省级教学竞赛获奖课件5.4.1正弦函数、余弦函数的图像 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
第五章 三角函数
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像
教学目标
掌握五点作图法画正余弦函数图象（重点）
01
能用五点作图法做出简单的正弦曲线和余弦曲线（重点）
02
理解正弦曲线和余弦曲线之间的联系（难点）
03
正余弦函数的图象
学科素养
了解利用单位圆正弦函数的概念画正弦曲线的方法.;
数学抽象
掌握"五点法"画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法
直观想象
理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系；
逻辑推理
数学运算
数据分析
数学建模
正余弦函数的图象
01
知 识 回 顾
Retrospective Knowledge
诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
诱导公式
02
知 识 精 讲
Exquisite Knowledge
前面给出了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个函数呢 类比已有的研究方法，可以先画出函数图象，通过观察图象的特征，获得函数性质的一些结论．
我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式
sin(x±2π)= sin x，cos(x±2π)= cos x
来表示．这说明，自变量每增加(减少)2π，正弦函数值、余弦函数值将重复出现.利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程．
下面先研究函数y=sin x,x∈R的图象，从画函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象开始.
B
A
M
x0
T( x0,sin x0 )
x0
y0
x
y
在[0,2π]上取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0，并画出点T(x0，sinx0)？
若把x轴上从0到2π这一段分成12等份，使x的值分别为0， ， ， ，
…，2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T(x0，sinx0)的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点．











利用信息技术取到足够多的点，再将这些点用光滑的曲线连起来，就可以得到比较精确的函数y=sin x，x∈[0,2π]的图像．
正余弦函数的图象
由诱导公式一，可知函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与y＝sin x，x∈[0，2π]的图象形状完全一致．因此将函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动 2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

根据函数y＝sin x, x∈[0,2π]的图象，你能想象正弦函数 y＝sin x，x∈R的图象吗？依据是什么？请你画出该函数的图象．
在函数y＝sinx，[0，2π]的图象上，以下五个点：
在确定图象形状时起关键作用．
因此，在精确度要求不高时，通常描出这五个点，按照正弦函数图象的走势，并用光滑的曲线将之连接就可以画出函数的简图，称之为“五点法”．
正余弦函数的图象
在确定正弦函数的图象形状时，应该抓住哪些关键点？









五个关键点:
与x轴的交点
图像的最高点
图像的最低点
正余弦函数的图象
由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对有密切关联的函数．下面我们利用这种关系，借助正弦函数图象画出余弦函数的图象．
诱导公式表明，余弦函数和正弦函数可以互化．所以我们可以通过对正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象．
正余弦函数的图象
你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
对于函数 ，由诱导公式 ，得到：
而函数 的图像可以通过正弦函数
的图像向左平移 个单位长度得到．
所以，将正弦函数的图像向左平移 个单位长度，就得到余弦函数的图像，如图．
正余弦函数的图象
x
1
-1
y
o
正弦函数 的图像向左平移 个单位，就得到
函数 ，即 的图象(红色)．
余弦函数 的图像叫做余弦曲线，它和正弦曲线有相同形状“波浪起伏”的连续光滑曲线．
正余弦函数的图象
x
cos x
类似于用“五点法”作正弦函数图象，如何做出余弦函数的简图？余弦函数在区间[－π，π]上相应的五个关键点是哪些？请将它们的坐标填入下表，然后作出y＝cos x，x∈[－π，π]的简图．
x
cos x
o
1
-1
x
y
（1）y＝1＋sin x，x∈［0，2π］； （2）y＝－cos x，x∈［0，2π］．
x
sin x
1＋sin x
【例1】先用五点法画出下列函数的图象，然后再说明如何经过图象变换得到下列函数的图象：
【解析】（1）按五个关键点列表：
0 π 2π
0 1 0 －1 0
1 2 1 0 1
正余弦函数的图象
x
y
o
y＝1＋sin x，x∈［0，2π］
y=sinx，x [0, 2 ]
【解析】如图，描点并将它们用光滑的曲线连接起来．
将函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象向上平移一个单位长度，可得
y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象；
正余弦函数的图象
（1）y＝1＋sin x，x∈[0，2π]； （2）y＝－cos x，x∈[0，2π]．
【解析】（2）按五个关键点列表：
x
cos x
－cos x
【例1】先用五点法画出下列函数的图象，然后再说明如何经过图象变换得到下列函数的图象：
0 π 2π
1 0 －1 0 1
－1 0 1 0 －1
正余弦函数的图象
将函数y＝cos x，x∈［0，2π］的图象关于x轴对称可得．
【解析】如图，描点并将它们用光滑的曲线连接起来．









y＝cos x
正余弦函数的图象
03
拓 展 提 升
Expansion And Promotion
【例3】思考函数y＝sin x和函数y＝|sin x|的关系，并画出函数y＝|sin x|的图像.
【解析】把函数y＝sin x的图像，保持x轴上方部分 的图像不变，将在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，就可以得到函数的图像(蓝色部分)，如图.




04
归 纳 总 结
Sum Up
正弦函数
五个关键点:
与x轴的交点
图像的最高点
图像的最低点
余弦函数
五个关键点:
与x轴的交点
图像的最高点
图像的最低点
05
课 后 作 业
Homework After Class
P200 练习
第2，4题