苏教版（2019）高中数学必修第二册 9.2.1 向量的基本运算 练习（解析版）

9.2.1向量的基本运算
基础达标
一、选择题
1.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋等于(　　)
A. B. C. D.
2.化简－＋所得的结果是(　　)
A. B. C.0 D.
3.如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于(　　)
A. B.
C. D.
4.在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　)
A.1 B.2 C. D.
5.在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度为(　　)
A.2 B.4 C.12 D.6
6.在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)
A. B. C. D.
7.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于(　　)
A. B. C. D.
8.已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
9.(多选题)已知e1，e2是不共线的向量，下列向量a，b共线的有(　　)
A.a＝e1，b＝－2e2
B.a＝e1－3e2，b＝－2e1＋6e2
C.a＝3e1－e2，b＝2e1－e2
D.a＝e1＋e2，b＝e1－3e2
二、填空题
10.已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则可用，表示为________.
11.已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝________.
12.小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为
10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________ km/h.
13.已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
14.已知O，A，B是平面内任意三点，点P在直线AB上，若＝3＋x，则x＝________.
三、解答题
15.如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝e，＝d，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示，，－，＋，－，＋＋.
16.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点.
求证：＋＋＋＝4.
17.在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，求(用a，b表示).
能力提升
1.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
2.(多选题)设a＝(＋)＋(＋)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有(　　)
A.a∥b B.a＋b＝a
C.a＋b＝b D.|a＋b|<|a|＋|b|
3.(多填题)在边长为1的等边三角形ABC中，|＋|＝______，|＋|＝________.
4.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.
5.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
6.如图所示，已知在平行四边形ABCD中，＝a，＝b.求
(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直；
(2)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|.
7.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.
求证：M，N，C三点共线.
9.2.1向量的基本运算答案
基础达标
一、选择题
1.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】　在原图上取点M，使＋＝，如图所示，而＝.故选C.
【答案】　C
2.化简－＋所得的结果是(　　)
A. B. C.0 D.
【解析】　－＋＝＋＝0.
【答案】　C
3.如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　＋＋＝＋(＋)＝＋0＝.
【答案】　C
4.在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　)
A.1 B.2 C. D.
【解析】　如图，作菱形ABCD，
则|－|＝|－|＝||＝.
【答案】　D
5.在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度为(　　)
A.2 B.4 C.12 D.6
【解析】　因为＋＝，
所以＋＋的长度为的模的2倍.
又||＝＝2，
所以向量＋＋的长度为4.
【答案】　B
6.在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】　∵A，B，D三点共线，∴＋λ＝1，λ＝.
【答案】　B
7.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】　如图，＋＝＋＋＋＝＋
＝(＋)＝×2＝.
【答案】　C
8.已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
【解析】　因为＋＋＝，
所以＋＋＋＝0，
即－2＝，所以与共线.
【答案】　B
9.(多选题)已知e1，e2是不共线的向量，下列向量a，b共线的有(　　)
A.a＝e1，b＝－2e2
B.a＝e1－3e2，b＝－2e1＋6e2
C.a＝3e1－e2，b＝2e1－e2
D.a＝e1＋e2，b＝e1－3e2
【解析】　因为e1，e2是不共线的向量，
所以e1，e2都不是零向量.
A.若a与b共线，则e1，e2共线，这与已知矛盾，
所以a与b不共线.
B.因为b＝－2e1＋6e2＝－2(e1－3e2)＝－2a，
所以a与b共线.
C.因为b＝2e1－e2＝＝a，
所以a与b共线.
D.若a与b共线，则存在实数λ∈R，使a＝λb，
即e1＋e2＝λ(e1－3e2)，
所以(1－λ)e1＋(1＋3λ)e2＝0.
因为e1，e2是不共线向量，
所以所以λ不存在，
所以a与b不共线.
【答案】　BC
二、填空题
10.已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则可用，表示为________.
【解析】　＝＋＝＋2＝＋2(－)，
∴＝2－.
【答案】　2－
11.已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝________.
【解析】　如图所示，连接AG并延长交BC于点E，点E为BC的中点，延长AE到点D，使ED＝GE，则＋＝，＋＝0，∴＋＋＝0.
【答案】　0
12.小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为
10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________ km/h.
【解析】　如图，设船在静水中的速度为|ν1|＝10 km/h，河水的流速为|ν2|＝10 km/h，小船实际航行速度为ν0，则由|ν1|2＋|ν2|2＝|ν0|2，得(10)2＋102＝|ν0|2，所以|ν0|＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.
【答案】　20
13.已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
【解析】　∵＋＋＝0，
∴点M是△ABC的重心.
∴＋＝3，∴m＝3.
【答案】　3
14.已知O，A，B是平面内任意三点，点P在直线AB上，若＝3＋x，则x＝________.
【解析】　因为点P在直线AB上，
所以＝λ，λ∈R，－＝λ(－)，
即＝λ＋(1－λ)，所以所以x＝－2.
【答案】　－2
三、解答题
15.如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝e，＝d，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示，，－，＋，－，＋＋.
解　＝－＝c－a，
＝－＝d－a，
－＝＝－＝d－b，
＋＝－＋－＝b－a＋f－c，
－＝＝－＝f－d，
＋＋＝0.
16.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点.
求证：＋＋＋＝4.
证明　∵＋＋＋
＝＋＋＋＋＋＋＋
＝4＋(＋＋＋)
＝4＋(＋)＋(＋)
＝4＋0＋04.
∴＋＋＋＝4.
17.在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，求(用a，b表示).
解　法一　如图所示，在 ABCD中，AC交BD于O点，
则O平分AC和BD.
∵＝3，∴＝，
∴N为OC的中点，
又M为BC的中点，∴MN綉BO，
∴＝＝＝(b－a).
法二　＝＋＋＝－b－a＋
＝－b－a＋(a＋b)＝(b－a).
能力提升
1.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
【解析】　∵△DEF∽△BEA，∴＝＝，
∴DF＝AB＝DC，∴＝＋＝＋.
∵＝＋＝a，＝－＝b，
联立得：＝(a－b)，＝(a＋b)，
∴＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b.
【答案】　D
2.(多选题)设a＝(＋)＋(＋)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有(　　)
A.a∥b B.a＋b＝a
C.a＋b＝b D.|a＋b|<|a|＋|b|
【解析】　由条件得：(＋)＋(＋)＝0＝a，故选AC.
【答案】　AC
3.(多填题)在边长为1的等边三角形ABC中，|＋|＝______，|＋|＝________.
【解析】　易知|＋|＝||＝1，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，则|＋|＝||＝2||×sin 60°＝2×1×＝.
【答案】　1　
4.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.
【解析】　以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，＝＋，＝－，
∵|＋|＝|－|，∴||＝||，
又||＝4，M是线段BC的中点，
∴||＝||＝||＝2.
【答案】　2
5.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
证明　＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵与大小相等，方向相反，
∴＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
6.如图所示，已知在平行四边形ABCD中，＝a，＝b.求
(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直；
(2)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|.
解　(1)若a＋b与a－b垂直，即平行四边形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD为菱形，所以a，b应该满足|a|＝|b|.
(2)|a＋b|＝|a－b|表示平行四边形的两条对角线长度相等，这样的平行四边形为矩形，故a，b应互相垂直.
7.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.
求证：M，N，C三点共线.
证明　设＝a，＝b，则由向量减法的三角形法则可知：
＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BN＝BD，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b
＝a－b＝，
∴＝，∴与共线，
又∵与的公共点为C，∴C，M，N三点共线.
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