1.3 交集、并集
能力提升
集合的综合运算
1.已知集合A={x|x2-3|x|+2=0},若集合B满足A∪B={-2,-1,1,2},A∩B={2},则满足条件的集合B为( )
A.{1,2} B.{-1,1,2}
C.{-2,-1,1,2} D.{2}
2.如图,已知I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )
A.( IA∩B)∩C B.( IB∪A)∩C
C.(A∩B)∩( IC) D.(A∩ IB)∩C
3.已知集合(A∪B) {1,2,3,…,100},且A与B的元素个数相同,A∩B= ,对于任意n∈A,总有2n+2∈B,则集合A∪B的元素个数最多为( )
A.62 B.66
C.68 D.74
4.某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座,其中有75人听了数学讲座,68人听了历史讲座,61人听了音乐讲座,17人同时听了数学、历史讲座,12人同时听了数学、音乐讲座,9人同时听了历史、音乐讲座,还有6人听了全部讲座.求听讲座的人数.
集合运算中的参数问题
5.已知集合A={x|1
A. B.
C.(-∞,0] D.[0,+∞)
6.(多选)集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1A.[0,6] B.(-∞,2]∪[4,+∞)
C.(-∞,0]∪[6,+∞) D.[8,+∞)
7.若集合A={x|mx2+x+m=0,m∈R},且A∩R= ,则实数m的取值范围是 .
8.设集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}.
(1)若A∩B=A∪B,求实数a的值;
(2)若 (A∩B),且A∩C= ,求实数a的值;
(3)若A∩B=A∩C={2},求实数a的值.
集合运算中的新定义问题
9.对于非空集合A,B,定义运算:A B={x|x∈A∪B,且x A∩B},已知M={x|aA.(a,d)∪(b,c) B.(c,a)∪(b,d)
C.(a,c]∪[d,b) D.(c,a)∪(d,b)
10.已知集合P=,Q={0,7,a2+4a-2,2-a},其中a∈R.
(1)若P∩Q={0,3},求a的值;
(2)定义集合A、B间的运算A*B={x|x∈A且x B},当a=1时,求集合Q*P.
答案全解全析
1.3 交集、并集
能力提升：
1.D 由x2-3|x|+2=0,解得|x|=1或|x|=2,∴A={-2,-1,1,2}.
∵A∪B={-2,-1,1,2}=A,A∩B={2}.
∴满足条件的集合B={2}.
2.D 由题图可知阴影部分中的元素属于A,不属于B,属于C,则阴影部分表示的集合是(A∩ IB)∩C.
3.B 令2n+2≤100(n∈N*),解得n≤49(n∈N*),所以集合A是集合{1,2,3,…,49}的一个非空子集.
再由A∩B= ,先从A中去掉形如2n+2(n∈N*)的数,由2n+2≤49,n∈N*,可得n≤23,n∈N*,49-23=26,此时A中有26个元素.
由于集合A中已经去掉了4、6、8、12、16、20、22这7个数,而它们对应的形如2n+2,n∈N*的数分别为10、14、18、26、34、42、46,并且10、14、18、26、34、42、46对应的形如2n+2,n∈N*的数都在集合B中.
故集合A中还可有以下7个特殊元素:10、14、18、26、34、42、46,
故集合A中元素最多时,集合A中共有26+7=33个元素,对应的集合B也有33个元素,
因此,A∪B中共有66个元素.
4.解析 解法一:设听了数学讲座、历史讲座、音乐讲座的同学构成的集合分别为A,B,C,因为听了数学讲座的人数为75,所以A中元素的个数为75.同理,B中元素的个数为68,C中元素的个数为61,A∩B中元素的个数为17,A∩C中元素的个数为12,B∩C中元素的个数为9,A∩B∩C中元素的个数为6,那么A∪B∪C中元素的个数为75+68+61-17-12-9+6=172,即听讲座的人数为172.
解法二:作出Venn图.由图知听讲座的人数为52+48+46+11+6+3+6=172.
