省级教学竞赛获奖课件1.5.1全称量词与存在量词 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.5.1 全称量词与存在量词
教学目标
理解全称量词、存在的定义，全称量词命题、存在量词命题的定义
01
会用数学符号语言描述全称量词命题与存在量词命题（重点）
02
掌握全称量词命题与存在量词命题真假的判断（重点、难点）
03
04
全称量词与存在量词
学科素养
全称量词、存在的定义，全称量词命题、存在量词命题的定义
数学抽象
直观想象
全称量词命题与存在量词命题真假的判断
逻辑推理
全称量词命题与存在量词命题的应用
数学运算
数据分析
数学建模
全称量词与存在量词
01
知 识 回 顾
Retrospective Knowledge
全称量词与存在量词
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．
我们有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题．但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语成为量词．
02
新 知 探 索
New Knowledge explore
下列语句是命题吗 (1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？
(1) x>3； (2) 2x+1是整数；
(3) 对所有的x∈R，x>3； (4) 对任意一个x∈Z，2x+1是整数．
语句（1）（2）中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．
(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量x进行限定，使(3)变成了可以判断真假的语句;
(4)在(2)的基础上,用短语“任意一个”对变量x进行限定，使(4)变成了可以判断真假的语句.
全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，
并用符号“ ”表示．
常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．
全称量词命题的表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，
可用符号简记为“ x∈M，p(x)” ．
全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
含有变量x的语句
【例1】判断下列全称量词命题的真假．
(1)所有的素数都是奇数；
(2) x∈R，|x|+1≥1；
(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．
∵2是素数,但不是奇数, ∴命题(1)是假命题;
∵|x|≥0，∴|x|+≥1，∴命题(2)是真命题；
∵ 是无理数,但 是有理数,∴命题(3)是假命题;
思考：如何判断全称量词命题的真假？
若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;
若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x0 )不成立即可.
下列语句是命题吗 (1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系
(1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除；
(3)存在一个x∈R,使2x +1=3； (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除．
容易判断，语句（1）（2）不是命题．
(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;
(4)在(2)的基础上,用短语“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.
存在量词：短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，
并用符号“ ”表示．
常见的存在量词还有“有些”“有一个”“有的”“某一个”等
存在量词命题的表述形式：全称量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”，
可用符号简记为“ x∈M，p(x)”．
存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做全称量词命题．
【例2】判断下列存在量词命题的真假.
(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;
(3)有些平行四边形是菱形.
∵由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此
不存在两个相交的直线垂直于同一条直线,∴命题(2)是假命题;
∵△=-8<0,∴一元二次方程x2+2x+3=0无实根,∴命题(1)是假命题;
∵菱形是平行四边形，∴命题(3)是真命题.
思考：如何判断存在量词命题的真假？
要判断存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.
如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,（即集合M中所有的元素x，都使得p(x)不成立），那么这个存在量词命题是假命题.
【练习】下列命题中为全称量词命题的是(　　)
A.有些实数没有倒数；
B.矩形都有外接圆；
C.过直线外一点有一条直线和已知直线平行；
D. x∈R，x2+x≤2.
【解析】选A、C、D是存在量词命题，B可改写为“所有矩形都有外接圆”，是全称量词命题.
B
【练习】将下列命题用“ ”或“ ”表示．
(1)实数的平方是非负数；
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根.
x0<0，ax0 ＋2x0＋1＝0(a<0)．
x∈R，x2≥0．
【练习】判断下列量词命题的真假．
(1)末位是零的整数，可以被5整除．
(2) x∈R，有|x＋1|>1.
(3) x∈R，满足3x2＋2>0.
(4)有些整数只有两个正因数．
因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以(1)是真命题.
当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以(2)为假命题.
x∈R，有3x2＋2>0，所以(3)为真命题．
如存在整数3只有正因数1和3，所以(4)为真命题．
03
拓 展 提 升
Expansion And Promotion
【例】已知命题“任意1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．
因为“任意1≤x≤2，x2－m≥0”成立，
所以x2－m≥0，即m≤x2对任意的1≤x≤2恒成立，
【解析】因为y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，
所以y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1．
所以m≤1，
所以实数m的取值范围是{m|m≤1}．
【例】已知命题“存在1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．
【解析】因为y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，
所以y＝x2在1≤x≤2上的最大值为22＝4．
因为“存在1≤x≤2，x2－m≥0”成立，
所以x2－m≥0，即m≤x2在1≤x≤2有解，
所以m≤4，
所以实数m的取值范围是{m|m≤4}．
04
归 纳 总 结
Sum Up
全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，
并用符号“ ”表示．
全称量词命题的表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，
可用符号简记为“ x∈M，p(x)” .
存在量词：短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，
并用符号“ ”表示．
存在量词命题的表述形式：全称量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”，
可用符号简记为“ x∈M，p(x)”.
全称量词命题真假的判断：
若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;
若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x0 )不成立即可.
存在量词命题真假的判断：
要判断存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.
如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,（即集合M中所有的元素x，都使得p(x)不成立），那么这个存在量词命题是假命题.
05
课 后 作 业
Homework After Class