1.2 子集、全集、补集
能力提升
集合与集合间关系的确定
1.若集合A={x|x2-2x=0},则下列说法中错误的是( )
A. A B.{0,2} A
C.A {y|y<3} D.-2∈A
2.设集合M=,则M、N的关系为( )
A.M N B.M=N
C.M N D.M N
3.已知集合A=,B=xx=,k∈Z,则集合A,B之间的关系为 .
子集、真子集
4.若{1，2} A {1，2，3，4，5}则满足条件的集合A的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5.若集合A=,B={3,4,5},集合C满足B C A,则所有满足条件的集合C的个数为( )
A.8 B.16
C.15 D.32
6.已知集合M={x|x2+x-6=0},N={y|ay+2=0,a∈R},若满足N M的所有实数a组成集合A,则集合A的子集有 个.
7.若规定集合M={a1,a2,…,an}(n∈N*)的子集N={,…,}(k∈N*)为M的第k个子集,其中k=+…+,例如P={a1,a3}是M的第5个子集,则M的第25个子集是 .
题组三 求参数的值(取值范围)
8.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+1=0},若B≠ ,B A,则a=( )
A.-1 B.0
C.1 D.±1
9.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有两个子集,则a的值是( )
A.1 B.-1
C.0,1 D.-1,0,1
10.若集合N={x|x2-2x+a=0},M={1},且N M,则实数a的取值范围是 .
11.已知集合A={x|(a-1)x2+2x+1=0,a∈R,x∈R},若集合A至多有两个子集,则a的取值范围是 .
12.已知集合A={x|ax+1=0,x∈R},集合B={x|x2-2x-8=0},若A B,则实数a的所有可能取值构成的集合为 .
13.设集合A={x|x2-x-2=0},B={x|ax2+x+2=0},若B A,求实数a的取值范围.
14.设集合A={x|x2-1=0},集合B={x|x2-ax+b=0,x∈R},且B≠ .
(1)若B A,求实数a、b的值;
(2)若A C,且集合C={-1,2m+1,m2},求实数m的值.
答案全解全析
1.2 子集、全集、补集
能力提升
1.D 由题意得集合A={0,2},由于空集是任何集合的子集,故A中说法正确;因为A={0,2},所以B,C中说法正确,D中说法错误.故选D.
2.A 易得集合M中x=(k∈Z),集合N中x=(k∈Z),因为k属于整数,所以2k+1是奇数,k+2是整数,因此M N.
3.答案 A=B
解析 由题得,A=
xx=(2k+1),k∈Z=…,-,…,
B=xx=,k∈Z=…,-,…,故A=B.
4.A是二元素集：{1,2}
A是三元素集：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}
A是四元素集：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}
A是五元素集：{1,2,3,4,5}
所以，共8个
选C
5.A ∵集合A=,
∴当a=0时,=-6,不合题意,舍去;
当a=1时,=-12,不合题意,舍去;
当a=2时,无意义,不合题意,舍去;
当a=3时,=12,符合题意;
当a=4时,=6,符合题意;
当a=5时,=4,符合题意;
当a=6时,=3,符合题意;
当a=7时,,不合题意,舍去;
当a=8时,=2,符合题意;
……
当a=14时,=1,符合题意.
∴A={3,4,5,6,8,14}.
∵B={3,4,5},B C A,
∴C={3,4,5},{3,4,5,6},{3,4,5,8},{3,4,5,14},{3,4,5,6,8},{3,4,5,6,14},{3,4,5,8,14},{3,4,5,6,8,14}.故满足条件的集合C的个数为8.
6.答案 {a1,a4,a5}
解析 因为N={,…,}(k∈N*)为M的第k个子集,且k=+…+,25=20+23+24=21-1+24-1+25-1,
所以M的第25个子集是{a1,a4,a5}.
7.D 当B={-1}时,方程x2-2ax+1=0有两个相等的实数根-1,得a=-1;
当B={1}时,方程x2-2ax+1=0有两个相等的实数根1,得a=1;
当B={-1,1}时,不成立.故a=±1.
8.D 集合A有且仅有两个子集,即为 和集合A本身,故集合A中的元素只有一个,即方程ax2+2x+a=0有一个实数根或两个相等的实数根.