5.D 因为A∩B= ,所以分两种情况:
①当2m≥1-m,即m≥时,B= ,符合题意;
②当2m<1-m,即m<时,
需满足或
解得0≤m<.
综上,实数m的取值范围是[0,+∞).
6.CD 由题意得A={x|a-1又因为A∩B= ,
所以a+1≤1或a-1≥5,即a≤0或a≥6.
故满足题意的有C、D.
7.答案 ∪
解析 ∵A={x|mx2+x+m=0,m∈R},且A∩R= ,∴方程mx2+x+m=0无实数解,
∴
解得m<-或m>.
∴实数m的取值范围是∪.
8.解析 (1)B={x|x2-5x+6=0}={2,3},
∵A∩B=A∪B,∴A=B,∴A={2,3},
∴解得a=5.
(2)∵ (A∩B),A∩C= ,B={2,3},C={x|x2+2x-8=0}={-4,2},
∴-4 A,2 A,3∈A,∴32-3a+a2-19=0,
即a2-3a-10=0,解得a=-2或a=5.
当a=-2时,A={-5,3},满足题意;
当a=5时,A={2,3},不满足题意,舍去.
综上,a=-2.
(3)由(1)(2)可知B={2,3},C={-4,2},若A∩B=A∩C={2},
则2∈A,则22-2a+a2-19=0,
即a2-2a-15=0,解得a=5或a=-3.
当a=5时,A={2,3},不满足题意,舍去;
当a=-3时,A={-5,2},满足题意.
综上,a=-3.
9.C 由a+b=c+d,ab故M∪N=(a,b),M∩N=(c,d),
所以M N=(a,c]∪[d,b).故选C.
10.解析 因为P=,
所以P={0,2,3}.
(1)∵P∩Q={0,3},
∴a2+4a-2=3或2-a=3.
∴a=-5或a=1或a=-1.
当a=-5时,Q={0,7,3,7}(舍去);
当a=1时,Q={0,7,3,1};
当a=-1时,Q={0,7,-5,3}.
综上所述,a=1或a=-1.
(2)由(1)知,当a=1时,Q={0,7,3,1}.
∵P={0,2,3},Q*P={x|x∈Q且x P},
∴Q*P={1,7}.
2 / 71.3 交集、并集
【基础过关】
交集运算
1.若A,B是两个集合,则集合{x|x∈A,且x∈B}可用阴影表示为( )
2若集合A={1,2,3,4},B={2,4,6},则A∩B=( )
A.{2} B.{2,4}
C.{2,4,6} D.{1,2,3,4,6}
3.若集合A={x|-1A.(-1,0] B.[0,1)
C.[0,2) D.[1,2)
4.(多选)若全集U=R,集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k∈N*}关系的Venn图如图所示,则阴影部分表示的集合中的元素有( )
A.-1 B.0 C.1 D.3
5.若集合M={x|-3并集运算
6.若集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=( )
A.{-1,0,1} B.{-1,0,1,2}
C.{-1,0,2} D.{0,1}
7.若集合M={x|1A.{x|2B.{x|1C.{x|1≤x<2或3≤x≤5}
D.{x|1≤x≤5}
8.设集合A={x2,x-1},B={x-5,1-x,9}.
(1)若x=-3,求A∩B;
(2)若9∈A,求A∪B.
集合的综合运算
9.设集合A={1,2},B={x|x2+mx-3=0},若A∩B={1},则A∪B=( )
A.{1,2} B.{-3,1,2} C.{-3,1} D.{1,2,3}
10.如果全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={3,4,5},B={1,3,6},那么集合{2,7}是( )
A.A∪B B.A∩B
C. U(A∩B) D. U(A∪B)
11.若集合A={x|112.已知x∈R,集合A={-3,x2,x+1},B={x-3,2x-1,x2+1},若A∩B={-3},则A∪B= .
13.已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2集合运算中的参数问题
14.设集合M={-1,2,3},N={a+2,a2+2},若M∩N={3},则实数a的值为( )
A.1或-1 B.-1 C.1 D.2
15.若集合A={0,1,2,x},B={1,x2},A∪B=A,则满足条件的实数x有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
16.已知集合A={4,a2},B={-1,16},若A∩B≠ ,则a= .
