苏教版（2019）高中数学必修第一册 1.2 子集、全集、补集 练习(解析版)

1.2 子集、全集、补集
教材知识梳理
子集
定义:如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集
读法:集合A包含于集合B或集合B包含集合A
性质:(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A；(2)对于集合A，B，C，若A B且B C，则A C；
(3)若A B且B A，则A＝B；(4)规定 A
真子集
定义：如果A B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集
读法：A真包含于B或B真包含A
性质:(1)对于集合A，B，C，若A?B且B?C，则A?C；(2)对于集合A，B，若A B且A≠B，则A?B；
(3)若A≠ ，则 ?A
全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，称这个集合为全集，全集通常记作U.
在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U.
补集
定义:设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集(符号表示为： SA＝{x|x∈S，且x A})
性质：(1)A S， SA S；(2) S( SA)＝A；(3) SS＝ ， S ＝S
例题研究
子集
题型探究
例题1
已知集合有两个非空真子集，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
例题2
下列集合中子集个数最多的是
A． B．
C． D．
跟踪训练
训练1
设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（　　）个
A．3 B．4 C．7 D．8
训练2
下列命题中，正确的有（ ）
①空集是任何集合的真子集；②若，，则；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集：④如果不属于的元素一定不属于，则.
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
二、由集合间的关系求参数
题型探究
例题1
已知集合，则下列式子表示正确的有（ ）
①；②；③；④.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例题2
已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练
训练1
设集合，，，，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，都有（表示两个数，中的较大者），则的最大值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
训练2
若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
三、全集、补集
题型探究
例题1
若全集U={1，2，3，4}且 UA={2，3}，则集合A的真子集共有（　　）
A．3个 B．5个 C．7个 D．8个
例题2
已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练
训练1
已知全集，集合，5，，则=（ ）
A．，2，3， B．，1，2， C． D．，2，
训练2
若全集，，则集合的真子集共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
综合式测试
选择题
1．若集合，，且，则集合（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
2．已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘以再求和，例如，则可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为（ ）
A．92 B．96 C．100 D．192
3．在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
4．对于集合A，B，“”不成立的含义是　　
A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A
5．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．若集合，，，则A，B，C之间的关系是（ ）
A． B．A B=C C．A BC D．BC A
7．已知全集为，函数的定义域为集合，且，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．或
8．已知集合，.若，则的取值范围为
A． B． C． D．
填空题
9．已知数集．有下列个条件：①，②，③，则满足条件的的数值有__________组．
10．已知集合，，且，则由的取值组成的集合是_________
解答题
11．已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若且，求实数的取值范围.
12．已知集合，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
13．已知集合．
（1）若是的真子集，求的范围；
（2）若，且是的子集，求实数的取值范围．
1.2子集、全集、补集答案
教材知识梳理
子集
定义:如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集
读法:集合A包含于集合B或集合B包含集合A
性质:(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A；(2)对于集合A，B，C，若A B且B C，则A C；
(3)若A B且B A，则A＝B；(4)规定 A
真子集
定义：如果A B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集
读法：A真包含于B或B真包含A
性质:(1)对于集合A，B，C，若A?B且B?C，则A?C；(2)对于集合A，B，若A B且A≠B，则A?B；
(3)若A≠ ，则 ?A
全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，称这个集合为全集，全集通常记作U.
在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U.
补集
定义:设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集(符号表示为： SA＝{x|x∈S，且x A})
性质：(1)A S， SA S；(2) S( SA)＝A；(3) SS＝ ， S ＝S
例题研究
一、子集
题型探究
例题1
已知集合有两个非空真子集，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
元集合非空真子集的个数为，由题意可得集合为二元集合，即关于的方程有两不等实根，由及运算即可.
【详解】
由已知集合有两个非空真子集
即关于的方程有两个不等实数根，
即
又有意义，则,则,∴
又,∴,故选A．
【考点】考查集合的子集的概念，同时考查了分类讨论的思想．
例题2
下列集合中子集个数最多的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别求出四个集合的元素，然后判断出子集的个数，最后选出正确答案.
【详解】
选项A:方程的解为，因为不是自然数，所以集合是空集，它的子集个数为1；
选项B:因为，不符合三角形两边之和大于第三边，所以集合
是空集，它的子集个数为1；
选项C:因为，所以集合是空集，它的子集个数为1；
选项D:因为集合的子集是：和，所以它的子集个数为2个，因此子集个数最多的集合是集合，故本题选D.
