省级教学竞赛获奖课件4.5.1函数的零点与方程的解 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.5.1 函数的零点与方程的解
教学目标
了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系（重点）
01
会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间（重点、难点）
02
能借助函数单调性及图象判断零点个数（重点）
03
04
函数的零点与方程的解
学科素养
函数零点的概念
数学抽象
借助图像判断零点个数
直观想象
借助图像判断零点个数
逻辑推理
求函数零点或零点所在区间
数学运算
数据分析
数学建模
函数的零点与方程的解
01
知 识 回 顾
Retrospective Knowledge
二次函数的零点
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点．
例如，方程x2-5x+6=0的根为x1=2，x2=3，则二次函数f(x)=x2-5x+6的零点就是2和3．
其图像与x轴的公共点坐标为（2,0），（3,0）
y
6
3
x
O
2
即二次函数f(x)=x2-5x+6的零点为其图像与x轴公共点的横坐标．
02
新 知 探 索
New Knowledge explore
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点，像ln x十2x－6=0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？
与二次函数的零点一样，对于一般函数y= f (x)，我们把使f (x)=0的实数
x叫做函数y= f (x)的零点．
这样函数y= f (x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y= f (x)的图像与x轴的公共点的横坐标．
函数y=f(x)的零点
方程f(x)=0的实数解
函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标．
代数法
几何法
由上述的等价关系我们知道，求方程f (x) =0的实数解，就是确定函数y=f(x)的零点，一般地，对于不能用公式求解的方程f(x) =0，我们可以把它与相应的函数y=f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得
到方程的解．
下面从考察二次函数存在零点时函数图像的特征，以及零点附近函数
值的变化规律入手分析．
对于二次函数 f (x)=x2－2x－3，观察它的图象，
发现它在区间[2，4]上有零点． 这时，函数图象与
x轴有什么关系？在区间[－2， 0]上是否也有这种
关系？你认为应如何利用函数f (x)的取值规律来刻
画这种关系？
再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在
区间，以及这一区间内函数图象与x轴的关系，并
探究用 f (x)的取值刻画这种关系的方法．
探究
2
1
1
-2
2
-1
3
4
-1
-2
-3
-4
0
y
x
可以发现，在零点附近，函数图象是
连续不断的，并且“穿过”x轴．函数在端
点x=2和x =4的取值异号，即 f(2) f(4)<0，函数f (x)=x2－2x－3在区间(2, 4)内有零点x =3，
它是方程x2－2x－3=0的一个根．
2
1
1
-2
2
-1
3
4
-1
-2
-3
-4
0
y
x
同样地，f (－2) f (0)<0，函数 f (x)=x2－
2x－3在(－2， 0)内有零点x=－1，它是方程
x2－2x－3=0的另一个根．
如果函数 y = f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f (a) f (b)<0 ，那么函数 y = f (x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 f (c) =0，这个c也就是方程 f (x) =0 的解．
函数零点存在定理
x
a
c
b
x
b
a
例1 求方程 lnx+2x－6=0的实数解的个数．
解∶设函数f (x) = lnx+2x－6，利用计算工具，列出函数 y = f (x)的对应值表（表4.5-1），并画出图象（图4.5-2）．
由图表可知f(2)<0, f(3)>0，f(2) f(3)<0，
由函数零点存在定理可知，这个函数在区间(2,3)内至少有一个零点．
易证函数f(x)=lnx+2x－6，x∈(0,+∞)是增函数，所以它只有一个零点，即方程lnx+2x－6=0只有一个实数解．
如果函数 y=f(x) 是区间[a，b]上连续的单调函数，且有 f (a) f (b) <0 ，那么函数 y =f (x)在区间 (a，b) 内有且只有一个零点，即存在唯一的实数
c ∈ (a，b)，使得 f (c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解．
函数零点唯一性定理
思考：
如果函数 y=f(x) 是区间[a，b]上连续的单调函数，则函数 y=f(x) 在区间 (a，b) 内零点的个数为 ．
至多一个
（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间
(a,b)内有且仅有一个零点． （ ）
（2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) ≥0，则f(x)在区间
(a,b)内没有零点． （ ）
（3）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续且在区间(a,b)内存在零点.，则
f(x)必满足f (a) ·f(b) < 0． （ ）
（4）已知函数y=f (x)是在区间[a,b]上连续的单调函数且满足 f (a)f(b) < 0，
则函数y=f (x)区间(a,b)上有且仅有一个零点． （ ）
练习1 判断下列命题是否成立，若不成立请通过图像说明理由．
（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间
(a,b)内有且仅有一个零点． （ ）
（2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) ≥0，则f(x)在区间
(a,b)内没有零点． （ ）
×
×
x
b
a
x
b
a
练习1 判断下列命题是否成立，若不成立请通过图像说明理由．
（3）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续且在区间(a,b)内存在零点.，则
f(x)必满足f (a) ·f(b) < 0． （ ）
（4）已知函数y=f (x)是在区间[a,b]上连续的单调函数且满足 f (a) f(b) < 0，
则函数y=f (x)区间(a,b)上有且仅有一个零点． （ ）
x
b
a
x
b
a
x
b
a
练习1 判断下列命题是否成立，若不成立请通过图像说明理由．
√
×
练习2 函数f(x) = ex-1＋4x－4的零点所在区间为( )
A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
【解析】因为f(－1) = e-2－4－4<0，
f (0) = e-1－4<0，
f (1) = e0+4－4>0，
所以f (0)·f(1)<0，
所以f (x)在(0，1)上至少有一个零点，
又f(x)是R上的增函数，故f(x)的零点所在的区间为(0，1)．
03
拓 展 提 升
Expansion And Promotion
O
1
2
3
6
例 求方程lnx+2x－6=0的实数解的个数．
【解析】方程lnx+2x－6=0的实数解的个数，
等价于方程lnx=－2x+6的实数解的个数，
等价于方程组y=lnx，y=－2x+6的实数解的个数，
等价于函数y=lnx与函数y=－2x+6图象交点的个数，
如图，两个函数的图象交点个数为1，
即方程lnx+2x－6=0有1个实数解．
函数y = f (x)-g(x)的零点
函数y = f (x)-g(x)的图象与x轴公共点的横坐标；
方程f (x)-g(x) = 0的实数解；
方程f (x) = g(x)的实数解；
函数y = f (x)的图象与y=g(x)的图象公共点的横坐标.
练习 判断函数 的零点的个数．
04
归 纳 总 结
Sum Up
函数y=f(x)-g(x)的零点
方程f(x)-g(x)=0的实数解;
方程f(x)=g(x)的实数解;
函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象公共点的横坐标．
函数y=f(x)的零点
方程f(x)=0的实数解;
函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标．
零点存在定理：如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解．
05
课 后 作 业
Homework After Class