数图像，则两图像有4个交点
所以，即
故选 ：C
22．
【分析】
先分别画出和的完整图象，分析临界值的移动对于零点的影响，进而求解的取值范围
【详解】
如图，分别为和的大致图象，
当时，的零点取不到，取到两个零点，
当时，的零点取到一个零点，要使恰有2个零点，则必须满足.
故答案为：.
23．A
【分析】
将方程化为或，作出的图象，由图象可知有两个不同的实数根，则有个不等实根，即和的图象有个不同的交点，利用数形结合的方式可得结果.
【详解】
由得：或，即或；
作出函数的图象，如图所示：
由图象可知：方程有两个不同的实数根，则当有五个实数根时，方程有三个不同的实数根，
即和的图象有个不同的交点，结合图象：，
即实数的取值范围为.
故选：A.
24．ABC
【分析】
作出f(x)的函数图像，y＝m与f(x)有四个交点时，交点横坐标从左往右依次即为：a、b、c、d，数形结合找出它们的关系和范围即可判断选项﹒
【详解】
作函数的图像：
由图可知：，
，，，；
又，，且，，
设，，
根据双勾函数的性质，在上单调递增，，即；
由得，得或，
∴，，
，关于对称，，即，
∴，
，
当时，；当时，，
﹒
故选：ABC．
25．C
【分析】
先画出函数图象，再求出，再结合基本不等式即可求解.
【详解】
函数的图象如下图所示：
若，且互不相等，
不妨设，
则，即，
所以，
又，，
所以，
又由变形得，解得，
所以，
故选：C.
26．ABD
【分析】
由二分法求方程的根或函数零点的条件即可得解．
【详解】
当函数的图象在x轴的同一侧时，不能用二分法进行求解．
选项A、B、D的图象均在x轴的两侧，可用二分法求解，
只有选项C的图象在x轴的同一侧，不能用二分法求解．
故选：ABD．
27．C
【分析】
根据二分法求函数零点的步骤，结合已知条件进行分析，即可判断.
【详解】
第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是；
第三次所取的区间可能是.
故选：.
28．B
【分析】
根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.
【详解】
解：因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以满足精确度；
所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .
故选：B
29．CD
【分析】
由原来区间的长度等于1 ,每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过此操作后,区间长度变为，由即可求解.
【详解】
由题意，知区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过n此操作后，区间长度变为，
用二分法求函数在区间上近似解，要求精确到0.01，
∴，解得，
故选：CD．
30．B
【分析】
依题意可知分别是函数的图象与直线交点的横坐标，作出函数图象，数形结合可得结果.
【详解】
依题意可知分别是函数的图象与直线交点的横坐标，
在同一坐标系中分别作出以上函数图象，由图可知，.
故选：B.
31．BCD
【分析】
根据给定的分段函数逐项分析计算即可判断作答.
【详解】
对于A：当时，，解得，当时，，解得，则或，A不正确；
对于B：，
，B正确；
对于C：当时，，即，解得，当时，，解得，则或，C正确；
对于D：函数在上单调递增，值域为R，则时，，
函数在上单调递减，值域为，则时，，
因此，方程有两个不同的实数根，则，D正确.
故选：BCD
32．（1）3；（2）.
【分析】
（1）根据对数函数的图象与性质，分类讨论，结合单调性求得函数的最值，即可求解.
（2）把函数g（存在零点，转化为关于x的方程有解，设，利用换元法求得函数的值域，即可求解.
【详解】
（1）当时，函数在上单调递增，
因此，解得；
当时，函数在上单调递减，
因此，（舍去）.
综上可得，实数的值为.
（2）由（1）知函数，
因为函数g（存在零点，即关于x的方程有解，
设，
令，所以，即的值域为.
所以m的取值范围为.
33．（1）； （2）； （3）.
【分析】
（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程组，即可求解；
（2）由题意得到，根据转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解；
（3）化简得到，令，得到，根据题意转化为方程有两个根且，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，可得对称轴为，
当时，在上为增函数，可得，即，
解得；
当时，在上为减函数，可得，即，
解得，
因为，所以.
（2）由（1）可得，所以，
方程化为，所以，
令，则，
因为，可得，令，
当时，可得，所以，即实数的取值范围是.
（3）方程，可化为，
可得且，
令，则方程化为，
方程有三个不同的实数解，
所以由的图象知，
方程有两个根且，
记，则或，
解得，
综上所述，实数的取值范围是.