【考点】考查集合子集个数问题，确定集合元素的个数是解题的关键.
跟踪训练
训练1
设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（　　）个
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【分析】先求出A∩B={3，5}，再求出图中阴影部分表示的集合为：CU（A∩B）={1，2，4}，由此能求出图中阴影部分表示的集合的真子集的个数．
【详解】
∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，∴A∩B={3，5}，图中阴影部分表示的集合为：CU（A∩B）={1，2，4}，∴图中阴影部分表示的集合的真子集有：23–1=8–1=7．故选C．
【考点】考查集合的真子集的个数的求法，考查交集定义、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
训练2
下列命题中，正确的有（ ）
①空集是任何集合的真子集；②若，，则；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集：④如果不属于的元素一定不属于，则.
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【分析】
运用空集的性质，即可判断①；运用集合的传递性，即可判断②；
由集合的真子集的个数，即可判断③；由韦恩图，即可判断④．
【详解】
①空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故①错误；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错误；④由韦恩图易知④正确.故选C.
【考点】考查集合的概念，主要是空集和子集、真子集的性质
二、由集合间的关系求参数
题型探究
例题1
已知集合，则下列式子表示正确的有（ ）
①；②；③；④.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】先确定集合的元素，然后根据元素与集合、集合与集合的关系逐一判断即可．
【详解】
因为，，，
对于①，显然正确；
对于②，，是集合与集合之间的关系，显然用不对；
对于③，，根据空集是任何集合的子集知正确；
对于④，，．根据子集的定义知正确．
故选：C．
【考点】考查元素与集合、集合与集合的关系
例题2
已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果.
【详解】
因为，
所以，解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，，
故选：B.
【点睛】通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性
跟踪训练
训练1
设集合，，，，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，都有（表示两个数，中的较大者），则的最大值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】
根据题意，首先分析出M的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对“（表示两个数，中的较大者），”的把握，即可得答案．
【详解】
根据题意，对于M，含2个元素的子集，，，，，，，，，，有10个，
但、只能取一个；
故满足条件的两个元素的集合有9个；
故选：B．
【考点】考查对集合的特定子集的数目的确定，能否找出集合的所有子集并在其中找出满足条件的所有子集是解决本题的关键
训练2
若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
考虑和两种情况，得到，解得答案.
【详解】
当时，即，时成立；
当时，满足，解得；
综上所述：.
故选：C.
【考点】考查根据集合的包含关系求参数
三、全集、补集
题型探究
例题1
若全集U={1，2，3，4}且 UA={2，3}，则集合A的真子集共有（　　）
A．3个 B．5个 C．7个 D．8个
【答案】A
【分析】
由题意首先确定集合A，然后由子集个数公式求解其真子集的个数即可.
【详解】
由题意可得：，则集合A的真子集共有个.
本题选择A选项.
【考点】考查补集的定义，子集个数公式及其应用等知识
例题2
已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算出集合，利用并集的定义可求得集合.
【详解】
全集，集合，则，
又集合，因此，.
故选：C.
【考点】考查补集与并集的混合运算
跟踪训练
训练1
已知全集，集合，5，，则=（ ）
A．，2，3， B．，1，2， C． D．，2，
【答案】B
【分析】首先确定全集，而后由补集定义可得结果．
【详解】
，1，2，3，4，5，，
，1，2，．
故选：．
【考点】集合的补集
训练2
若全集，，则集合的真子集共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】先由题意，得到，列举法即可得出其真子集个数.
【详解】
因为，，所以，
因此其真子集有，，；共3个.
故选：B.
【考点】考查求集合的真子集个数，考查集合的补集
综合式测试
选择题
1．若集合，，且，则集合（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】先分别计算出集合与集合，然后根据集合的含义求解集合.
【详解】
集合，集合；
则且或.
故选：A.
【考点】考查集合的综合运算，属于基础题.
2．已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘以再求和，例如，则可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为（ ）
A．92 B．96 C．100 D．192
【答案】B
【分析】确定中每个元素在其非空子集中出现的次数，然后根据这个规律求和．
【详解】
的所有非空子集有个，每个元素在个集合出现，
所以所求和的总和为．
故选：B．
【考点】考查集合的新定义
3．在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】利用新定义可得关于的不等式化为，化为，通过对分类讨论即可得出．
【详解】
解：由运算，
关于的不等式化为，
即，
①当时，其解集是，
由于其解集是，的子集，
，解得，．
②当时，其解集是，
由于其解集是，的子集，
，解得，．
③当时，其解集是，
由于其解集是，的子集，，解得
综上可知：．实数的取值范围是．
故选：．
【考点】本题正确理解新定义和熟练掌握分类讨论的思想方法、一元二次不等式的解法、子集的含义是解题的关键
4．对于集合A，B，“”不成立的含义是　　
A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A
【答案】C
【分析】根据子集的定义可知，“”不成立即A中至少有一个元素不在集合B中.