17.设集合A={-2},B={x|ax+2=0,a∈R},若A∩B=B,求a的值.
答案全解全析
1.3 交集、并集
【基础过关】
1.D 集合{x|x∈A且x∈B}=A∩B,故选D.
2.B 根据集合交集的概念可知,A∩B={2,4}.故选B.
3.C 由题意,集合A={x|-14.CD M={x|-1≤x≤3},N={x|x=2k-1,k∈N*},∴M∩N={1,3},
故选CD.
5.答案
解析 用数轴表示集合M与N,易得M∩N= .
6.B 由题意,得M∪N={-1,0,1,2}.故选B.
7.B M∪N={x|18.解析 (1)当x=-3时,A={9,-4},B={-8,4,9},∴A∩B={9}.
(2)∵9∈A,
∴x2=9或x-1=9,解得x=±3或x=10.
当x=3时,集合B中元素不满足集合元素的互异性,
∴x=-3或x=10.
由(1)知,x=-3时,A={9,-4},B={-8,4,9},∴A∪B={-8,-4,4,9};
x=10时,A={100,9},B={5,-9,9},
∴A∪B={-9,5,9,100}.
综上,A∪B={-8,-4,4,9}或A∪B={-9,5,9,100}.
9.B ∵A∩B={1},∴1∈B,∴1+m-3=0,∴m=2,∴B={x|x2+2x-3=0}={1,-3},∴A∪B={-3,1,2}.故选B.
10.D 由已知得,A∩B={3,4,5}∩{1,3,6}={3},A∪B={3,4,5}∪{1,3,6}={1,3,4,5,6},
∴ U(A∩B)={1,2,4,5,6,7}.
U(A∪B)={2,7}.故选D.
11.答案 (3,4)
解析 易得B=[-1,3],
∴ RB=(-∞,-1)∪(3,+∞),
∴A∩( RB)=(3,4).
12.答案 {0,1,2,-3,-4}
解析 因为A∩B={-3},
所以集合B中必含有元素-3.
若x-3=-3,解得x=0,此时A={-3,0,1},B={-3,-1,1},则A∩B={-3,0,1}∩{-3,-1,1}={-3,1},不满足题意;
若2x-1=-3,解得x=-1,此时A={-3,1,0},B={-4,-3,2},则A∩B={-3,1,0}∩{-4,-3,2}={-3},A∪B={-3,1,0}∪{-4,-3,2}={0,1,2,-3,-4}.
若x2+1=-3,则方程无实数解.
综上可知,A∪B={0,1,2,-3,-4}.
13.解析 如图所示:
∵A={x|-2U={x|x≤4},
∴ UA={x|x≤-2或3≤x≤4},
UB={x|x<-3或2A∩B={x|-2∴( UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4},
A∩( UB)={x|2 U(A∪B)={x|x<-3或3≤x≤4}.
14.B ∵M∩N={3},
∴3∈M且3∈N,
∴a+2=3或a2+2=3,
解得a=1或a=-1,
当a=1时,a+2=3,a2+2=3,与集合中元素的互异性矛盾,舍去.
当a=-1时,N={1,3},满足题意,
故a=-1.故选B.
15.B ∵A∪B=A,∴B A,
∵A={0,1,2,x},B={1,x2},
∴x2=0或x2=2或x2=x,
解得x=0或x=或x=-或x=1.
当x=0或x=1时,集合A中元素不满足集合元素的互异性,舍去;
当x=或x=-时,满足题意,
故满足条件的实数x有2个.故选B.
16.答案 ±4
解析 因为A∩B≠ ,所以a2=16,解得a=±4.
17.解析 ∵A∩B=B,∴B A.
∵A={-2}≠ ,∴B有2种情况:
当B= 时,方程ax+2=0无解,此时a=0;
当B≠ 时,此时a≠0,则B=,
∴-∈A,即有-=-2,得a=1.
综上,a=0或a=1.
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