苏教版（2019）高中数学必修第一册 第1章《集合》单元综合测试B（含解析）

《集合》单元综合测试B
（时间：120分钟 分值：150分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.下列描述正确的有（ ）
①很小的实数可以构成集合；
②集合与集合是同一集合；
③偶数集可以表示为.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.已知集合，则（ ）
A.
B.
C.
D.
3.满足的集合M共有（ ）
A.6个
B.7个
C.8个
D.15个
4.已知集合，则集合P的真子集的个数是（ ）
A.4
B.64
C.15
D.63
5.已知全集，集合，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.设全集，若，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
7.设集合，若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
8.设集合，集合中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为（ ）
A.
B.
C.
D.
9.定义集合运算：.设，则集合中的所有元素之和为（ ）
A.
B.0
C.1
D.2
10.已知集合，且，则实数a的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
11.对于任意两个正整数m，n，定义运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是（ ）
A.18
B.17
C.16
D.15
12.已知集合，其中，且,的所有元素之和为124，则集合（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.设，则集合N中元素的个数为_________.
14.设为非零实数，则的所有可能取值构成的集合为__________.
15.已知集合，若,则实数a的值为_________.
16.设P是一个数集，且至少含有两个元素.若对任意的，都有，（除数），则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法：
①整数集是数域；
②若有理数集，则数集M必为数域；
③数域必为无限集.
其中正确说法的序号是__________.
三、解答题（共70分）
17.（10分）设，求和.
18.（12分）设集合，求实数a的值.
19.（12分）已知集合.
（1）若，求a的取值范围；
（2）若，求a的取值范围.
20.（12分）设，其中，如果，求实数a的取值范围.
21.（12分）若集合，.
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）若，求实数m的取值范围.
22.（12分）对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合A为“和谐集”.
（1）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）；
（2）请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”；
（3）当时，求证：集合A不是“和谐集”.
参考答案
1.
答案：B
解析：对于①，不满足集合中元素的确定性；对于②，集合表示的是数集，集合表示的是点集，故不是同一种集合；对于③，符合偶数集的定义.故选B.
2.
答案：B
解析：方程的解为，.故选B.
3.
答案：B
解析：符合题意的集合M有，共7个.
4.
答案：D
解析：由已知，得，所以集合P的真子集的个数为.
5.
答案：B
解析：由题意，得，阴影部分所表示的集合为，所以为.
6.
答案：C
解析：根据题意作出Venn图，如图所示，易知.故选C.
7.
答案：D
解析：由，可得或当时，得此时，则；当时，得此时不满足题意，舍去.故.
8.
答案：D
解析：由题意，知若，则，因为，所以a=0或1或4；若，则，符合题意，故实数a的取值集合为.
9.
答案：B
解析：当时，；当时，；当时，；当时，.所以，则中的所有元素之和为0.
10.
答案：C
解析：由已知，得.又，所以，故选C.
11.
答案：B
解析：易知，，，因为集合M中的元素是有序数对，所以集合M中的元素共有17个，故选B.
12.
答案：C
解析：必分别是某两个整数的平方，又，.①若，则，解得（舍去）；②若，则，解得或（舍去）..综上，.
13.
答案：4
解析：由题可知集合N是由集合M的子集构成的集合，又M的子集为必，，所以集合N中元素的个数为4.
14.
答案：
解析：当全为正数时，；当a，c为正数，b为负数时，；当a，b为正数，c为负数时，；当b，c为正数，a为负数时，；当a为正数，b，c为负数时，；当b为正数，a，c为负数时，；当c为正数，a，b为负数时，；当全为负数时，.故x的所有可能取值构成的集合为.
15.
答案：
解析：有三种情况：（1），则；（2），则；（3）时，.
16.
答案：③
解析：因为，所以整数集不是数域，①不正确；令数集，则，但，所以②不正确；根据定义，如果在数域中，那么（k为整数），都在数域中，故数域必为无限集，③正确.
17.
答案：见解析
解析：因为，
所以，
；
所以：，
.
18.
答案：见解析
解析：，
解得
.
即实数a的值为2.
19.
答案：见解析
解析：因为集合，
（1）当时，
解得，
解得，
所以a的取值范围是.
（2）当时，，
即，解得a的取值范围是.
20.
答案：见解析
解析：由得，而，对于,.
当，即时，，符合；
当，即时，，符合；
当，即时，B中有两个元素，而.
得.
.
21.
答案：见解析
解析：（1）由已知可得，
,
.
若，则.
解得.
所以实数m的取值范围为.
（2）结合（1）可得.
若，即.
则解得.
所以m的取值范围是.
22.
答案：见解析
解析：（1）集合不是“和谐集”.
（2）（答案不唯一）集合为“和谐集”，证明如下：
因为3+5+7+9=11+13，
1+9+13=5+7+11，
9+13=1+3+7+11，
1+9+11=3+5+13，
1+3+5+11=7+13，
3+7+9=1+5+13，
1+3+5+9=7+11，
所以集合是“和谐集”.
（3）不妨设.
将集合分成两个交集为空集的子集，且这两个子集元素之和相等.
则有，①
或，②
将集合分成两个交集为空集的子集，且这两个子集元素之和相等，则有，③
或，④
由①③得，与矛盾；
由①④得，与均为正整数矛盾；
由②③得，与均为正整数矛盾；
由②④得，与矛盾.
故当时，集合A不是“和谐集”.
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