苏教版（2019）高中数学必修第一册 1.3 交集、并集 练习(解析版)

1.3交集、并集
教材知识梳理
交集
定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．
性质：
性质 说明
A∩B＝B∩A 满足交换律
A∩A＝A 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身
A∩ ＝ 任何集合与空集的交集等于空集
(A∩B) A，(A∩B) B 两个集合的交集是其中任一集合的子集
并集
定义：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)
性质：
性质 说明
A∪B＝B∪A 满足交换律
A∪A＝A 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身
A∪ ＝A 任何集合与空集的并集等于这个集合本身
A (A∪B)，B (A∪B) 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集
例题研究
一、交并补混合运算
题型探究
例题1
设集合，，则下列运算正确的是
A． B． C． D．
例题2
设全集为定义集合与的运算：且，则（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练
训练1
下列集合运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
训练2
已知，，，则下列运算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、根据并集结果求集合或参数
题型探究
例题1
设全集R，集合，.
（1）求B及；
（2）若集合，满足，求实数的取值范围.
例题2
已知集合，且．
（1）若，求m，a的值．
（2）若，求实数a组成的集合．
跟踪训练
训练1
已知集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
训练2
已知全集，集合
（1）求；
（2）若集合，求实数a的取值范围．
综合式测试
选择题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则下列结果错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知表示不超过x的最大整数，称为高斯取整函数，例如，，方程的解集为A，集合，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P(A)，用n(A)表示有限集A的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A，都有AP(A)；②存在集合A，使得n[P(A)]＝3；③若AB＝，则P(A)P(B)＝；④若AB，则P(A)P(B)；⑤若n(A)﹣n(B)＝1，则n[P(A)]＝2×n[P(B)].其中正确的命题个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．已知集合，，则(　　)
A． B．
C． D．
6．设集合，集合若中恰含有一个整数 ，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设全集，，（为常数），且，则下列成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．设集合，则满足的的取值范围是
A． B．
C．或或 D．或或
填空题
9．设为全集，对集合、，定义运算“*”，．对于集合，，，，则 ___________．
10．设全集，，，，则集合___________.
解答题
11．已知集合为非空数集，定义：
，
（1）若集合，直接写出集合，.
（2）若集合，，且，求证：
（3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值.
12．已知关于的方程的两根为，方程的两根为，如果互不相等，设集合，作集合；；若已知，求实数的值.
1.3交集、并集答案
教材知识梳理
交集
定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．
性质：
性质 说明
A∩B＝B∩A 满足交换律
A∩A＝A 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身
A∩ ＝ 任何集合与空集的交集等于空集
(A∩B) A，(A∩B) B 两个集合的交集是其中任一集合的子集
并集
定义：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)
性质：
性质 说明
A∪B＝B∪A 满足交换律
A∪A＝A 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身
A∪ ＝A 任何集合与空集的并集等于这个集合本身
A (A∪B)，B (A∪B) 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集
例题研究
一、交并补混合运算
题型探究
例题1
设集合，，则下列运算正确的是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
则
故选
例题2
设全集为定义集合与的运算：且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据定义用交并补依次化简集合，即得结果.
【详解】
且
故选：B
【考点】考查集合新定义、集合交并补概念，考查基本分析转化能力
跟踪训练
训练1
下列集合运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根据，，，各自对应的范围，即可判断结论．
【详解】
因为是自然数集，是整数集，是有理数集，是实数集，
所以：，A项成立，
，B项不成立，
，C项不成立，
，D项不成立，
故选：A．
【考点】考查集合的基本运算以及常用数集
训练2
已知，，，则下列运算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的运算法则依次计算得到答案.
【详解】
，，，
则，，，.
故选：D.
【考点】本题考查了集合的运算
二、根据并集结果求集合或参数
题型探究
例题1
设全集R，集合，.
（1）求B及；
（2）若集合，满足，求实数的取值范围.
【答案】（1），或；（2）.