当a=0时,原方程为2x=0,即x=0,符合题意;
当a≠0时,令Δ=22-4a2=0,解得a=±1.
综上所述,a=-1或a=0或a=1.
9.答案 a≥1
解析 ∵N M,∴N={1}或N= .
当N={1}时,N={x|x2-2x+a=0}={1},解得a=1;
当N= 时,Δ=4-4a<0,解得a>1.
综上所述,a≥1.
10.答案 a≥2或a=1
解析 由题意可得,集合A为 或有且仅有一个元素,
当A= 时,方程(a-1)x2+2x+1=0无实数根,
所以解得a>2;
当集合A有且只有一个元素时,
方程(a-1)x2+2x+1=0有且只有一个实数根或有两个相等的实数根.
当a-1=0,即a=1时,解得x=-,符合题意;
当a-1≠0,即a≠1时,Δ=22-4×(a-1)×1=0,解得a=2.
综上可知,a的取值范围为a≥2或a=1.
11.答案
解析 由x2-2x-8=0,得(x+2)·(x-4)=0,
解得x=-2或x=4,所以B={-2,4}.
由ax+1=0,可得ax=-1.
当a=0时,方程ax=-1无实数解,此时A= ,满足A B;
当a≠0时,方程ax=-1的实数解为x=-,故A=.
由A B可得-=-2或-=4,
解得a=或a=-.
故实数a的所有可能取值构成的集合为.
12.解析 由x2-x-2=0得(x+1)·(x-2)=0,解得x=-1或x=2,即A={-1,2},
∵B A,∴B= ,{-1},{2},{-1,2}.
①当B= 时,a≠0,Δ=1-8a<0,解得a>;
②当B={-1}时,易知a≠0,
则
即解集为 ;
③当B={2}时,易知a≠0,则
即解集为 ;
④当B={-1,2}时,有
解得a=-1.
综上所述,a的取值范围是a=-1或a>.
13.解析 (1)A={x|x2-1=0}={-1,1},又B A,且B≠ ,则分以下三种情况讨论:
①当B={-1}时,由根与系数的关系得
②当B={1}时,由根与系数的关系得
③当B={-1,1}时,由根与系数的关系得
综上所述a=-2,b=1或a=2,b=1或a=0,b=-1.
(2)∵A C,且C={-1,2m+1,m2},
∴2m+1=1或m2=1,解得m=0或m=±1.
当m=0时,C={-1,1,0},满足集合中元素的互异性,符合题意;
当m=-1时,2m+1=-1,不满足集合中元素的互异性,舍去;
当m=1时,C={-1,3,1},满足集合中元素的互异性,符合题意.
综上所述,m=0或m=1.
2 / 91.2 子集、全集、补集
【基础过关】
子集的概念：
1.已知集合A={1,2},B={1},则下列关系正确的是( )
A.B A B.B∈A C.B A D.A B
2.若集合M={x|x2=1},则下列关系正确的是( )
A.1 M B.{1,-1}∈M C.{-1} M D. ∈M
3.若集合A={正方形},B={矩形},C={平行四边形},D={梯形},则下面包含关系中不正确的是( )
A.A B B.B C C.C D D.A C
4.若集合A={-1,0,1},则在A的所有子集中,含有元素0的集合共有 个.
真子集的概念
5.若集合A={6,7,8},则集合A的真子集共有( )
A.3个 B.5个 C.7个 D.8个
6.现有五个判断:2 {1,2}, ∈{0},{1}∈{1,2},{} Q, {0},其中正确的个数是( )
A.2 B.1 C.4 D.3
7.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是( )
8.写出集合{a,b,c}所有的子集、真子集(a,b,c∈R).
全集与补集的概念
9.若集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则 AB=( )
A.{4,8} B.{0,2,6}
C.{0,2,6,10} D.{0,2,4,6,8,10}
10.若全集U=R,M={x|-3≤x<5},则 UM=( )
A.{x|x<-3或x≥5} B.{x|x≤-3或x>5}
C.{x|x≤-3或x≥5} D.{x|x<-3或x>5}
11.若全集M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2=x},则 MN=( )
A.{0,1} B.{-2,-1,2}
C.{-2,-1,0,2} D.{-2,0,2}
12.若P={x|x<1},Q={x|x>-1},则( )
A.P Q B.Q P
C. RP Q D.Q RP
13.不等式组的解集为A,U=R,试求A及 UA,并把它们分别表示在数轴上.
