省级教学竞赛获奖课件5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时） 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
第五章 三角函数
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）
教学目标
能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式（重点）
01
能由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式及正切公式（重点）
02
掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式
03
并 能灵活运用这些公式进行简单的化简、求值.（重点、难点）
学科素养
借助正切线作出正切函数的图像;
数学抽象
直观想象
两角和差正余弦公式、二倍角公式的推导；
逻辑推理
能用公式求值，求角，化简
数学运算
数据分析
利用两点间的距离公式得到两角差的余弦公式;
数学建模
01
知 识 回 顾
Retrospective Knowledge
在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)，如图，过P1, P2分别作x轴，
y轴的垂线交于点Q，则Q的坐标为(x2,y1)，则
由勾股定理，可得：
所以平面内P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点间距离：
x
y
O
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
Q(x2, y1)
∟
∟
02
知 识 精 讲
Exquisite Knowledge
前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到简化、求值或证明的目的．
这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换．观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和（或差）的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系．
如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的和（或差）的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢？
下面来研究这个问题．







α终边
β终边
α-β终边
如图，设单位圆于x轴的正半轴相交于点A(1，0)，
以x轴非负半轴为始边作角α，β ，α-β ，它们
的终边分别与单位圆相交于点P1(cosα，sinα)， A1(cosβ， sinβ)，P(cos(α-β)， sin(α-β))．
下面我们来探究cos(α-β)角α，β的正弦、余弦之间的关系．
不妨令α≠2kπ+β，k∈Z，
如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α－β的正弦、余弦吗？
探究







α终边
β终边
α-β终边
A(1， 0)，P(cos(α-β)， sin(α-β))， A1(cosβ， sinβ)，P1(cosα, sinα)．
连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合.根据圆的旋转对称性可知:AP 与A1P1重合，从而AP = A1P1 ，所以AP = A1P1．
根据两点间的距离公式，得：
化简得
当α=2kπ+β, k∈Z时，容易证明上式仍然成立．
此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α-β).
所以，对任意角α，β有
(3)公式两边符号相反.
(1)公式中的α，β是任意角;
(2)公式的结构特点：左边是“两角差的余弦值”，
右边是“这两角余弦积与正弦积的和”；
公式特征
；
；
【推导】我们以C(α-β)为基础，推导出其他公式.
于是得到了两角和的余弦公式，简记作C(α+β)
由公式C(α-β)出发，能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
探究
我们知道，用诱导五（六）可以实现正弦、余弦的互化.你能根
据C(α-β)、C(α+β)和诱导五（六），推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示
sin(α+β)，sin(α-β)公式吗？
探究
于是得到了两角和与差的正弦公式，分别简记作S(α+β)、S(α-β)
我们知道，用诱导五（六）可以实现正弦、余弦的互化.你能根
据C(α-β)、C(α+β)和诱导五（六），推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示
sin(α+β)，sin(α-β)公式吗？
探究
两角和与差的正弦、余弦公式：
（异名积，符号同）
（同名积，符号反）
03
拓 展 提 升
Expansion And Promotion
04
归 纳 总 结
Sum Up
两角和与差的正弦、余弦公式：
（异名积，符号同）
（同名积，符号反）
05
课 后 作 业
Homework After Class