省级教学竞赛获奖课件4.5.2用二分法求方程的近似解 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.5.2 用二分法求方程的近似解
教学目标
掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤（重点）
01
会用二分法求方程的近似解（重点、难点）
02
03
04
用二分法求方程的近似解
学科素养
数学抽象
直观想象
二分法求方程近似解的原理与步骤
逻辑推理
用二分法求方程的近似解
数学运算
数据分析
数学建模
用二分法求方程的近似解
01
知 识 回 顾
Retrospective Knowledge
函数的零点与方程的解
函数y=f(x)-g(x)的零点 方程f(x)-g(x)=0的实数解 方程f(x)=g(x)的实数解;
函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象公共点的横坐标．
函数y=f(x)的零点 方程f(x)=0的实数解 函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标．
零点存在定理：如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解．
函数零点唯一性定理：如果函数 y=f(x) 是区间[a,b]上连续的单调函数，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有且只有一个零点，即存在唯一的实数 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解．
02
新 知 探 索
New Knowledge explore
我们已经知道，方程 ln x ＋2x－6=0的实数根x0∈(2，3)，即函数在区间(2，3)内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？
一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精
确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过
取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．
取区间(2，3)的中点2.5，用计算工具算得 f (2.5) ≈ －0.084．因为f(2.5)f(3)<0， 所以零点在区间(2.5，3)．再取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算工具算得 f (2.75)≈0.512.因为f (2.5) f (2.75)<0，所以零点在区间(2.5，2.75)内．
因为(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围变小了．如果重复上述的步骤，那么零点所在的范围会越来越小．
这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在的范围缩小到满足一定精度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值．
f (x)= ln x ＋2x－6
∵f(2)<0， f(3)>0，∴x0∈(2，3)
∵f(2.5)<0， f(3)>0，∴x0∈(2.5，3)
∵f(2.5)<0， f(2.75)>0，∴x0∈(2.5，2.75)
∵f(2.5)<0， f(2.625)>0，∴x0∈(2.5，2.625)
∵f(2.5)<0， f(2.5625)>0，∴x0∈(2.5，2.5625)
∵f(2.53125)<0， f(2.5625)>0，∴x0∈(2.53125，2.5625)
2
3
2.5
2.75
2.65
2.5625
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
(2，3) 2.5 -0.084
(2.5，3) 2.75 0.512
(2.5，2.75) 2. 625 0.215
(2.5，2.625) 2.562 5 0.066
(2.5，2.5625) 2. 531 25 -0.009
(2.53125，2.5625) 2. 546 875 0.029
(2.53125，2.546875) 2. 539 062 5 0.010
(2.53125，2.5390625) 2. 535 156 25 0.001
例如，当精确度为0.01时，因为|2.539 062 5－2.531 25|
=0.007 812 5<0.01，所以区间(2.531 25，2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将x = 2.531 25作为函数f(x)=lnx＋2x－6零点的近似值，即方程lnx＋2x－6=0的近似解．
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
(2，3) 2.5 -0.084
(2.5，3) 2.75 0.512
(2.5，2.75) 2. 625 0.215
(2.5，2.625) 2.562 5 0.066
(2.5，2.5625) 2. 531 25 -0.009
(2.53125，2.5625) 2. 546 875 0.029
(2.53125，2.546875) 2. 539 062 5 0.010
(2.53125，2.5390625) 2. 535 156 25 0.001
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y = f (x)，通过不断地把函数 f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
二分法的理论依据是什么？
x
y
0
a
b
能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断，
并且有f(a)·f(b)<0．
二分法是否适合求所有函数的零点？
零点定理
用二分法求函数零点近似值的步骤
3. 计算f(c) ；
若f(c)=0，则c就是函数的零点c ；
若f(a)·f(c)<0，此时零点x0∈(a,c)，则令b=c;若f(b)·f(c)<0，此时零点x0∈(c,b)，则令a=c;
1. 确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
2. 求区间(a,b)的中点c；
4. 判断是否达到精度ε，若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤2~4；
由|a-b|<ε可知，区间[a,b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值，为了方便，我们统一区间端点值a(或b).
例2 借助信息技术，用二分法求方程 2x＋3x=7函数的近似解（精确度为0.1）
【解析】原方程即2x＋3x－7=0 ，令f(x) =2x＋3x－7，用信息技术画出函数
y = f (x)的图象，并列出它的对应值表．
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
观察函数图象和上表，可知f(1)·f(2)<0．
区间 中点的值 中点函数近似值
(1,2) 1.5 0.33
(1,1.5) 1.25 -0.87
(1.25,1.5) 1.375 -0.28
(1.375,1.5) 1.4375 0.02
(1.375,1.4375)
由于 |1.375－1.4375|=0.0625<0.1，
此时区间(1.375，1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解可以为1.375 ．
二分法求方程近似解，计算量较大，重复步骤多，这可以让计算机来完成，但是得是人设计好计算程序，由计算机执行，其程序框图为：
开始
定义f(x)
输入ε,a,b
b=c
a=c
a=c
输出解x=a
结束
是
否
是
否
是
否
03
拓 展 提 升
Expansion And Promotion
练习1 通过下列函数的图象,判断不能用“二分法”求其零点的是 ．
练习2 若二次函数 f (x)=2x2＋3x＋m存在零点，且能够利用二分法求得此零点，则实数m的取值范围是　　　　．
练习3 若函数f(x)=log3x＋x－3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下:
f(2)≈－0.369 1　　　　 f(2.5)≈0.334 0
f(2.25)≈－0.011 9 f(2.375)≈0.162 4
f(2.312 5)≈0.075 6 f(2.281 25)≈0.031 9
则方程log3x＋x－3=0的一个近似解(精确度0.1)为(　　)
A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4
04
归 纳 总 结
Sum Up
二分法：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
用二分法求函数零点近似值的步骤：
1. 确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
2. 求区间(a,b)的中点c；
3. 计算f(c) ；若f(c)=0，则c就是函数的零点c ；
若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a,c))；若f(b)·f(c)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c,b)；
4. 判断是否达到精度ε，若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤2~4；
由|a-b|<ε可知，区间[a,b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值，为了方便，我们统一区间端点值a(或b)．
05
课 后 作 业
Homework After Class
P155 习题4.5
第1，2，3题