省级教学竞赛获奖课件4.1.1n次方根与分数指数幂 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
教学目标
理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念（重点）
01
掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值（重点、难点）
02
掌握分数指数幂的运算性质（重点、难点）
03
04
n次方根与分数指数幂
学科素养
n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念
数学抽象
直观想象
分数指数幂的运算性质
逻辑推理
分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值
数学运算
数据分析
数学建模
n次方根与分数指数幂
01
知 识 回 顾
Retrospective Knowledge
指数
为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数。初中已经学过整数指数幂．
幂
指数
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
指数运算
整数指数幂的运算性质：
整数指数幂：
02
新 知 探 索
New Knowledge explore
为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数. 在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数 ，记作 ．
像 这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究．
乘方运算
开方运算
乘方和开方是互逆运算
因为(±4)2 =16，所以±4叫做16的平方根;
因为(±3)2 =9，所以±3叫做9的平方根；
因为23=8，所以2叫做8的立方根；
因为(-2)3=-8，所以-2叫做-8的立方根；
如果x2=a，那么x叫做a的平方根；
如果x3=a，那么x叫做a的立方根；
类似地，
因为(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根;
因为25=32，我们把2叫做32的5次方根；
n次方根
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，0的n次方根为0，这时，a的n次方根用符号 表示．
例如：
奇次方根
1.正数的奇次方根是一个正数；
2.负数的奇次方根是一个负数；
3.0的奇次方根为0．
n次方根定义:
一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
奇次方根
当n是偶数时：正数的n次方根是有两个，这两个数互为相反数，这时候，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 表示.正的n次方根和负的n次方根合并写成 ；
例如：
0的n次方根为0.
n次方根定义:
一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
偶次方根
负数有没有偶次方根，因为任何实数的偶次方都是非负数.
偶次方根
2.负数没有偶次方根；
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数；
3.0的偶次方根为0．
负数有没有偶次方根？为什么？
？
偶次方根
(n为奇数)
(当n是偶数，且a＞0)
0的任何次方根都是0，记作 ．
根式:
式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
n次方根定义:
一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
根式
根据n次方根的意义，可得：
表示 的n次方根， 一定成立吗？如果不一定成立，那么
等于什么？
探究
根式性质
例1 求下列各式的值：
当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？
把根式表示为分数指数幂的形式的时候，例如：
分数指数幂
正数的正分数指数幂：
正数的负分数指数幂：
规定：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义．
分数指数幂
一般的，无理数指数幂 aα（a>0，α为无理数）是一个确定的实数，幂中的指数的取值范围就从整数拓展到了有理数，并拓展到了实数． 实数指数幂是一个确定的实数．对任意实数r，s，均有下面的性质：
指数运算性质
例2 求下列各式的值：
根式化简与求值的思路及注意点：
(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质
进行化简．
(2)注意点：
①正确区分“ ”与“ ”两式；（注意分析 是否有意义）
②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方公式、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
例3 用分数指数幂的形式表示下列各式：
例4 计算下列各式（式子中的字母均是正数）：
例4 计算下列各式（式子中的字母均是正数）：
03
拓 展 提 升
Expansion And Promotion
化简并求值：
利用指数幂的运算性质化简求值的方法：
（1）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数
幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序；
（2）在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，
则可以对根式进行化简运算；
（3）对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
04
归 纳 总 结
Sum Up
奇次方根
1.正数的奇次方根是一个正数；
2.负数的奇次方根是一个负数；
3.0的奇次方根为0．
n次方根定义:
一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
偶次方根
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数；
2.负数没有偶次方根；
3.0的偶次方根为0．
(n为奇数)
(当n是偶数，且a＞0)
0的任何次方根都是0，记作 ．
根式:
式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
n次方根定义:
一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
正数的正分数指数幂：
正数的负分数指数幂：
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义．
指数运算性质：
05
课 后 作 业
Homework After Class
1.用分式指数幂的形式表示下列各式
2.化简并求值：