苏教版（2019）高中数学必修第二册 9.2.1向量的基本运算 学案（含答案）

第九章　平面向量
第9.2.1节　　向量的基本运算
1. 掌握平面向量的加法、减法、数乘运算法则.
2. 理解向量加法、减法、数乘的几何意义.
3. 理解两个平面向量共线的含义.
1.教学重点：掌握平面向量的加法、减法、数乘运算法则.
2.教学难点：理解向量加法、减法、数乘的几何意义.
1.向量的加法
(1)定义：求两个向量 .
(2)运算法则：
向量求和的法则 图示 几何意义
三角形法则 使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作 ，即a＋b＝＋＝
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作 OACB，则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和
2.相反向量　利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法，向量的减法是向量加法的一种逆运算。
(1)定义：求两个 叫做向量的减法.
a－b＝a＋(－b)，减去一个向量就等于加上这个向量的
(2)几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向 的向量.
3.向量的数乘运算　
(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；
当λ<0时，λa的方向与a的方向 .
③由①可知，当λ＝0时，λa＝ ；
(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
①λ(μa)＝ a； ②(λ＋μ)a＝ ； ③λ(a＋b)＝ ；
4.共线向量定理　 三点共线问题通常转化为向量共线问题
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使
题型一　向量的加法
【例1】　如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
【例2】　化简：向量运算化简常有两种方法，一是代数法，借助于向量加法的交换律和结合律，二是几何法，通过作图求解
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
【例3】　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
题型二　向量的减法
【例4】　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
【例5】　(1)向量可以写成：①＋；②－；③－；④－.
其中正确的是________(填序号).
【例6】　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
题型三　向量的线性运算
【例7】　(1)3(6a＋b)－9＝________；
(2)若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________.
【例8】　设a，b是不共线的两个非零向量.
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.
【例9】　如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形.又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，.
1.已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是(　　)
A.＋＝ B.＋＝
C.＋＝ D.＋＝
2. 设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　)
A.k＝0 B.k＝1 C.k＝2 D.k＝
3. 如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是(　　)
A.a＋b和a－b B.a＋b和b－a
C.a－b和b－a D.b－a和b＋a
4. 如图所示，已知＝，用，表示.
参考答案
1、解析　＋＝＋＝.
答案　C
2、解析　由共线向量定理可知存在实数λ，使m＝λn，
即－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)＝λe2－2λe1，
又e1与e2是不共线向量，∴解得
答案　D
3、解析　由向量的加法、减法得，
＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.故选B.
答案　B
4、解　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
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