2022年高中学业水平考试必修一——>第五章 三角函数 单元训练2（含解析）

学业水平合格考必修一三角函数单元训练
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列与角的终边一定相同的角是（ ）
A． B．)
C．) D．)
2．已知扇形的周长是6cm，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
3．已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B． C．1或 D．或
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（ ）
A． B．0 C． D．
6．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
7．函数的图像的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
8．已知常数，函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的）
9．下列命题正确的是（ ）
A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为
B．终边落在y轴上的角的集合为
C．第三象限角的集合为
D．在范围内所有与角终边相同的角为和
10．下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若终边上有一点，则
D．若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为
11．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．tan255°＝2＋
12．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．由可得是的整数倍
B．函数为偶函数
C．函数在上为减函数
D．函数在区间上有19个零点
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．_________.
14．已知，，且，，则的值是___________.
15．函数在区间上的最小值是___________.
16．若在上是严格递增函数，的最大值是_____.
四、解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤）
17(本题10分)．根据下列条件，求三角函数值
(1)已知，且为第二象限角，求的值；
(2)已知，求的值．
18(本题12分)．已知函数
(1)求函数最小正周期
(2)当时，求函数最大值及相应的x的值
19(本题12分)．（1）已知，求的值.
（2）求的值.
20(本题12分)．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及对称中心；
(2)先将的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到函数图象，再将图象右平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间.
21(本题12分)．函数的最小值为，
(1)当时，求；
(2)若，求实数
22(本题12分)．某中学在荣获省级多样化发展示范学校后，征得一块形状为扇形的土地用于建设新的田径场，如图，已知扇形圆心角，半径米，关于轴对称.欲在该地截出内接矩形建田径场，并保证矩形的一边平行于扇形弦，设，记.
(1)写出、两点的坐标，并以为自变量，写出关于的函数关系式；
(2)当为何值时，矩形田径场的面积最大？并求出最大面积.
参考答案：
1．C
【分析】终边相同角的表示
【详解】与角终边相同角可以表示为
对A，由找不到整数让，所以A错误
对B，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B错误，
C项正确，
对D 项，当时，角为，当时，角为，得不到角，故D错误，
故选：C.
2．C
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求出扇形所在圆半径，再借助弧长公式求解作答.
【详解】设扇形所在圆半径为r，则扇形弧长为，依题意，，解得或，
所以扇形的中心角的弧度数是或.
故选：C
3．D
【分析】先求得点P与原点间的距离，再根据正弦函数和余弦函数的定义，分，两种情况讨论求解.
【详解】由题意可得：点P与原点间的距离，
∴.
当时，则，故；
当时，则，故.
故选：D.
4．A
【分析】根据已知结合求得即可求出.
【详解】因为，，
则可解得，所以.
故选：A.
5．A
【分析】由诱导公式直接化简可得.
【详解】
故选：A
6．A
【分析】先将函数化为，再根据三角函数图象的平移变换即可得到答案.
【详解】根据题意得，
所以要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的
点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到，再向右平行移动个单位长度即可得到函数的图象.
故选：A.
7．C
【分析】由倍角公式和辅助角公式化简，令，即可得出答案.
【详解】
令，
解得.
故选：C.
8．B
【分析】根据正弦型三角函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】，
由于且在区间上是严格增函数，
所以，
即的取值范围是.
故选：B
9．AD
【分析】根据任意角的定义判断即可.
【详解】终边落在x轴的非负半轴的角的集合为故A正确.
终边落在y轴上的角的集合为属于角度制和弧度制的混用，故B错误.
第三象限角的集合为不能取等号，等号时表示轴线角，故C错误.
范围内所有与角可以表示为，故或，故D正确.
故选：AD
10．BD
【分析】利用诱导公式可判断A，利用弧度与角度之间的转化公式可判断B，利用任意角的三角函数定义可判断C，利用扇形的弧长和面积公式可判断D
【详解】对于A，，故A错；
对于B，，故B正确；
对于C，若终边上有一点，则，故C不正确；
对于D，若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的半径为，面积为，故D正确.
故选：BD
11．BCD
【分析】利用三角恒等变换公式一一计算可得.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：
，故C正确；
对于D：
故选：BCD
12．BC
【分析】由函数的对称性求出的值，从而可得的解析式，再利用函数的性质逐项判断即可得解．
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
所以，，可得，
又，所以，
所以．
对于，当，时，，但不是的整数倍，故错误；
对于，是偶函数，故正确；
对于，当时，，由正弦函数性质知它是减函数，故正确；
对于，令，则，即，
所以，解得，
因为，所以共10个，故D错误，
故选：．
13．1
【分析】根据诱导公式及两角和的正弦公式即得.
【详解】
.
故答案为：1.
14．
【分析】由平方关系求得，，再求出即可得解.
【详解】解：因为，，且，，
所以，，且，
则，
所以.
故答案为：.
15．
【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.
【详解】解：因为，所以，
所以当时，函数.
故答案为：.
16．
【分析】利用辅助角公式化简得，利用整体代换的方式，结合正弦函数的单调性可构造不等式组求得，由可确定，由此可得的最大值.
【详解】；
当时，
在上严格递增，，
解得：；
由得：；由得：；
又，，，则的最大值为.
故答案为：.
17．(1)，
(2)，或，
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式进行求解；
（2）利用同角三角函数基本关系式得到关于、的方程组，再结合角所在象限进行求解.
【详解】（1）因为，且，
所以，又为第二象限角，
则，；
（2）因为，
所以，且是第二、四象限角；
联立，得，
当是第二象限角时，，；
当是第四象限角时，，；
所以，或，.
18．(1)
(2)最大值，
【分析】（1）直接根据周期公式计算即可.
（2）计算得到，再根据三角形性质得到最值.
【详解】（1），最小正周期.
（2），故，
所以当，时，函数取得最大值.
19．（1）2；（2）
【分析】（1）利用诱导公式化简，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
（2）利用诱导公式化简即可.
【详解】解：（1）因为，
所以；
（2）.
20．(1);.
(2).
【分析】（1）根据函数图象确定A以及周期，进而确定，将点代入解析式求得，即得函数的解析式，结合正弦函数性质即可求得其对称中心；
（2）根据三角函数图象的变换规律可求得的解析式，结合余弦函数的性质即可求得答案.
【详解】（1）由函数图象知，，最小正周期，
所以 ，
所以，
将点 代入中，有 ，
所以 ， ，
因为，所以 ,
所以 ,
令 ,，则，
即的对称中心为 ．
（2）先将的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到函数图象，
即，再将图象右平移个单位后得到的图象，
即，
令，，则，，
因为 ，所以，
即函数在上的单调减区间为 .
21．(1)
(2)1
【分析】（1）结合三角函数、二次函数的性质求得.
（2）对进行分类讨论，求得的解析式，由求得.
【详解】（1）当时，
.
所以，当时，取得最小值，即.
（2）
，
若，即时，则当时，有最小值，.
若，即时，则当时，有最小值，.
所以，
若，得或
由解得或（舍去），
由解得（舍去）.
所以
22．(1)，，
，，，
(2)当时，最大面积为平方米
【分析】（1）由题意得到，从而得到点坐标，且两点的纵坐标相同，求出直线的解析式，从而确定点的横坐标，得到点的坐标，从而得到关于的函数关系式；
（2）在第一问的基础上，利用三角恒等变换得到，结合，求出最值.
【详解】（1）由题意得：米，，
所以，，
因为轴，
所以两点的纵坐标相同，
其中直线，
将代入，解得：，
故，，
∴
，；
（2）
，
因为，所以，
∴当，即时，平方米.