【详解】
“”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素，
不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，
故选C．
【考点】考查集合的包含关系，考查命题的否定
5．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】考虑中角的终边的位置，再考虑中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系.
【详解】
. 表示终边在直线上的角，
表示终边在直线上的角，
而 表示终边在四条射线上的角，
四条射线分别是射线 ，
它们构成直线、直线，故.
故选：D.
【考点】考查终边相同的角，注意的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线，而的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直
6．若集合，，，则A，B，C之间的关系是（ ）
A． B．A B=C C．A BC D．BC A
【答案】B
【分析】先将A,B,C三个集合里面的分母统一为6，再去比较每个集合的关系.
【详解】
将各集合中元素的公共属性化归为同一形式，集合A中，，；集合B中，，；集合C中，，．由与p均表示整数，且，可得A B=C．
故选B.
【考点】考查和整数相关的集合的性质
7．已知全集为，函数的定义域为集合，且，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】由可得，，再通过A为 的子集可得结果.
【详解】
由可知，
，所以，
，
因为，所以，即，故选C.
【考点】考查不等式的解集和对数函数的定义域，以及集合之间的交集和补集的运算；若集合的元素已知，求解集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解.
8．已知集合，.若，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先确定，分和两种情况讨论，求的取值范围.
【详解】
，
当时，；
当时， ， ，
综上：，
故选C.
【考点】考查集合的包含关系，求参数取值范围
填空题
9．已知数集．有下列个条件：①，②，③，则满足条件的的数值有__________组．
【答案】3
【分析】列举出符合条件的数组即可.
【详解】
，，，则的取值可以是或.
①时，，，即数组为；
②时，则，或，，即数组为和.
因此，符合题中条件的数组有组，故答案为：.
【考点】考查集合相等的应用，根据条件进行分类讨论是解本题的关键
10．已知集合，，且，则由的取值组成的集合是_________
【答案】
【分析】先求出集合M，利用N M确定集合N的元素，然后求解．
【详解】
∵M＝{x|x2﹣2x﹣8＝0}，∴M＝{4，﹣2}，
若a＝0，则N＝ ，满足N M．
若a≠0，则N＝{x|ax+4＝0}＝{}，
要使N M，则，
解得a或a＝﹣1．
∴满足条件的a的取值为，
故答案为
【考点】考查集合关系的应用，注意讨论集合N为空集时也成立．
解答题
11．已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若且，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意得方程有实数解，再根据一元二次方程有解的条件即可求出；（2）先求出集合N，分类讨论成立时的情况，最后把满足题意的值并起来即可。
【详解】
（1）由题意得方程有实数解，
，得，
实数的取值范围是.
（2），且，
当，，得；
当时，
当时，，此时，满足，符合题意.
当时，，中有两个元素，
若，则，从而，无解.
综上，实数的取值范围为.
【考点】考查一元二次方程有解的条件以及解法，子集的定义应用
12．已知集合，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）由题，集合最多两个元素，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，即可求解；
（2）分类讨论：为空集，单元素集合，两个元素的集合三种情况分别求解即可.
【详解】
（1）由题集合最多两个元素，，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，，即，由根与系数的关系，，解得：；
（2）由题，中最多两个元素，对于方程
当集合时：
，即时，方程无解，，符合题意；
当集合中只有一个元素时：
，即时，方程的解为，，符合题意；
当中有两个元素时：
，即时，方程有两个不同实根，集合有两个元素，
此时则，所以集合中的方程两根为，由根与系数的关系，，解得：；
综上所述：或.
【考点】考查通过集合的包含关系求参数的取值，集合是方程的解集，在进行分类讨论时应以集合中元素个数为分类标准方可做到不重不漏.
13．已知集合．
（1）若是的真子集，求的范围；
（2）若，且是的子集，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据是的真子集可得得解；
（2）由是的子集对集合进行讨论可求解.
【详解】
（1）∵若是的真子集
∴，
∴，
∴；
（2），
∵，∴，，，，
，则，∴；
是单元素集合，，∴此时
，符合题意；
，不符合.
综上，．
【考点】考查了集合的基本运算
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