省级教学竞赛获奖课件5.4.3正切函数的性质与图象 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
第五章 三角函数
5.4.3 正切函数的性质与图象
教学目标
能画出正切函数的图象.（重点）
01
掌握正切函数的奇偶性、周期性.（重点）
02
掌握正切函数的单调性，并能利用单调性解决相应的问题.（重点、难点）
03
04
学科素养
借助正切线作出正切函数的图像;
数学抽象
借助数形结合的思想，通过正切函数的图像研究正切函数的性质
直观想象
求正切函数的单调区间;；
逻辑推理
利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性
数学运算
数据分析
借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质
数学建模
01
知 识 回 顾
Retrospective Knowledge
函数 正弦函数 余弦函数
函数图像
周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
对称性 对称轴
对称中心
单调性 递增区间
递减区间
最值点 最小值
最大值
02
知 识 精 讲
Exquisite Knowledge
其实研究函数，也可以从其定义（解析式）出发研究它的性质，再利
用性质研究其图象.
根据研究正弦函数和余弦函数的经验，我们应先作出正切函数的图
象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，再从代数的角度对性质作
出严格表述.（图象→性质）
函数的解析式确定了函数的性质，但通过函数的图象，我们可以更直观的获得对函数性质的认识.
（1）根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正切
函数的图象和性质？
（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？
正切函数：
由诱导公式 可知，
由诱导公式 可知，
表明正切函数的定义域关于原点对称
正切函数是周期函数，周期是π.
【1】周期性：
【2】奇偶性：
正切函数是奇函数.
根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期，
再根据正切函数的奇偶性，只要研究正切函数在半个周期，
比如区间 内的图象与性质即可．
比如区间 内的图象与性质即可．
你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会
有什么帮助？
如图，设 ，在坐标系中画出角x的终边
与单位圆的交点B.过点B作x轴的垂线，垂足为M；
过点A(1,0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T，
则







由此可见，当 时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．
我们可以利用线段AT画出函数 　 　 的图象
如何画出函数y＝tan x， 　 　的图象呢？
探究







观察图象可知：当 时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，
相应地，函数的图象从左向右呈不断上升趋势，而且当x趋向于 时，AT的长度趋向于无穷大．且向右上方无限逼近直线 ，但不会与该直线相交．
第一步，因为正切函数是奇函数，
第二步，根据正切函数的周期性，
只要画函数 图象关于原点的对称图形，就可得到 的图象；
只要把函数 图象向左、右平移，每次平移π个单位，
就可得到正切函数 的图象，我们把它叫做正切曲线.
你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？
探究
③正切曲线是被与y轴平行的一系列直线
所隔开的无数个形状相同的曲线组成的.
①图象关于原点对称
②图象在x轴上方的部分下凹；
在x轴下方的部分上凸.
正切函数的图象的特征
x
y
0
如何做正切函数的图象
利用三点: ,两线:
做画出一个周期内的大致函数图象，然后进行左右平移，就可以得到全部的图象。
【3】单调性：
由正切函数的周期性可知，正切函数在每一区间 ，上都单调递增.
观察正切曲线可知，正切函数在区间
上单调递增,
x
y
0
【4】值域：
观察正切曲线可知，当 ，时 在
内可以取到任意实数值,但没有最大值、最小值.因此正切函数的值域是实数集R.
x
y
0
【5】对称性：
观察正切曲线可知，正切函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，
关于点 对称.
【例1】不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小：
【注】同一函数的两函数值可以利用单调比较大小，但两变量的取值必须化
在同一单调区间内.
【例1】不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小：
【注】同一函数的两函数值可以利用单调比较大小，但两变量的取值必须化
在同一单调区间内.
【例2】求函数 的定义域、周期及单调区间．
所以，函数的定义域是
函数 的周期
03
拓 展 提 升
Expansion And Promotion
04
归 纳 总 结
Sum Up
函数
图像
定义域
值域 R
周期性 π
单调性
奇偶性 奇函数
对称性
05
课 后 作 业
Homework After Class