【分析】
（1）利用一元一次不等式的解法求集合B，再利用集合的交集和补集运算求解；
（2）根据，由求解.
【详解】
（1）∵，
∴，
∴或.
（2）由得，
又因为
所以，
解得.
所以实数的取值范围是
例题2
已知集合，且．
（1）若，求m，a的值．
（2）若，求实数a组成的集合．
【答案】（1），；）（2）
【分析】
（1）依题意可得，，即可求出，从而求出集合，则，即可求出；
（2）首先求出集合，依题意可得，对集合分类讨论，即可求出参数的取值；
【详解】
解：（1）因为，且．，所以，，所以解得，所以，所以，所以，解得
（2）若，所以，因为，所以
当，则；
当，则；
当，则；
综上可得
跟踪训练
训练1
已知集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据集合的运算法则计算；
（2）由得，然后分类和求解．
【详解】
（1）当时，中不等式为，即，
∴或，则
（2）∵，∴，
①当时，，即，此时；
②当时，，即，此时.
综上的取值范围为.
训练2
已知全集，集合
（1）求；
（2）若集合，求实数a的取值范围．
【答案】（1）或；（2）
【分析】
（1）求出集合B，根据交并补的定义即可求解；
（2）根据列出不等式即可求出.
【详解】
（1），
或，或，
或.
（2）或，，
，解得.
综合式测试
选择题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解出集合A、B，再求出.
【详解】
对于集合，有解得，且，所以且
所以.
故选：A
【考点】集合的交、并运算：
(1)离散型的数集用韦恩图；
(2) 连续型的数集用数轴．
2．已知集合，则下列结果错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析集合A与集合B中元素的差异，即可得解.
【详解】
因为，
所以，即等价于，
所以集合比集合少一个元素，
所以，，正确，错误.
故选：B
【考点】考查集合的描述法，集合的包含关系，并集，补集运算，属于中档题.
3．已知表示不超过x的最大整数，称为高斯取整函数，例如，，方程的解集为A，集合，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据题意可得，求出集合A，再讨论的取值范围，求出集合，由集合的运算结果即可求解.
【详解】
由题意可得或，
，
当时，，满足；
当时，或，
若，则，解得；
当时，或，
若，则，解得，
综上所述，实数a的取值范围是或.
故选：C
【考点】考查由集合的运算结果求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
4．定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P(A)，用n(A)表示有限集A的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A，都有AP(A)；②存在集合A，使得n[P(A)]＝3；③若AB＝，则P(A)P(B)＝；④若AB，则P(A)P(B)；⑤若n(A)﹣n(B)＝1，则n[P(A)]＝2×n[P(B)].其中正确的命题个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据所给定义，结合集合子集个数公式，逐一判断即可.
【详解】
由 P(A)是由集合A的所有子集组成的集合，又若集合A有个元素，则集合A的所有子集共有个.
所以，故①正确.
设，则，故②不正确，
若AB＝，则，故③不正确；
若AB，则P(A)P(B)，故④正确，
，即中元素比中元素多1个，
设，则，则，则
所以，故⑤正确，
所以正确的有①④⑤.
故选：C
【考点】考查新定义题，考查了集合子集个数公式，考查了数学运算能力，属于中档题.
5．已知集合，，则(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】按并集的定义即可得答案．
【详解】
，，
所以．
故选：A.
【考点】考查并集及其运算
6．设集合，集合若中恰含有一个整数 ，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化简集合A，再根据函数y=f（x）=x2﹣2ax﹣1的零点分布，结合A∩B恰有一个整数求解.
【详解】
A={x|x＜﹣3或x＞1}，
函数y=f（x）=x2﹣2ax﹣1的对称轴为x=a＞0，
而f（﹣3）=6a+8>0，f（﹣1）=2a>0，f（0）<0，
故其中较小的零点为（-1，0）之间，另一个零点大于1，f（1）<0，
要使A∩B恰有一个整数，
即这个整数解为2，
∴f（2）≤0且f（3）＞0，
即，
解得： ，
即≤a＜，
则a的取值范围为．
故答案为：A.