集合关系中的参数问题
14.已知集合P={x|0≤x≤2},且M P,则M可以是( )
A.{0,1} B.{1,3}
C.{-1,1} D.{0,5}
15.如果集合A={x|x>4},B={x|x<2m},且A RB,那么实数m的取值范围是( )
A.m≤1 B.m≤2
C.m≤3 D.m≤4
16.已知全集S={1,3,x3-x2-2x},A={1,|2x-1|},若 SA={0},则实数x的值为 .
17.已知集合A={x|x2+ax+2=0},a∈R,且满足1∈A,则a= ,集合A的子集个数为 .
18.已知集合A={x|x2-4=0},集合B={x|ax-2=0},若B A,求实数a的取值集合.
答案全解全析
1.2 子集、全集、补集
【基础过关】
1.C ∵集合A={1,2},B={1},∴B A.
2.C 由题意得M={-1,1},选项A中,元素“1”和集合M只能用∈连接,不能用 连接,所以该选项错误;选项B中,集合和集合不能用∈, 连接,所以该选项错误;选项C中,{-1} M,所以该选项正确;选项D中, M,所以该选项错误.
3.C 因为正方形一定是矩形,所以选项A中包含关系正确;矩形一定是平行四边形,所以选项B中包含关系正确;正方形一定是平行四边形,所以选项D中包含关系正确;梯形不是平行四边形,平行四边形也不是梯形,所以选项C中包含关系不正确.故选C.
4.答案 4
解析 由题意得,在集合A的子集中,含有元素0的有{0},{0,-1},{0,1},{0,-1,1},共4个.
5.C 因为A={6,7,8},共有3个元素,故集合A共有23-1=7个真子集.故选C.
6.B 元素与集合之间不能用包含关系表示,故2 {1,2}错误; 与{0}是集合与集合的关系,不能用“∈”符号连接,故错误;{1}与{1,2}是集合与集合的关系,不能用“∈”符号连接,故错误;因为 Q,所以{} Q错误;根据空集是任何非空集合的真子集,知 {0}正确.故正确的个数是1.故选B.
7.B 由x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1},易得N M,其对应的Venn图如选项B所示.
8.解析 子集: ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c};
真子集: ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}.
9.C 由补集的定义,得 AB={0,2,6,10}.
10.A ∵全集U=R,M={x|-3≤x<5},
∴ UM={x|x<-3或x≥5}.
11.B N={x|x2=x}={0,1},根据集合的补集的概念得到 MN={-2,-1,2}.
12.C ∵P={x|x<1},
∴ RP={x|x≥1},
又Q={x|x>-1},
∴ RP Q.
13.解析 A={x|2x-1>0且3x-6≤0}=, UA=.在数轴上分别表示如下:
14.A ∵0∈{x|0≤x≤2},1∈{x|0≤x≤2},∴{0,1} {x|0≤x≤2}.故选A.
15.B ∵B={x|x<2m},∴ RB={x|x≥2m}.∵A RB,∴2m≤4,∴m≤2.故选B.
16.答案 2或-1
解析 ∵ SA={0},∴0∈S,∴x3-x2-2x=0,解得x=0或x=2或x=-1.
当x=0时,|2x-1|=1,舍去;
当x=2或x=-1时,A={1,3},S={1,3,0},满足题意.∴x=2或-1.
17.答案 -3;4
解析 ∵1∈A,∴1是方程x2+ax+2=0的一个解,代入可得a=-3,
则原方程为x2-3x+2=0,解方程可得x1=1,x2=2,
所以集合A={1,2},所以集合A的子集个数为22=4.
18.解析 解方程x2-4=0,得x=±2,则集合A={-2,2}.
①当a=0时,B= A,符合题意;
②当a≠0时,B={x|ax-2=0}=,∵B A,∴=-2或=2,解得a=-1或1.
因此,实数a的取值集合为{0,-1,1}.
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