《子集、全集、补集》同步练习
一、选择题
1.已知下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.
其中正确命题的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
2.已知集合，则式子①；②；③；④.表示正确的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
3.已知全集，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.已知.若，则实数__________.
5.若，则这样的集合A有__________个.
6.已知全集，集合，则__________.
三、解答题
7.若集合，满足，求实数a的取值范围.
8.已知，若，求实数m所构成的集合M，并写出M的所有子集.
9.已知全集，求实数a的值.
参考答案
1.
答案：D
解析：由子集、真子集的性质可知①④是正确的；结合venn图观察可知②③也是正确的.
2.
答案：C
解析：由题意，故①③④正确，②不正确.
3.
答案：C
解析：由题意全集U中除掉2，4，5后剩余1，3，6和7，故.
4.
答案：4
解析：由于，所以A中必含有4，故.
5.
答案：8
解析：集合A可以为：，.
6.
答案：
解析：，所以.
7.
答案：见解析
解析：，
，
结合数轴（如图），可得.
8.
答案：见解析
解析：解方程，
得或3，.
由，知或{3}.
若，则；
若，则；
若，则.
故，所以M的所有子集为，，.
9.
答案：见解析
解析：由题意，知，解得.当时，，而，所以不满足题意，舍去；当时，，，满足题意.故实数a的值为2.
1 / 4《子集、全集、补集》智能提升
一、选择题
1.下列命题
（1）空集没有子集；
（2）任何集合至少有两个子集；
（3）空集是任何集合的真子集；
（4）若，则.
其中正确的个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
2.设，则集合A，B的关系为（ ）
A.
B.
C.
D.以上都不对
3.若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.设，用列举法表示B应__________.
5.已知集合，且，则集合M的元素个数最多有__________个
6.已知，.则与B的关系是__________.
三、解答题
7.已知，集合，若，求实数m的值.
8.已知集合M满足，求所有满足条件的集合M.
9.已知，若，求实数m的取值范围.
参考答案
1.
答案：B
解析：由于空集是空集的唯一子集，但不是真子集故①②③均错，只有④正确.
2.
答案：B
解析：表示直线上点的集合，表示直线除（0，0）之外的点的集合，则B是A的真子集，故，因此，本题正确答案是B.
3.
答案：D
解析：，.故选D.
4.
答案：
解析：由，知x是集合，且x是A的一个子集，x是B中的元素.
5.
答案：3
解析：集合与集合的公共元素有0，2，4.满足条件的M的元素个数最多有3个，即0，2，4.
6.
答案：
解析：解方程得：.所以.又，所以.
7.
答案：见解析
解析：是方程的两个根，.
8.
答案：见解析
解析：①当M中含有两个元素时，M为；
②当M中含有三个元素时，M为，；
③当M中含有四个元素时，M为；
④当M中含有五个元素时，M为.
故满足条件的集合M为，，.
9.
答案：见解析
解析：（1）时，显然满足，
此时即；
（2）时，则应有：.
综上可知：m的取值范围为.
2 / 4《子集、全集、补集》核心素养专练
必备知识练
必备知识1 子集、真子集
一、选择题
1.给出如下表示：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.正确表示的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
2.已知集合，则下列式子表示正确的有（ ）
①；②；③；④
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
必备知识2 全集、补集
一、填空题
3.设全集，集合，则__________.
4.设全集，则__________.
5.已知全集,则实数a等于__________.
必备知识3 子集、真子集的个数问题
一、选择题
6.已知集合,则集合M的非空子集的个数是（ ）
A.15
B.16
C.7
D.8
二、填空题
7.设A，B为两个非空数集，定义：，若，，则的子集有___________个.
8.若，则，就称A是“伙伴关系”集合，集合的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为____________.
三、选择题
9.已知非空集合P满足：①；②若，则，符合上述条件的集合P的个数是（ ）
A.4
B.5
C.7
D.31
关键能力练
关键能力1 含参数的有限集问题
一、填空题
10.已知集合，若，则实数a的值为____________.
11.设集合，若，则实数___________.
二、解答题
12.设集合.
（1）若，试判断集合P与Q的关系；
（2）若，求实数m的所有可能取值构成的集合T.
13.已知集合，若，求a的取值范围.
关键能力2 含参数的无限集问题
一、选择题
14.已知，若，则实数p的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
15.若，且，则a的取值范围___________.
16.已知.若，求实数m的取值范围是___________.
关键能力3 综合问题
一、选择题
17.数集，则M与N之间的关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、解答题
18.已知集合，且，求实数a的取值范围.
关键能力4 新定义题
一、解答题
19.设A，B为两个非空集合，定义A与B的差集为.
（1）试举两个数集A，B，求它们的差集；
（2）差集是否一定相等
（3）已知，求与，由此可以得到什么更一般的结论？（不必证明）
参考答案
1.
答案：D
解析：表示空集，不包含元素，中有一个元素，则，故（1）错误；由于空集是任何集合的子集，故（2）正确；和都表示集合，故（3）错误；0表示元素，表示集合，，故（4）错误，（5）正确；都表示集合，故（6）错误；中的元素都是中的元素，故（7）正确；由于集合中的元素具有无序性，故，故（8）正确综上，正确表示的个数是4.故选D.
2.
答案：C
解析：，则①③④正确，②中是一个集合，不能用“”符号，不正确.
3.
答案：
解析：，则.
4.
答案：1
解析：因为，所以.又所以，所以.
5.
答案：2
解析：由题意知，知得.
6.
答案：C
解析：因为，所以M的非空子集为，共7个.故选C.
7.
答案：256
解析：，所以的子集有个.
8.
答案：15
解析：设互为倒数的两个数为一组，则集合M中的元素共有4组，和3，和2，，1分别单独作为一组.由题意可知，集合M的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合将由以上四组数字组合形成，因此由集合及其子集数目关系可知，符合题意的集合个数为.
9.
答案：C
解析：由，且可知，P中的元素在取值方面应满足1，5同时取，2，4同时取，3可单独取，将1和5，3，2和4分别看成一个整体，相当于求一个含有3个元素的集合的非空子集的个数，即.
10.
答案：3或
解析：①若，则，即，显然，符合题意；②若，则，符合题意，综上.
11.
答案：
解析：因为，集合.
以①当，即时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
②若，则，由①知应舍去，故当时，符合题意.
综上可得.
12.
答案：见解析
解析：（1）由，解得，即.
若,由，得，此时,所以.
（2）①若，则方程无解，此时；
②若，则，由，可得,
所以,
即.
综上所述，.
13.
答案：见解析
解析：由题可知.
对于关于x的方程，
.
.
若，由韦达定理得得；
若，由韦达定理得无解；
若，由韦达定理得得.
综上所述：
14.
答案：D
解析：，由，得，故.
15.
答案：
解析：因为，所以有，解得.即实数a的取值范围为.
16.
答案：
解析：因为，又，所以或，解得：.
17.
答案：C
解析：对于，当时，；当，时，.
18.
答案：见解析
解析：由题意得.
①若，则，即，满足.
②若，则由，得，即.
综上，可得实数a的取值范围是.
19.
答案：见解析
解析：（1）令，则.（答案不唯一）
（2）不一定相等.
（3），
.
.
由此得出结论：.
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