【考点】考查集合的交集运算的应用以及二次函数的零点分布问题，还考查了转化求解问题的能力
7．设全集，，（为常数），且，则下列成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出集合，根据可求得实数的取值范围，利用集合的基本运算可判断各选项的正误.
【详解】
或，，且,
则，，
对于A选项，取，则，，
所以，，A选项错误；
对于B选项，取，则或，此时，B选项错误；
对于C选项，取，则，或，
此时，或或，C选项错误；
对于D选项，，则，，此时，D选项正确.
故选：D.
【考点】考查与集合运算正误的判断，考查计算能力，属于基础题.
8．设集合，则满足的的取值范围是
A． B．
C．或或 D．或或
【答案】D
【分析】
由已知条件知是集合的子集，分集合是空集, 集合只有一个元素, 集合有两个元素三种情况讨论，当集合是空集时，一元二次方程的根的判别式小于0，求得的取值范围；集合只有一个元素时，一元二次方程的根的判别式等于0，解得的值，验证集合不满足题意；集合有两个元素，且这两个元素之积是6时，运用韦达定理求得的值，综合以上的三种情况得出的取值范围.
【详解】
由题意知是集合的子集，又因为．所以
（1）当是空集时，即无解，所以，解得，符合题意；
（2）当中仅有一个元素，则，解得时，此时的根是，不符合题意，舍去；
（3）当中有两个元素时，并且这两个元素之积为6，考察集合，，都符合题意，此时由韦达定理可得，或；
综上可得：的取值范围为或或，
故选D．
【考点】考查集合中的有关参数取值问题,涉及到的知识有集合的包含关系,一元二次方程根的个数判断,一元二次方程根与系数的关系等知识,解题的关键是理解集合及条件的含义,能利用一元二次方程根与系数的关系辅助做出判断,属于中档题.
填空题
9．设为全集，对集合、，定义运算“*”，．对于集合，，，，则 ___________．
【答案】.
【分析】根据定义求出集合，再次利用定义得出.
【详解】
由于，，，，则，
由题中定义可得，则，
因此，，故答案为.
【考点】考查集合的计算，涉及新定义，属于中等题.
10．设全集，，，，则集合___________.
【答案】
【分析】
先求出全集，由题意可知，，由已知条件可知，利用韦达定理可得出集合中的另一个元素，由此可解出集合，再结合可求出集合.
【详解】
，则，，
，，
设集合中的另一个元素为，由韦达定理得，得，.
，又，，
设集合中另一个元素为，由韦达定理得，得，因此，，
故答案为.
【考点】考查集合的并集、补集运算，属于中等题.
解答题
11．已知集合为非空数集，定义：
，
（1）若集合，直接写出集合，.
（2）若集合，，且，求证：
（3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值.
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）1347.
【分析】
（1）根据题目定义，直接计算集合及；
（2）根据两集合相等即可找到，，，的关系；
（3）通过假设集合，，，，，，，求出相应的及，通过建立不等关系求出相应的值．
【详解】
（1）根据题意，由，则，；
（2）由于集合，，且，
所以中也只包含四个元素，
即，
剩下的，
所以；
（3）设满足题意，其中，
则，
，
，
，
，，
中最小的元素为0，最大的元素为，
，
，
，
实际上当时满足题意，
证明如下：
设，，
则，，
依题意有，即，
故的最小值为674，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347.
12．已知关于的方程的两根为，方程的两根为，如果互不相等，设集合，作集合；；若已知，求实数的值.
【答案】
【分析】
根据描述法的定义，分别化简集合 ，先根据，可得，再由，所以，进而可得结果.
【详解】
，因此且，
所以，即；
又，
因此
即，，所以；
又，
因此
即，，所以.
【考点】集合的基本运算
关注点：
（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；
（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；
（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．
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