省级教学竞赛获奖课件5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第一课时） 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
第五章 三角函数
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第一课时）
教学目标
了解周期函数、周期、最小正周期的含义；（重点）
01
了解三角函数的周期性和奇偶性；（重点）
02
会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期；（难点）
03
借助图象直观理解正、余弦函数在[0，2π]上的性质(单调性、最值、图象
与x轴的交点等), 能利用性质解决一些简单问题.（难点）
04
正余弦函数的性质
学科素养
了解周期函数、周期、最小正周期的含义.;
数学抽象
借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质
直观想象
求正弦、余弦形函数的单调区间;；
逻辑推理
利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性
数学运算
数据分析
借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质
数学建模
正余弦函数的性质
01
知 识 回 顾
Retrospective Knowledge
正弦函数五个关键点:
与x轴的交点
图像的最高点
图像的最低点
余弦函数五个关键点:
与x轴的交点
图像的最高点
图像的最低点
y＝sin x









y＝cos x
正余弦函数的图像
x
1
-1
y
o
正弦函数 的图像(黑色)向左平移 个单位，就得到
函数 ，即 的图象(红色)．
正余弦函数的图像
02
知 识 精 讲
Exquisite Knowledge
根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、
奇偶性、最值等.另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，
与此对应的性质是特别而重要的.
类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具备哪些性质？
探究
观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式sin(x+2kπ)= sin x(k∈Z)中得到反映.即自变量x的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等.数学上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
周 期 性
一般地，设函数 f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且
f(x+T)=f(x) ，
那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
周 期 性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对
每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x) ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
即要找一个函数f(x)的周期T，就要找到一个T，对任意x都满足 f(x+T)=f(x)
周期函数的周期不止一个.例如2π，4π，6π以及-2π，-4π，-6π等.都是正弦函数的周期.事实上，由sin(x+2kπ)= sin x(k∈Z)，我们可知： k∈Z，k≠0，常数2kπ都是它的周期.
若函数f(x)的周期是T，则kT (k∈Z，k≠0)也是f(x)的周期.
正余弦函数的性质
周 期 性
如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小
正数就叫做f (x)的最小正周期.
根据上述的定义，我们有：
正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π.
类似的，由cos(x+2kπ)= cos x(k∈Z)，可知，余弦函数也是周期函数.
2π，4π，6π以及-2π，-4π，-6π等都是余弦函数的周期.即 k∈Z，k≠0，常数2kπ都是它的周期，最小正周期是2π.
附：今后本书中所涉及的周期，如果不加特别说明，都是指最小正周期.
正余弦函数的性质
周 期 性
【周期函数的理解】
①对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内的每一个值时”，要特别
注意其中 “每一个”的要求.如果只是对某些x有f(x+T)=f(x)，那么T就不
是f(x)的周期.
②周期函数的周期不唯一.若T是函数f(x)的最小正周期，则kT(k∈Z，k≠0)
也是函数f(x)的周期.
③并不是所有的周期函数都有最小正周期.
例如，对于函数f(x)=C，(C为常数) 所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.
正余弦函数的性质
【例1】求下列函数的周期：
【解析】(1) x∈R，有3sin(x＋2π)＝3sin x，
由周期函数的定义可知，函数y＝3sin x的周期为2π．
(2)令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cos z的周期为2π，
即cos（z＋2π）＝cos z，
于是cos(2x＋2π)＝cos 2x，所以cos 2(x＋π)＝cos 2x，x∈R．
由周期函数的定义可知，函数y＝cos 2x的周期为π．
周 期 性
正余弦函数的性质
【例1】求下列函数的周期：
周 期 性
正余弦函数的性质
周 期 性
第一步，先用换元法转换：比如对于“（2）y＝cos 2x，x∈R”，
令2x＝t，所以y＝f (x)＝cos 2x＝cos t；
第二步，利用已知的三角函数的周期找关系：
由cos(2π＋t)＝cos t，代入可得：cos(2π＋2x)＝cos 2x；
第三步，根据定义变形：变形可得：cos 2(π＋x)＝cos 2x，
于是就有f (x＋π)＝f (x)；
对于周期问题，求解的步骤如下：
第四步，确定结论：根据定义可知其周期为π．
正余弦函数的性质
周 期 性
仿照上述分析过程可得函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ) (其中A，
ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的最小正周期为：T＝ ．
一般地，如果函数y＝f (x)的周期是T，
那么函数y＝f (ωx) (ω>0)的周期是 .
正余弦函数的性质
回顾例2的解答过程中，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？
函数的周期与x的系数有关.
周 期 性
【练习】求下列函数的周期：
正余弦函数的性质
奇 偶 性
观察正弦曲线(黑色)和余弦曲线(红色)，可以看到正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称.
所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
因为正弦函数、余弦函数的定义域为R，这个事实，由诱导公式
sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x得到.
x
1
-1
y
o
正余弦函数的性质
奇 偶 性
【练习】判断下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？
正余弦函数的性质
知道一个函数的奇偶性，同样也可以缩小我们研究函数的范围，因为奇、偶函数的图象分别关于原点、y轴对称，所以只需要搞清楚函数在y轴右侧的图象与性质，那么，整个定义域内的图象与性质就都知
道了，可以提高我们研究函数的效率．
奇 偶 性
【思考】正弦函数、余弦函数的图象分别关于原点、y轴对称，除此以外它们是否还有其它的对称中心和对称轴呢？
正余弦函数的性质
知道一个函数的奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？
03
拓 展 提 升
Expansion And Promotion
x
1
-1
y
o
正弦函数 y= sin x
对 称 性
正余弦函数的性质
对 称 性
x
1
-1
y
o
余弦函数 y= cos x
正余弦函数的性质
对 称 性
正余弦函数的性质
对 称 性
BCD
正余弦函数的性质
04
归 纳 总 结
Sum Up
正弦函数 余弦函数
函数图像
周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
对称性 对称轴
对称中心
单调性 递增区间
递减区间
最值点 最小值
最大值
正余弦函数的性质
05
课 后 作 业
Homework After Class
正余弦函数的性质
P213 习题5.4
第2、3、4题